4向量的内积、外积、混合积

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高等数学高数课件 8.3数量积、向量积、混合积

高等数学高数课件 8.3数量积、向量积、混合积

的单位向量.

i j k i j c a b ax a y az 3 2
k
4 10 j 5k,
bx by bz 1 1 2
| c | 102 52 5 5,
c
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
例7 在顶点为 A(1,1,2)、B(5,6,2) 和 C(1,3,1)
的三角形中, 求 AC 边上的高 BD.
解 AC 0,4,3, AB 4,5,0,
三角形 ABC 的面积为
S
Hale Waihona Puke 1 2|AC
AB
|
1 2
152
122
162
25 2
,

S
1 2
|
AC
|
|
BD
|,
|
AC |
42 (3)2 5,
所以
25 2
1 2
5
|
BD
|,
从而 | BD | 5.
例8
设向量
m
,
n,
p
两两垂直,
符合右手规则,

| m | 4,
2
3 .
(3) a b | b | Pr jba,
4 Pr
jba
a b |b |
3.
例2
证明向量
c
与向量
(a
c
)b
(b
c )a
垂直.
证 [(a c )b (b c )a] c
[(a c )b c (b c )a c]
(b c )[a c a c]
ax j ax
bx
bx

向量总结知识点公式

向量总结知识点公式

向量总结知识点公式一、向量的定义及表示1. 向量的定义在数学中,向量是指具有大小和方向的量,它通常用箭头表示,箭头的长度代表向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。

向量一般用字母加上一个箭头表示,比如a。

2. 向量的表示向量可以用坐标表示,通常是一个n维的有序实数数组,如(a1, a2, ..., an),也可以用矩阵表示,如[a1 a2 ... an]。

3. 向量的运算向量有加法、减法、数乘等运算。

向量的加法是对应分量相加得到新的向量,向量的数乘是每个分量乘以一个实数得到新的向量。

减法和加法类似,是对应分量相减得到新的向量。

4. 向量的模向量的模是指向量的大小,它通常用||a||表示,它的计算公式是:||a|| = √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。

5. 单位向量单位向量是指模为1的向量,通常用a^表示,它的计算公式是:a^ = a / ||a||。

6. 平行向量如果两个向量a和b的方向相同或者相反,它们就是平行向量;如果它们的模之比等于一个实数k,那么它们也是平行向量。

在数学中,平行向量的定义为:a || b,或者a = kb。

7. 直角向量如果两个向量a和b的内积等于0,那么它们就是直角向量,即a·b = 0。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是对应分量相加得到新的向量,其计算公式是:a + b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an+ bn)。

2. 向量的减法向量的减法是对应分量相减得到新的向量,其计算公式是:a - b = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)。

3. 向量的数乘向量的数乘是每个分量乘以一个实数得到新的向量,其计算公式是:k·a = (k·a1, k·a2, ..., k·an)。

4. 向量的内积向量的内积也叫点积,是一个标量,它的计算公式是:a·b = a1·b1 + a2·b2 + ... + an·bn =||a|| ||b|| cosθ,其中θ是a和b之间的夹角。

向量的内积与外积及其应用

向量的内积与外积及其应用

向量的内积与外积及其应用向量是数学中重要的概念之一,它在各个领域中都有广泛的应用。

其中,向量的内积与外积是向量运算中的两个重要操作。

本文将详细介绍向量的内积与外积的定义、性质以及在物理学、工程学等领域中的应用。

一、向量的内积向量的内积是指两个向量在空间中的夹角以及长度的乘积。

设有两个向量A和B,它们的内积表示为A·B,计算方法如下:A·B = |A| |B| cosθ其中,|A|和|B|分别表示向量A和B的长度,θ表示向量A和B之间的夹角。

向量的内积具有以下性质:1. 对称性:A·B = B·A2. 分配律:(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律:(kA)·B = k(A·B),其中k是一个实数4. 零向量的内积:0·A = 0,其中0表示零向量向量的内积在几何学中有重要的应用。

