双变量恒成立问题的不同角度求解

双变量恒成立问题的不同角度求解

摘自公众号：数学与我

双变量的恒成立问题，一般我们常用处理策略有：

1.化为单变量函数，求最值解决

2.利用常见不等式放缩，求最值解决

3.利用线性规划的数形结合，求最值解决

本文结合一个例子，说明化单变量的两种方法：

(1)化成齐次式消元

(2)倍分消元

同时给出迫不得已需要罗必塔法则时的一个迂回处理策略

问题呈现

方向选择

对条件式子的(i)(ii)不同变形看，也许会有两条路可走。也许我们更容易走(ii)这条路，因为分离变量是我们最熟悉、最有希望能够快速解决问题的（事实上我们平常恒成立问题选择方法的时候，也确实优先考虑的分离变量），但前提条件是右侧的函数你有办法处理并求出最值。目前来看化成单变量好像没那么简单，我们先走第(i)条路：

化齐次消元

显然，我们把(i)左侧的a等量代换以后，出现了x1,x2的齐次式，很容易想到令x2/x1=t，从而化为单变量t的不等式恒成立问题，接下来构造t的函数，研究其性质即可。事实上，如果我们熟悉ALG不等式的函数形式lnt>2(t-1)/(t+1)，(t>1)的话，到这里可以知道λ=1一定为答案的一部分，并且看到这个熟悉形式，我们对后续问题的解决也会多一份信心与把握。

可以预见出题人十有八九会把这个解答作为标答，因其解法自然。

端点效应恒成立问题

上面一段的求解，就是端点效应恒成立问题的求解套路：

在区间端点t=1处函数值为0，欲使不等式恒成立，希望函数在所给区间单调即可（充分性）；然后说明在相反范围，不等式不能恒成立（即必要性），常涉及到赋值否定的问题。

倍分法消元

接下来我们回到(ii)，介绍一下倍分法消元：

遇到罗必塔的迂回策略

对于分离变量后，右侧的函数如果直接求导处理，是比较复杂的，但是既然能够化到这一步来，题目又要有答案，那么也就意味着右侧的这个函数值应该会小于或等于某个常数（上界），但上界是多少呢？我们不妨大胆猜测一下，把端点t=1代入右侧，是0/0，于是我们会想到利用罗必塔法则求一下t=1时候的极限，求得极限值为1。我们当然希望1就是右侧函数的上界，但是求导求最值又行不通，既然已经预期1是上界，那么我们改为证明不等式：

0

以上证明也直接可以用y=lnx,y=xlnx与其切线y=x-1的关系，放缩证明

利用ALG不等式求解

方法一构造的函数，已经看到了ALG不等式的影子，下面我们用该不等式直接处理双变量

以上见解均来自个人最近所学，所思，如有不当之处，还望指出！