第二章初等模型-Xidian
第2章初等模型精品PPT课件
Qk1T 1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 2d 1T2k1d2T 1k 1lT2k2d
室
f(h)
1
内
室
外
0.9
T1
T2
0.8
0.7
0.6
0.5
d
d 0.4
0.3 记h=l/d并令f(h)=
0.2
类似有
Q
k1
T1 T2 2d
Q
2
Q 2(k1l)/(k2d)
一般 k1 16 ~ 32 故 k2
O B(0,-b)
令：
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
汇合点由p此必关位系于式此即圆可上求。出P点的坐标和
θ2 的值。
y(ta)nxb（航母的路线方程） 本模型虽简单，但分析极清晰且易
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回 来的时间记 为t2，还得解一个方程组：
h
g k
( t1
1 k
e kt 1
)
g k2
h 340 t2
这一方程组是非线性 的，求解不太容易， 为了估算崖高竟要去 解一个非线性主程组 似乎不合情理
t1
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据画在平面直角坐标系中，见 图。 如果建模者判断 这n个点很象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而利 用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成 立，但我们希望
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
第二章初等模型.ppt
1032
632
Q1
2
5304.5,Q2
1984.5, 2
Q3
342 2
578,
由此，第4个席位应该给甲系，此时n1 2, 再计算Q1
值:
2019-10-10
感谢你的欣赏
21
1032 Q1 2 3 1768.17,
而Q2 , Q3 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
2019-10-10
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28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-10-10
都达到最小.
2019-10-10
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14
解模
设 A单位已有席位nA ，B单位有席位 nB，并假定 A吃
亏，即kA kB，因而rA nA, nB 有意义.
现考虑下一个席位的分配:
⑴席位分配给 A仍然是 A 吃亏，即 pA pB , nA 1 nB
毫无疑问，该席位应该分配给 A.
感谢你的欣赏
29
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数
为
k
，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
2
量流失）为
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1 Tb
【教学课件】第二讲 初等模型
38km
3 Q3=5
• 污水处理，排入河流 •三城镇可单独建处理厂， 或联合建厂(用管道将污水 送)
Q~污水量，L~管道长度 建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L
假
联合建厂的话，污水处理厂建在下游城镇
设
记号
C(i):第i城镇建厂的费用（i=1,2,3）
C(i,j):第i、j城镇联合在j处建厂由于费用 （i、j=1,2,3）
模
mi n ( xi xi )2
i
型 s.t. xi B
xi xi
若令 xi Bbi
第i 方的边际效益
xi xi 1n(xi B)
xi 1nbi bi B n
例 .b(4,5,7),B11 4）最小距离解
x (7 ,6 ,4 ),x i B 6 , 2）协商解
xx(2 ,2 ,2 )(5 ,4 ,2 )
城1 C(1)-x1=210.3, 城2 C(2)-x2=127.9, 城3 C(3)-x3=217.8
合作对策的应用 例 派别在团体中的权重
90人的团体由3个派别组成，人数分别为40, 30, 20人。 团体表决时需过半数的赞成票方可通过。
若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley 合作对策计算各派别在团体中的权重。
Shapley合作对策小结
优点：公正、合理，有公理化基础。
缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I={1,2,…n}的所有 子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。
如n个单位治理污染, 通常知道第i方单独治理的投资yi 和n方共 同治理的投资Y, 及第i方不参加时其余n-1方的投资zi (i=1,2, …n). 确定共同治理时各方分担的费用。
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
《初等分析优化模型》PPT课件
n年末残值 15000
解：该型轿车在不同使用期限的年等额总成本如下表所示：
资产恢复 使用期 成本 限n K0-Ln ① 1 2 3 4 5* 6 7 ② 15000 22500 26250 28125 29000 29000 29000 年等额资产 恢复成本 （K0-Ln)/n ③ 15000 11250 8750 7031 5800 4833 4143 年度运 营成本 Cj ④ 5000 6000 7000 9000 11500 14000 17000 使用期限 内营运成 本累计 C
•
• • • • •
n——设备使用期限，在设备经济寿命计算中，n是一个自变量；
j——设备使用年度，j的取值范围为1到n； ACn——n年内设备的年平均总成本； K0——购置成本； Cj ——在n年使用期间的第j年度设备的运营成本； Ln ——设备在第n年的净残值。
• 如果设备的经济寿命为m年，则m应满足 如下不等式：
设备更新应遵循的原则
•
• • • •
(1)设备更新应当结合企业的经济条件，有计划、有重点、有 步骤地进行。 (2)要做好调查摸底工作，根据企业的实际需要和可能，安排 设备的更新工作。注意克服生产薄弱环节，提高企业的综合生产 能力。 (3)有利于提高生产的安全程度，有利于减轻工人劳动强度， 防止环境污染。 (4)更新设备要同加强原有设备的维修和改造结合起来，如改 造后能达到生产要求的，可暂不更新。 (5)讲求经济效益，做好设备更新的技术经济分析工作。主要 包括确定设备的最佳更新周期、计算设备投资回收期等。
运筹与优化模型
第二章 初等分析优化模型
2013年3月
第二章 初等分析优化模型
• 设备更新问题的数学模型 • 确定性存储问题数学模型 • 随机性存储问题数学模型
第二章初等模型.ppt
pB nA
pA nB
上式等价于
p
2 A
pB2
.