通过计算两个向量的内积,可以判断它们之间的夹角是锐角、直角还是钝角。

此外,向量的内积还可以用于求解平面上两条直线的关系以及判断点是否在一个平面内。

在物理学中,向量的内积还可以用于计算力的分解以及求解物体的功等。

二、向量的外积向量的外积是指两个向量所在平面的法向量的长度和方向。

设有两个向量A和B,它们的外积表示为A×B,计算方法如下:|A×B| = |A| |B| sinθ n其中,|A×B|表示向量A×B的长度,θ表示向量A和B之间的夹角,n为单位法向量。

向量的外积具有以下性质:1. 反对称性:A×B = -B×A2. 分配律:(A + B)×C = A×C + B×C3. 数乘结合律:(kA)×B = k(A×B),其中k是一个实数4. 零向量的外积:A×0 = 0×A = 0,其中0表示零向量向量的外积在几何学中有重要的应用。

内积外积混和积

内积外积混和积

例: 证明一: 由定义
证明二:
35
例: 证明:
36
设 ( x1, y1, z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
18
( x1, y1, z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
( x1i y1 j z1k) ( x2i y2 j z2k) (自己算)
( y1z2 z1 y2 )i (z1 x2 x1z2 ) j ( x1 y2 y1 x2 )k
F

S
解: 根据物理知识,F 可以分解成水平方向分力Fx 和垂直方向分力 Fy 。其中只有与位移平行的分力
Fx 作功,而 Fy 不作功。
于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ
为反映这一类物理现象,引入向量的内积。
3
内积及其运算规律
定义 两个向量α与β的内积是一个数,它等于
这两个向量的长度与它们夹角θ=(α,β)余弦的乘
x1 y2i j y1 y2 j2 z1 y2k j
x1z2i k y1z2 j k z1z2k 2
9
x1 x2 y1 y2 z1z2
(2) 2 x12 y12 z12 x12 y12 z12
(3) cos
解法一: (i 2 j) 2k
2i k 4 j k
2 j 4i
i jk
解法二: (i 2 j) 2k 1 2 0
00 2
20 10 12

i
j
k
02 02 00
4i 2 j
20
例: 求以 A(1, 2, 3) , B(2, 0, 5) , C(3, 0, 1) 为顶点的三 角形ABC的面积.

5-4内积、外积、混和积

5-4内积、外积、混和积

a 2 135 例 设向量 a 的方向角分别为 60 120


求 a的坐标. 解
a1 cos a
a2 cos a a3 cos a
a1 a cos 2cos60 1
a2 a cos
2cos120 1
a3 a cos 2cos135 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
证 P P ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 1 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
(3) 两向量夹角的余弦公式
a (1, 1, 2)
例 已知向量 OA {1, 1, 2}和 OB {3, 1, 1} ,求向量 AB 的 方向余弦.
解 因为 AB 2, 2, 1 设其方向角是α,β,γ 又 AB ( 3 1)2 (1 ( 1))2 (1 2)2 3 所以

S 解 F 可以分解成水平方向分力Fx和垂直方向分力Fy , 其中只有与位移平行的分力Fx作功,而Fy不作功. 于是功 W=|F|cosθ |S|=|F| |S| cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的数量积.
1. 数量积的定义
定义 两个向量α与β的数量积是一个数,它等于这两个向量的模
与它们夹角余弦的乘积,记为

0 1 a 1 (a , a , a ) a1 a2 a3 a , , 1 2 3 a a a a a
(cos , cos , cos )
0 a 为与 a同方向的单位向量
空间的每一个向量都可以由它的模与方向余弦(或方向角)决定,特 别地,单位向量的方向余弦等于它的坐标.

8.4 向量的内积、外积、混合积

8.4 向量的内积、外积、混合积

(a b a c b b b c ) (c a ) (a b a c b c ) (c a ) (a b ) c (a b ) a (a c ) c (a c ) a (b c ) c (b c ) a (a b ) c (b c ) a 2( a b ) c
4º 向量外积的坐标计算 设 a { a1 , a 2 , a 3 },b { b1 , b2 , b3 } , 则 a b ( a1i a 2 j a 3 k ) ( b1i b2 j b3 k )
C F OP s in(OP ,ˆ F )
C
方向: ( OP , F , C ) 形成右手系 于是力矩 C 可表示为:
C OP F
O

