第二章 初等模型
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定义 Qi
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
假如小行星的直径大约为1000米，还假设它 正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供 评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞 击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区 的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成 的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的 大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的 估计。
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张
数和当前需要处理的1000位会员的在线订单， 如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得 最大的满意度？请具体列出前30位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数
量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你 如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些 DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得 到他想看的DVD，并且满意度最大？
温室效应
相关理论：
Newton引力模型 碰撞的动力学 冰的热力学（冰融、汽化）、热传导 生态系统（磷虾.krill） 水温 轨迹
后期工作：
预测与预警
考核与评分： 以下作业任选一个:
• 每次讲课的小作业选做两道，大作业选做一道， 提交电子版本，打印稿，做成ppt 给大家报告可以 加分。（作业书写以标准比赛论文形式） • 看懂一篇优秀论文（全国二等奖以上）做成ppt给 大家讲解，提交论文原始资料，你的ppt打印稿和 电子版。 (可以3人团队合作，必需每人都要解答问题，报告 时间30－60分钟，报告的同学加分） Deadline ：6月18日截止，之前的任意时间。 （讲课时间6月11日结束）
观察
计数器读数增长越来越慢！
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 0000 计数器
录像带运动方向
录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设
• 录像带的运动速度是常数 • 计数器读数
v；
n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； w；
进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过
2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之
后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回
（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调 查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人 数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外， 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次， 而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个 会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备 多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至 少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求 保 证在 三 个 月 内 至 少 95%的 会 员 能够看 到该 DVD呢？
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
t
wk
v
2
2rk n n v
2
思 考
m i 1
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
思 考
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义
2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1)
强烈的碰撞读题分析
爆Βιβλιοθήκη Baidu？
冲击波
热能释放 撞击
后果
地震、海啸、飓风
冰融 放射物
海岸线上升 洪水 减少日照、 大气层变化
粉尘放射
人员伤亡
沿海
所在地区
海啸、地震、洪水、放射物
冰融
食物生产区的破坏 对地球运行轨迹的影响
相关因素：
小行星形状、成分与密度 撞击角度、速度、位置（运行轨迹） 太阳、地球、月亮——轨道 能量来源 引力、动能 南极冰盖的成分（深度、密度、温度） 以及冰盖下的成分 冰融的估算 大气环流 粉尘的传送
2.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考
要求
计数器读数是均匀增长的吗？
不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。
模型中有待定参数
r , w, v, k ,
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析
将模型改记作 t an bn ,
2
只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
2 (r wi) vt
i 1
m
m kn
t
wk
v
2
2rk n n v
2
模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即
2 2
3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有
[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2kdn vdt
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4
Q1最大，第20席给甲系
1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
―公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
第二章
初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途
2.3 双层玻璃窗的功效
2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛
2.8 启帆远航
2.9 量纲分析与无量纲化
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
―公平”分配方 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
打分原则：（可以提建议）
1、组间打分（5分为满分） 5分：很好 4分：好 3分：及格 2分：不好 1分：非常不好 2、老师打分，组内打分（5分为满分） 5分：积极肯干，富有创造性 4分：参与讨论，收集资料，动手写作 3分：参与讨论，协助同组同学的工作 2分：毫无创造性，也不积极参与 1~0分：根本不参与 我校的成绩：优，良，中，及格，不及格
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 • 空右轮盘半径记作 • 时间
r；
t=0 时读数 n=0 .