nA nA 1 nB nB 1
⑺
引入
Qi
ni
pi2
ni 1
,
i A, B,
⑻
2019-8-29
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18
则在⑵⑶的情况下，席位应分配给Qi 值大的那一方。
在情况⑴，由于
所以，
pA pB , nA 1 nB
QA
Q1 / Q2
0.06 0.03 0.02
24
6h
2019-8-29
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35
模型应用
该模型具有一定的应用价值。尽管双层玻璃窗会增加 制作工艺上的成本，但它在降低热量流失上的功效是相
当可观的。通常，建筑规范要求 h l / d 4，按照该
模型，Q1 / Q2 3% ，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材
k1 4103 8103 J / cm s kw h,
2019-8-29
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33
不流动、干燥空气的热传导系数为
k2 2.5104 J / cm s kw h,
所以
k1 16 32. k2
取最保守的估计，即取 k1 / k2 16,由⑷，⑹得
2019-8-29
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28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-8-29
2(初等模型)
~状态转移律
dk D, S k S 按照以上规 使状态 问题: 求决策 ,0 ) 律由初始状态 S1 ( 3,3)经过有限步到达状态 S n 1 ( 0 ．
当然n 越小越好．
(3,2) (0,1) (3,1) (0,2) • 穷举法 S1 (3,3) d1 (1,0) S 2 ( 2,3) ( 2,2) (1,1) (1,3) ( 2,0) (3,3)循环 (0,1) (0,2) (3,4) S2 (3,2) d 2 (1,0) S 3 ( 4,2) ( 4,3) (1,1) ( 2,0) (5,2)
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
2 2 3
4
结论 动物的体重与躯干长度的4次方成正 比．当然，比例系数与动物的种类有关．
评注 (1)类比法是建模中常用的一种方法．在 这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大 胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细 检验. 但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度 与体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转 化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲 问题的作法，是值得借鉴的． (2)使用该模型时，要注意其条件．在建立此 模型时，我们是把四足动物的躯干视为圆柱体 的，也就是说，对于躯干太不近似圆柱体的四 足动物，该模型就不适用了，比如乌龟．
第二章 初等模型与常用建模方法(四、市场经济中的蛛网模型)PPT课件
价格都很敏感，则会导致经济不稳定。 K f K g
方程模型与蛛网模型的一致 K f
1/ Kg
结结果果解解释释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 yk y0 ( xk x0 )
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使 尽量小，如 =0 y
g
需求曲线变为水平 y0
f
以行政手段控制价格不变 0
2. 使 尽量小，如 =0 y
x g
供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变 0
f
x0
x
4 数值例子
据统计，某城市前一年度的猪肉产量为30万吨，肉价为6 元/公斤。本年度生产猪肉25万吨，肉价为8.00元/公斤， 已知下一年度的猪肉生产量为28万吨。若维持目前的消费 水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系， 问若干年后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够 稳定，求出稳定的生产量和价格。
第二章 初等模型与常 用建模方法
§2.8 市场经济中的蛛网模型 §2.7 线性代数法建模
教学目标与重难点
• 教学目标： 1.对市场经济中的供应量与价格之间相关的规律问题能用极限
的思想建模； 2.会运用线性代数法法对染色体遗传问题、投入产出等相关问
题进行数学建模。
• 重点： 1.数学建模的方法和步骤的进一步运用； 2.运用极限思想和线性代数法进行建模 • 难点：运用极限思想进行建模
x1 y1 x2 y2 x3 y3
这 样 得 到 一 系 列 的 点 p1(x1, y1) ， p2 (x2, y1) ， p3 (x2 , y2 ) ，p4 (x3, y2 ) ，…，即点 p2k 1 的坐标为（ xk ， yk ），点 p2k 的坐标为（ xk 1 ，yk ）（ k =1，2，…）。 如图 1 与图 2 所示。
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23
《初等模型》课件
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
初等数学模型
第二章 初等数学模型本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法复习要求1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。
2．进一步理解数学模型的作用与特点。
类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.1．雨中行走问题雨中行走问题的结论是：（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即20πθ≤≤，那么全身被淋的雨水总量为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )]cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.（2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2. 令απθ+=2，则20πα<<. 那么全身被淋的雨水总量为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定.有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如图2-1）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问题分析与假设1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵 袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心p（动点）为圆心的圆的半径r ，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围.2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北︒45，速度为20km /h ，而当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大，即半径的增加速度为t t r 1060)(+=，t 为时间.于是只要6010+≤t p o ，便是城 图2-1市O 受到侵袭的开始.