P
F
a b 的几何意义 :
b
a b a b sin( a ,ˆ b )
以 a , b 为邻边的平行四边形的面积
(4)
1 (3) a a a a1 a1 a 2 a 3
2 2 2
1 a12 a 2 2 a 3 2 i a2 a1 a 2 a 3
2 2 2
( a1i a 2 j a 3 k ) j a3 a1 a 2 a 3
j
(4) 如果 a , b 0 , 则 a
b ab 0
(5)
i j k , jk i , ki j
k

内积外积及其计算公式

内积外积及其计算公式

内积外积及其计算公式内积和外积都是向量运算中常见的概念,它们具有不同的定义和计算公式。

下面将分别介绍内积和外积及其计算公式。

一、内积(Dot Product):内积是向量运算中最基本的运算之一,它将两个向量投影到彼此上。

内积也被称为点积、数量积或标量积。

1.定义:给定两个n维向量A=(A1,A2,⋯,AA)和A=(A1,A2,⋯,AA),它们的内积定义为:A·A=A1A1+A2A2+⋯+AAAA2.计算公式:两个向量的内积计算公式可以写为:A·A = ,A,,A, cos A其中,A和A的模分别为,A,和,A,A是A和A之间的夹角。

3.特性:内积具有以下几个重要的特性:-交换律:A·A=A·A-分配律:A·(A+A)=A·A+A·A-数乘结合律:A(A·A)=(AA)·A=A·(AA)-长度关系:A·A=,A,^2内积在向量的投影、长度计算、角度计算等方面具有广泛的应用,如在几何学、物理学、工程等领域。

二、外积(Cross Product):外积是三维向量运算中的一种运算,它将两个向量的法向量叉乘得到一个新的向量。

1.定义:给定两个三维向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3),它们的外积定义为:A×A=(A2A3−A3A2,A3A1−A1A3,A1A2−A2A1)2.计算公式:两个向量的外积计算公式可以写为:A×A, = ,A,,A, sin A其中,A和A的模分别为,A,和,A,A是A和A之间的夹角。

3.特性:外积的一些特性包括:-非交换律:A×A=−A×A-分配律:A×(A+A)=A×A+A×A-数乘结合律:A(A×A)=(AA)×A=A×(AA)-结果垂直于原向量:A×A与A、A垂直外积在确定平面、求取面积、求取法向量等方面具有广泛的应用,如在计算机图形学、力学、电磁学等领域。

空间向量(内积、外积、混和积)

空间向量(内积、外积、混和积)
向量的内积、外积、 混和积
1
向量的内积
向量是一个具有很强的物理背景的概念,尤 其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用,
要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的
关系,仅仅只有向量的线性运算就远远不够了, 还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的
一种乘法。
2
例: 物体放在光滑水平面上,设力 F以与水平线成θ角的方向作用于 物体上,物体产生位移S,求力F 所作的功。
D(4, 1, 2) 为顶点的四面体的体积。
以AB,AC,AD为棱的平行六面体的体积 分析: 是以三角形ABC为底面,AD为棱的三棱柱体 积的2倍,而四面体的体积是三棱柱体积的三
分之一。 所以,D-ABC的体积 VD ABC 可用混合积求
出。
32
解: 构造向量
AB (3,0,3), AC (1,1,2), AD (4,1,0),
F

S
解: 根据物理知识,F 可以分解成水平方向分力 Fx 和垂直方向分力 F y 。其中只有与位移平行的分力 Fx 作功,而 F y 不作功。 于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的内积。
3
内积及其运算规律 定义 两个向量α与β的内积是一个数,它等于
( ) ( )
5
例: 用向量证明余弦定理 证明:
B
A
C
即 AB AC BC 2 AC BC cos
2 2 2
6
例: 证明:直径所对应的圆周角为直角.
C
证明:
A




O
B
因此
所以
7
例: 证明:

向量的内积外积混合积

向量的内积外积混合积
第六讲 向量乘法(内积、外积、混合积)
一. 向量的内积
1. 向量的射影与正交分解 (1)定义设a是一个向量, e是一个单位向量,用有向线段OA表示向量a, 过O的直线l表示平行于单位向量e的方向.设点A在直线l上的射影是
点A, 那么OA所表示的向量就称为向量a在方向e上的射影.记为prea.