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
建模目的
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在
DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些 重要问题值得研究？请明确提出你的问题， 并尝试建立相应的数学模型。
MCM1999A题：强烈的碰撞
美国国家航空和航天局(NASA)从过去某 个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击 地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来 考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到 了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比 撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
2005CUMCMB题： DVD在线租赁
考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴 纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租 赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在 线提交订单，网站就会通过快递的方式尽 可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单
Q值方法 分配结果
Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
1996CUMCM年B题
节水洗衣机
我国淡水资源有限,节约用水人人有责，洗衣机 在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已 非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放 入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水— 漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水— … —加水— 漂洗—脱水（称“加水—漂洗—脱水”为运行一 轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少 轮、每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果 的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行 运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你 的模型和结果出评价。
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
假如小行星的直径大约为1000米，还假设它 正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供 评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞 击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区 的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成 的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的 大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的 估计。
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张
数和当前需要处理的1000位会员的在线订单， 如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得 最大的满意度？请具体列出前30位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数
量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你 如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些 DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得 到他想看的DVD，并且满意度最大？
温室效应
相关理论：
Newton引力模型 碰撞的动力学 冰的热力学（冰融、汽化）、热传导 生态系统（磷虾.krill） 水温 轨迹
后期工作：
预测与预警
考核与评分： 以下作业任选一个:
• 每次讲课的小作业选做两道，大作业选做一道， 提交电子版本，打印稿，做成ppt 给大家报告可以 加分。（作业书写以标准比赛论文形式） • 看懂一篇优秀论文（全国二等奖以上）做成ppt给 大家讲解，提交论文原始资料，你的ppt打印稿和 电子版。 (可以3人团队合作，必需每人都要解答问题，报告 时间30－60分钟，报告的同学加分） Deadline ：6月18日截止，之前的任意时间。 （讲课时间6月11日结束）
观察
计数器读数增长越来越慢！
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 0000 计数器
录像带运动方向
录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设
• 录像带的运动速度是常数 • 计数器读数
v；
n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； w；
进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过
2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之
后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回
（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调 查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人 数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外， 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次， 而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个 会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备 多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至 少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求 保 证在 三 个 月 内 至 少 95%的 会 员 能够看 到该 DVD呢？
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
t
wk
v
2
2rk n n v
2
思 考
m i 1
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
思 考
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义
2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1)
强烈的碰撞读题分析
爆Βιβλιοθήκη Baidu？
冲击波
热能释放 撞击
后果
地震、海啸、飓风
冰融 放射物
海岸线上升 洪水 减少日照、 大气层变化
粉尘放射
人员伤亡
沿海
所在地区
海啸、地震、洪水、放射物
冰融
食物生产区的破坏 对地球运行轨迹的影响
相关因素：
小行星形状、成分与密度 撞击角度、速度、位置（运行轨迹） 太阳、地球、月亮——轨道 能量来源 引力、动能 南极冰盖的成分（深度、密度、温度） 以及冰盖下的成分 冰融的估算 大气环流 粉尘的传送
2.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考
要求
计数器读数是均匀增长的吗？
不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。
模型中有待定参数
r , w, v, k ,
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析
将模型改记作 t an bn ,
2
只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
2 (r wi) vt
i 1
m
m kn
t
wk
v
2
2rk n n v
2
模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即
2 2
3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有
[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2kdn vdt
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4
Q1最大，第20席给甲系
1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
―公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
第二章
初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途
2.3 双层玻璃窗的功效
2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛
2.8 启帆远航
2.9 量纲分析与无量纲化
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
―公平”分配方 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
打分原则：（可以提建议）
1、组间打分（5分为满分） 5分：很好 4分：好 3分：及格 2分：不好 1分：非常不好 2、老师打分，组内打分（5分为满分） 5分：积极肯干，富有创造性 4分：参与讨论，收集资料，动手写作 3分：参与讨论，协助同组同学的工作 2分：毫无创造性，也不积极参与 1~0分：根本不参与 我校的成绩：优，良，中，及格，不及格
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 • 空右轮盘半径记作 • 时间
r；
t=0 时读数 n=0 .
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
建模目的
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在
DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些 重要问题值得研究？请明确提出你的问题， 并尝试建立相应的数学模型。
MCM1999A题：强烈的碰撞
美国国家航空和航天局(NASA)从过去某 个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击 地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来 考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到 了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比 撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
2005CUMCMB题： DVD在线租赁
考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴 纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租 赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在 线提交订单，网站就会通过快递的方式尽 可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单
Q值方法 分配结果
Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
1996CUMCM年B题
节水洗衣机
我国淡水资源有限,节约用水人人有责，洗衣机 在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已 非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放 入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水— 漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水— … —加水— 漂洗—脱水（称“加水—漂洗—脱水”为运行一 轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少 轮、每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果 的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行 运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你 的模型和结果出评价。
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!