模型I 如图2-2建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻t (h )台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(222t r y y x x ≤-+-其中r (t )=10t +60. 图2-2若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即 ,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 整理可得 ,0288362≤+-t t由此解得 12≤t ≤24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.模型II 设在时刻t (h )台风中心为P （如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t +60，因此，若在时刻t 城市O 受到台风侵袭，应有6010+≤t P O由余弦定理知.cos 2222P OP PO P P PO P P P O ∠⋅⋅-+=注意到 t P P OP 20,300==,542210212210245sin sin 45cos cos )45cos(cos 2=⨯-+⨯=︒⋅+︒⋅=︒-=∠θθθP OP故 .30096002054300202300)20(222222+-=⨯⨯⨯-+=t t t t P O因此 .)6010(3009600202222+≤+-t t t即 0288362≤+-t t 解得 .2412≤≤t2．动物的身长与体重问题在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，（1）问题分析众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法.类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系.（2）模型假设与求解我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似.为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l 、直径为d 、断面面积为S （如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.设动物在自身体重（记为f ）的作用下，躯干的最大下垂度为b ，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的研究，可以知道23Sdfl b ∝. 又由于∝f Sl (体积)，于是23d l l b ∝. b 是动物躯干的绝对下垂度，b /l 是动物躯干的相对下垂度.b /l 太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b /l 图2—3太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b /l 已经达到其最适宜的数值，换句话说，b /l 应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此23d l ∝，又由于2,d S Sl f ∝∝,故44,kl f l f =∝从而.即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k 后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.（3）模型评注在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.情形1 已知：ABC ∆中，︒=∠90C ，AC =BC =1，BD 是AC边上的中线，E 点在AB 边上，且BD ED ⊥.求DEA ∆的面积.如图2-4，引BA CF ⊥，易证24/1=∆DEA S类比 若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？由此想到 图2-4情形2 已知ABC ∆中(图2-5)，A B C ∠=∠=∠44，BD 是AC 边上的中线，E 点在AB 上，且C AED ∠=∠，1=∆ABC S ，求AED S ∆.类似情形1的证法，易证得12/1=∆AED S ；当2/1=∆ABC S 时，24/1=∆AED S ，与情形1结果相同. 图2-5类比 若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.情形3 已知ABC ∆中︒=∠90C ，AC =2BC =2，BD 是AC 边上中线，AB CF ⊥交BD 于H ，求CBH S ∆.同样可证6/1=∆CBH S .这里，若在情形3中令AC =2BC =1，也有24/1=∆ADE S ，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求ADE S ∆，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是CBH S ∆.3．实物交换问题实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换.不失一般性，设交换前甲占有数量为x 0的物品X ，乙占有数量为y 0的物品Y ；交换后甲所占有的物品X ，Y 的数量分别记为x ,y ；单位数量的物品X ，Y 的价值（价格）设为p 1,p 2.由等价交换准则，x ,y 满足方程,0,0,)(00201y y x x y p x x p ≤≤≤≤=-容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。
第02章初等模型
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
632 67
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
第21席
Q1最大，第20席给甲系
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分配结果
甲系11席，乙系6席，丙系4
席
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p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
p1/n1– p2/n2=5
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
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进一步的讨论
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整；
[qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
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问题分析
录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
0000 计数器
录像带 磁头
压轮
录像带运动
录像带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
第二章初等模型共17页文档
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
1.2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 甲 乙 丙
1) p1 p2 称为“绝对不公平准”。标 n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 A
人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
D
1000 10
102 102-100 100 =2