而有prea
b)

c
a•
c
b•
c;
(IP3)关于标量乘法的线性性质:(ka)

b
k (a•
b);
(IP4)正定性:a• a 0.而且等号成立等价于a 0.
3. 用直角坐标计算向量的内积
(1)定理3
:
设向量a, b在直角坐标系[O;
i,
与(b1 , b2 , b3 ),则它们的内积为:
j,
k]下的坐标分别为(a1
ke.实数k称为a在e上的分量,
记为
ea.
A
a
a2
O e
a1
A
l
(2)正交分解
上图中,向量a沿向量e方向可分解为a a1 a2 , 若其中a1 a2 , 则称向量a沿向量e方向的分解为正交分解. (3)向量的夹角
向量a与向量b的夹角记为 a,b ,且0 a,b ,a,b b,a .
命题1:向量a在单位向量 e的方向上的分量
a,
j ,
a,
k ,
0 ,,
z aБайду номын сангаас
a0
k
j
i
x
cos a • i
a1
ai
a12 a22 a32
cos a • j
a2
y aj

向量的外积与混合积

向量的外积与混合积

向量运算:外积与混合积在数学和物理学领域中,向量是一种重要的概念,它可以表示物理量的大小和方向。

向量的运算包括加法、数乘、内积、外积和混合积,其中外积和混合积是两种比较复杂的运算。

外积(叉乘)外积,又称叉乘或向量积,是两个向量之间的一种运算。

对于给定的两个三维向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$,它们的外积定义为一个新向量,记为$\\vec{a}\\times \\vec{b}$。

外积的计算公式如下:$$ \\vec{a} \\times \\vec{b} = \\begin{pmatrix} a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ a_{3}\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ b_{3}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2} \\\\ a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3} \\\\ a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \\end{pmatrix} $$在物理学中,外积经常用于描述两个向量之间的叉乘关系,并常用于计算力矩等物理量。

混合积(点乘)混合积,又称点乘或数量积,是三个向量之间的一种运算。

对于给定的三个向量$\\vec{a}$、$\\vec{b}$和$\\vec{c}$,它们的混合积定义为一个标量(纯数量),记为$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c})$。

混合积的计算公式如下:$$ \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{d} =a_{1}d_{1} + a_{2}d_{2} + a_{3}d_{3} $$其中,$\\vec{d} = \\vec{b} \\times \\vec{c}$ 是$\\vec{b}$和$\\vec{c}$的叉积所得的向量。

向量的内积 外积 混合积课件

向量的内积 外积 混合积课件

AMB . 解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
则 cos AMB MA MB MA MB
100 1
22 2

AMB
3
A
B M
例3. 设均匀流速为 v 的流体流过一个面积为 A 的平
面域 , 且 v 与该平面域的单位垂直向量 n 的夹角为 ,
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为 ) .
解: P A v cos
n 为单位向量
A vn
v n

A
单位时间内流过的体积
A v cos


4
已知a

(1,1,4) ,b

(1,2,2),求(1)
a ·b ;(2)a 与b 的夹角;(3)a 在b 上的投影.
v a r sin

v a
M
且 r v 符合右手法则 v r
lr

O
三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a, b,c
ab
为 a , b , c 的混合积 . 几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
例11. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5, 6 ),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17 ) 共面 .
解: 因 [ AB , AC , AD ]
3 45
1 2 2 0 9 14 16
A
B C
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ) , c (cx , cy , cz )

向量内积、外积和混合积

向量内积、外积和混合积

向量内积、外积和混合积1 点乘1.1 定义点乘,也叫向量的内积、数量积。

两个向量的点乘结果是一个标量,不妨假定向量为a b 、,则点乘大小为: cos ,a b a b a b =<>令cos ,a b θ<>=,则[]0,θπ∈。

1.2 坐标表示设a =(x1,y1,z1),b =(x2,y2,z2),则:121212a b x x y y z z =++1.3 几何意义点乘的几何意义是:是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。

1.4 应用(1)计算两个矢量的夹角,取值范围为[]0,θπ∈。

这里有两个特殊值,当点乘为零时,则表示两个向量垂直;点乘取最大值(等于两个向量模的乘积)时,表示两个向量平行;(非零向量)(2)如果两个矢量均为单位矢量(即模为1),则点乘结果表示夹角余弦;(3)如果其中一个矢量是单位矢量,则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影;(4)从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号(>0)多边形在视点背面看不到应 删除。

(<0)多边形在视点的正面能看到。

(5)求平面外一点到平面的距离。

从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。

(6)方向角与方向余弦。

方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。

设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ,则:222cos ,cos ,cos cos cos cos y x za a a a a a αβγαβγ===++如果是单位向量,则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。

2 叉乘2.1 定义叉乘,也叫向量的外积、向量积。

两个向量叉乘的结果仍为一向量,不妨设为c (x3,y3,z3)。

向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a 的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向,大拇指所指的方向就是向量c 的方向)。

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支,它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。

以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积:两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量,记作 a·b,其大小为|a|·|b|,方向遵循右手法则,即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。

2. 向量积:两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量,记作 a×b,其大小为|a|·|b|,方向遵循右手法则,即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。

二、向量的混合积1. 向量的混合积:三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量,记作 (ab)c,其大小为|a|·|b|,方向遵循右手法则,即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。

2. 向量共面的条件:三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。

三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程:空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D,其中 P、M、N 为平面上的任意三个点,C 和D 为已知常数。

2. 平面的点法式方程:设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点,n(A,B,C) 为法向量,M(x,y,z) 为平面上的任一点,则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。

四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程:空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C,其中 P、M、N 为直线上的任意三个点,C 为已知常数。

2. 空间直线的参数方程:空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数,f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。

4向量的内积、外积、混合积

4向量的内积、外积、混合积
(显然 a a 0)
2. 外积的的直接应用
(1).定理1: 两个向量 a , b 共线 a b 0.
特别地 , 如果 a 0,向量 b 沿向量 a 方向的正交分解为 b b1 b2 , 其中b1 // a , b2 a.则a b a b2 .

5i 6 j 3k 25 36 9

5 70
i
6 70
j
3 70
k.
例2. 已知向量 a (1,2,3), b ( 2,1, 2)求 a , b的夹角.
解 : cos a , b
a b ab

226 12 9

1 3
.
例3. 向量 a (1, 1,2), e (1,1,1)求 a在 e上的射影 .
3. 用直角坐标计算向量的内积
(1)定理 3 : 设向量 a , b 在直角坐标系 [O ; i , j , k ]下的坐标分别为 ( a1 , a 2 , a3 ) 与 (b1 , b2 , b3 ), 则它们的内积为 : a b a1b1 a 2 b2 a3b3 .
即 : ( a , b , c ) (b , c , a ) ( c , a , b ) (b , a , c ) ( c , b , a ) ( a , c , b ).
由定理 3, 显然有结论 : 推论 : ( a b ) c a (b c ).
1. 向量的射影与正交分解
a
O
A
a2
A
e
l
a1
(2)正交分解

向量的积题型-概述说明以及解释

向量的积题型-概述说明以及解释

向量的积题型-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述向量的积是高中数学中的一个重要概念,也是解决几何与代数问题的基础。

在数学中,我们常常遇到需要计算两个向量的积的情况,例如内积和外积。

内积也被称为点积,是两个向量乘积的数量积,结果是一个标量。

外积也被称为叉积,是两个向量乘积的向量积,结果是一个向量。

在几何中,向量的积有很多重要的应用。

内积可以用来求解向量的长度、夹角以及判定两条线段是否相交。

外积可以用来求解平面的面积、法向量等几何问题。

在物理中,向量的积还有更广泛的应用,例如力矩、磁场等。

本文将围绕向量的积这一主题展开讨论。

首先,我们将介绍内积和外积的定义和性质,包括计算公式和几何意义。

然后,我们将详细讨论内积和外积在几何和物理中的具体应用。

最后,我们将总结向量的积的重要性,并展望未来在数学和科学领域的应用前景。

通过深入学习向量的积的知识,我们可以更好地理解几何和代数问题,并能够灵活运用向量的积解决实际问题。

不仅如此,向量的积还是数学和物理领域中的基础概念,对于进一步学习和研究相关领域具有重要意义。

在接下来的正文部分,我们将逐一介绍向量的积的各个方面,包括内积和外积的定义、性质以及应用。

希望读者通过阅读本文,能够对向量的积有一个全面的了解,进一步提升数学水平和问题解决能力。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下:文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织和布局,让读者能够清楚地了解文章的主要部分和内容安排。