C,D的不公平程度大为改善！
rB(n11,n2)p2(pn11n 21)1 rA(n1,n21)p1(pn22n 11)1
p2(n11)p1(n21)
p1n2
p2n1
p2
p2
2
1Biblioteka n2(n21) n1(n11)
(*)
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
Qi ni(npii21) i1,2,,m
【2017年整理】第二章初等数学模型
第三章 初等数学模型所谓初等数学模型主要是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，而不是高等的。
在解决实际问题的过程中，往往主要是是看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法，对于数学建模也是这样。
本章介绍了量纲分析法、比例与函数建模法，并给出了相应的一些模型。
第一节 量纲分析法量纲分析提出于20世纪初，是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
1.1 量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l ， 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,；而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ，称为基本量纲。
任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则 用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系。
先看一个具体的例子，再给出。
1.2量纲分析的一般方法例1 （单摆运动）质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（1.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1.1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T L MT --------------（1.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（1.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（1.4）（1.4）式与单摆的周期公式是一致的1.3 Buckingham Pi 定理下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理（Buckingham Pi 定理） 设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系 ()0,,,21=n x x x f --------------（1.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。
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和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
显然，运动67员.5 体重越大，他1能41举.5 起的重量也越1大80，但举重
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个
方程组：相用对方thh于法1 石二t3块先kg24速求(0tt度一132.，次91k声h，e音令速kt1t度2=) 要h/3快k4g02得，多校这非解为竟非似，正一线不了要线乎我t方性太估去性不，们的程容算解主合求可，组易崖一程情石求是，高个组理
0.6 0.5 d 0.4d
一般 k1 16 ~ 32 故 Q 1
k2
Q 1 8l / d
记h0=.3l/d并令f(h)= 1
此函数的图形为
0.2
8h 1
0.1
考 取虑h=到3或美040 观，和1即使l=2用3d上（3或的4方d4）便，，5 此h不时6必房取7屋得热过8量大的9，损例失1如0不h，超可过
解相应方程组，求得：
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
a
b
n i 1
(
xi
x)(
n i 1
(
xi
y ax
yi x) 2
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
k2
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
令k=K/m，解得
v
dt
cekt
g
k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
v g g ekt
kk
再积分一次，得：
h
g
t
g k2
e kt
c
代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
h g t g ekt g g (t 1 ekt ) g ①
k k2
k2 k k
初等模型
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 | BP |2 a2 | AP |2 即：
A(0,b)
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很
象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而
利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的
如则关y果可系建作式模变，者量故y判替=断ya换ix-(变+使abx量i之+间b转)=的化0关一为i系n般线1 并[不性y此非成关i 式线立系对性，(或aa关但用和xi系我类b的而们似b偏是希方)导]其望2数法他均拟类最合型为小。的0，函数，
θ1
x2 (y b) 2 a2 [x2 (y - b)2 ]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2
y
a a
2 2
2
11 b
4a 2b2 (a 2 1)2
令： h a2 1b, r 2ab
a2 1
a2 1
则上式可简记成 ：
x2 ( y - h)2 r2
汇合由点此p必关位系于式此即圆可上求。出P
k1
Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1
2
T2 k1l k2d
f(h)
室
室
1内
外
0.9 0.8 T1
T2 0.7
类似有
Q
k1
T1 T2 2d
Q
2
Q 2 (k1l) /(k2d )
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
§2.4 经验模型
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。
h 1 gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻
力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下
落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可
得：
F m dv mg Kv
y
(tan 1 ) x
b（航母的路线方点程的）坐标和θ2 的值。
本模型虽简单，但分析
y (tan 2 )x b（护卫舰的路线极方清程晰且）易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q=kΔT/d
dl
d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
单层玻璃窗时的 4%-3% 。
§2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式