本文的结构如下:第一部分为引言,包括概述、文章结构和目的。

在这一部分,我们将简要介绍本篇文章的主题和目的,并概述各个章节的主要内容。

第二部分是正文,包括第一个要点和第二个要点。

在这一部分,我们将详细介绍向量的积题型的相关知识和技巧。

第一个要点将重点介绍某一种特定类型的向量积题目,并提供解题方法和实例。

第二个要点将介绍另一种类型的向量积题目,同样提供解题方法和实例。

通过这两个要点的介绍,读者将对向量的积题型有一个全面的了解。

向量的内积、外积、混合积

向量的内积、外积、混合积
结合律
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) = mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) + mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{d})$。
向量的内积、外积、混合积
目录
CONTENTS
• 向量内积 • 向量的外积 • 向量的混合积 • 向量内积、外积、混合积的应用
01
CHAPTER
向量内积
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$的数量积,记作 $mathbf{a} cdot mathbf{b}$。其计 算公式为:$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$,其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
04
CHAPTER
向量内积、外积、混合积的 应用
在解析几何中的应用
计算向量的模
向量的模可以通过内积计算,即 $mathbf{u} cdot mathbf{u} = |mathbf{u}|^2$。
判断向量是否垂直
两个向量垂直当且仅当它们的内
积为0,即$mathbf{u}
cdot
mathbf{v} = 0$。
当两个向量正交时,它们的内积为0 。
向量的内积满足交换律和分配律,即 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$和 $(mathbf{a} + mathbf{c}) cdot mathbf{b} = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{c} cdot mathbf{b}$。

大学课程大一数学线性代数上册10.数量积,向量积,混合积课件

大学课程大一数学线性代数上册10.数量积,向量积,混合积课件
积也可以从物理中力作功的计算公式抽象出来.
1. 数量积的定义与性质 向量 , 的数量积定义为: = ||||cos, 其中 = <, >
表示向量 , 间的夹角.
两个向量的数量积又称为点积或内积. 内积 可省略为 , 有以下重要性质:
(1) = (对称性) (2) (+) = +
(分配律)
y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
4
y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
(1) | | 2 利用内积求长度. (2) cos 利用内积求夹角.
| || | 2 2 (3), 垂直 , , 记为 .
2 = 0.
在直角坐标系 {O; i, j, k} 下夹角的计算:
两向量 ( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ) 夹角:
线性代数(1)
第十讲 清华大学数学科学系
1
第十讲 向量的内积、外积、混合积
本讲内容提要
一、向量的数量积(内积) 二、向量的向量积(外积) 三、向量的混合积
2
一、向量的数量积(内积)
向量的线性运算可以用来解决一些几何问题. 要利用向量解决更复杂的几何问题,需要引入向量的其它
运算,这其中最重要的就是数量积和向量积. 向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的. 向量的数量
cos
x1 y1 x2 y2 x3 y3

向量相乘的公式范文

向量相乘的公式范文

向量相乘的公式范文向量相乘有多种形式,包括点积(内积)、叉积(外积)和混合积等。

下面将分别介绍这些向量相乘的公式及其性质。

1.点积(内积):点积是两个向量相乘得到一个标量的运算,也称为内积或数量积。

它的计算公式为:A·B = ,A,,B,cosθ其中,A和B是待相乘的向量,A,和,B,分别是它们的模长,θ是夹角。

它表示了两个向量之间的相似程度,如果两个向量夹角为0°,则它们的点积最大;如果两个向量夹角为90°,则它们的点积为0;如果两个向量夹角为180°,则它们的点积最小。

点积具有以下性质:-交换律:A·B=B·A-结合律:(A·B)·C=A·(B·C)-分配律:(A+B)·C=A·C+B·C2.叉积(外积):叉积是两个向量相乘得到一个新向量的运算,也称为外积。

它的计算公式为:A ×B = ,A,,B,sinθ n其中,A和B是待相乘的向量,A,和,B,分别是它们的模长,θ是夹角,n是垂直于A和B所在平面的单位法向量。

叉积的结果是一个垂直于A和B的向量,其模长等于,A,,B,sinθ,方向遵循右手螺旋定则。

叉积具有以下性质:-反交换律:A×B=-B×A-结合律:(A×B)×C=A×(B×C)-分配律:(A+B)×C=A×C+B×C3.混合积:混合积是三个向量相乘得到一个标量的运算。

对于三个向量A、B和C,混合积的计算公式为:(A × B) · C = ,A × B,,C,cosθ其中,A×B是A和B的叉积,C是叉积所在平面上的向量,θ是A×B和C之间的夹角。

混合积具有以下性质:-交换律:(A×B)·C=(C×A)·B=(B×C)·A-结合律:(A×B)·C=A·(B×C)以上是向量相乘的主要公式及其性质。

向量定理七个公式

向量定理七个公式

向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容,它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。

以下是向量定理的七个重要公式:1.向量的加法和减法:对于向量a和b,它们的和可以表示为a+b,差可以表示为a-b。

这两个运算满足交换律和结合律。

交换律:a+b=b+a,a-b≠b-a结合律:(a+b)+c=a+(b+c),(a-b)-c≠a-(b-c)注意:向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现,向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。

2.向量的数量乘法:对于向量 a 和标量 k,a 乘以 k 表示为 ka。

这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。

结合律:k(ka) = (k·k)a分配律:k(a + b) = ka + kb乘法单位元:1·a=a注意:向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。

3.向量的数量积(内积):对于向量a和b,它们的数量积表示为a·b。

数量积有以下性质:a·b = ,a,b,cosθ其中,a,和,b,分别表示向量a和b的模长,θ表示a和b之间的夹角。

这个公式的含义是,两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。

注意:向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。

4.向量的向量积(叉积):对于向量 a 和 b,它们的向量积表示为a×b。

它的模长等于,a,b,sinθ,方向垂直于 a 和 b 所在平面,按右手定则确定。

叉积有以下性质:a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意:向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。

5.向量的混合积:对于向量a、b和c,它们的混合积表示为a·(b×c)。

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a
b

b
a;
(EP2)(ka)

b

k
(a
b),
a
(kb )

k
(a
b);
(EP3)分配律
:
a
(b
c)

a
b
a
c,
(a
b)

c

a
c
b
c.
4. 用直角坐标计算向量的外积
定理4:设[O;
i,
例2.
已知混合积(a,
b,
c)

0,
求向量d被这3个向量
线性表示d

x1a
x2b
x3c的系数.
分析: (d,b,c) (x1a x2b x3c,b,c) x1(a,b,c).
定理5.
对任意4个向量a,
b,
c,
d,

(a
b)

(c
d)

a• b•
c c
a•
d.
b •d
练习: 教材 P6364 1.(1), (2), 2.(3), (4), 3.(2), (3), (4)
作业 : 教材 P6364 1.(3), (4), 2.(1), (2), 3.(1),14
7
7
7
作业 : 教材 P46 1.(2),3.(2),5, 6, 7, 9.(2), 10
二. 向量的外积
1. 外积的概念 (问题:外积的几何意义?)
定义1:两个向量a与b的外积a
b 仍是一个向量,
它的长度规定为:|
a
b ||
a||
b|
sin

a,
b
,
它的方向规定为:
A
HB
5. 外积在立体几何中的应用
解决的主要问题: (1)点到直线或平面的距离 ;(2)求夹角.
•C
由例2可知(教材P52):
d | AB AC |
A
| AB |
B
6. 二重外积
定理5
:
对于任意的向量
a,
b,
c,
有(a
b)

c

(a•
c)b
(b •
c )a.
b

0.
(3)定理2
:向量的内积有下列性质:
对任意的向量a,
b,
c以及实数k
,

(
IP1)对称性质a•
b

b•
a;
(IP2)关于向量加法的线性性质:(a
b)

c

a•
c
b•
c;
(IP3)关于标量乘法的线性性质:(ka)

b
k (a•
b);
(IP4)正定性:a• a 0.而且等号成立等价于a 0.
第六讲 向量乘法(内积、外积、混合积)
一. 向量的内积
1. 向量的射影与正交分解 (1)定义设a是一个向量, e是一个单位向量,用有向线段OA表示向量a, 过O的直线l表示平行于单位向量e的方向.设点A在直线l上的射影是
点A, 那么OA所表示的向量就称为向量a在方向e上的射影.记为prea.
a,
c)

(c,
b,
a)

(a,
c,
b ).
由定理3,显然有结论 :
推论
:
(a
b)

c

a•
(b
c).
例1
设3个向量a,
b,
c满足:a
b
b
c
c
a

0,
证明这3个向量共面.
分析 : 将题设等式与 c作内积,则有 (a, b, c) (b, c, c) (c, a, c) 0,从而(a, b, c) 0
例1.求与a 3i 2 j 4k,b i j 2k都垂直的向量.


r c

r a

r b

i 3
j 2
k

4 10 j 5k .
1 1 2
例2.已知空间3点A(1,0,1), B(4,1,1),C (1)求ABC的面积;
(0,4,6).C
(2)求AB边上的高的长度.

而有prea

ke.实数k称为a在e上的分量,
记为
ea.

A
a

a2
O e
a1
A
l
(2)正交分解
上图中,向量a沿向量e方向可分解为a a1 a2 , 若其中a1 a2 , 则称向量a沿向量e方向的分解为正交分解. (3)向量的夹角
向量a与向量b的夹角记为 a,b ,且0 a,b ,a,b b,a .
左手系时混合积取负值。
(2)定理2:
3个向量
a,
b,
c共面

(a
b)

c

0

(a,
b,
c)

0
(3)定理3: 轮换混合积的3个因子不会改变它的符号,
而对换任何两个因子都要改变混合积的符号.

:
(a,
b,
c)

(b ,
c,
a)

(c,
a,
b)

(b ,
命题1:向量a在单位向量 e的方向上的分量


: ea | a | cos a, e .
命题2:设e是一个单位向量,
则对任意向量a,
b有

e(a
b)


ea

eb ,
e (ka)

k
ea.
2. 向量的内积概念及性质
(1)定义1.两个向量a与b的内积a•
练习: 教材 P57 4, 5, 9
作业 : 教材 P57 7
三. 向量的混合积
1.定义1:设a,
b,
c是3个向量,
称(a
b)

c为这三个向量的混合积.
也可记为(a,
b,
c).
2. 混合积的性质
(1).定理1:3个向量a,b, c的混合积的绝对值等于这3个向量张成的 平行六面体的体积.当a,b, c构成右手系时,混合积取正值;构成
3. 用直角坐标计算向量的内积
(1)定理3
:
设向量a, b在直角坐标系[O;
i,
与(b1 , b2 , b3 ),则它们的内积为:

j,
k]下的坐标分别为(a1
a • b a1b1 a2b2 a3b3.
,
a2
,
a3
)
从而, a
a12 a22 a32 , a,b arccos
j,
k ]是一个右手直角标架
,
a与b在其中的坐标
则 分别 a是b的(a1坐, a标2 ,为a3 ):,((ab21b, b3 2,
b3 ), a3b2
,
a3b1

a1b3
,
a1b2

a2b1
)
i jk
即 : a b a1 a2 a3
分析:
b1 b2 b3

b定义为一个实数:


若由b定义0,1则有a:|•ab|
a • b | a || b
a• a,

cos
( a) | b |.
|ac,obsa,ab•b. | a || b |
.
(2)定理1:向量a与b垂直b0 的充分必要条件是
:
a•
a b2.
b

b1

b2
,
b2
b1
a
(2).定理2:设e是单位向量,
b

e.则e
b等于b按
右手螺旋规则绕e旋转90得到的向量b. eb


b
e
3. 外积的性质
定理3:外积具有下列运算性质:
对于任意向量a,
b,
c和任意实数k ,
有:(EP1)反交换律:
3. 用直角坐标计算混合积
定理4:设[O;
i,
j,
k ]是一个右手直角坐标,
a, b和c在其中的坐标
分别是(a1, a2 , a3),(b1, b2 , b3),(c1, c2 , c3 ),
则(a
b)

c

a1 a2
b1 b2
c1 a1 c2 b1
a2 b2
a3 b3
a
例1.将向量a 5i 6 j 3k化成单位向量.
解 : a0 a 5i 6 j 3k 5 i 6 j 3 k.
a
25 36 9 70 70
70
例2.已知向量a (1,2,3),b (2,1,2)求a,b的夹角.
解: cos a,b a •b 2 2 6 1 . a b 12 9 3
与a,
b均垂直,并且使(a,
b,
a
b )构成右手系.
2. 外积的的直接应用
(1).定理1:两个向量
a,
b 共线

a
b

0.
(显然a
a

0)
特别地
, 如果 a

0,向量b 沿向量
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