第二章 数学模型
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姜启源数学模型第五版第二章
分析与建模
甲的无差别曲线
如果甲占有(x1,y1)与占有
y
(x2,y2)具有同样的满意程度, y0
即p1, p2对甲是无差别的.
y1
将所有与p1, p2无差别的点 连接起来, 得到一条无差别 y2
曲线MN.
O
.M
M1
p1
p3(x3,y3)
. .p2
N1
N
x1
x2
x0 x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.
参数估计 • 根据测试数据对模型作拟合.
• 调查交通工程学的相关资料：
司机反应时间c1约为0.7~1s， 系数c2约为0.01( mh2/km2)
城市通行能力模型
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.
3个参数之间的基本关系 q vk
交通流的主要参数及基本规律 q vk
速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 司机被迫减速
数据分析、机理分析 线性模型 v v f (1 k / k j )
vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时)
流量q与密度k 的关系 q v f k(1 k / k j )
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
Ta d
k2
Ta
Tb l
k1
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
《数学模型电子教案》课件
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
基本要求-控制系统数学模型
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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第二章控制系统的数学模型
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题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
第二章系统数学模型的建立
工质状态 （温度）
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
自动控制原理第二章数学模型
) （1）方程的系数 ai ( i 0 ,1 , n )、bj ( j 0,1, m为实常数。 （2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。 （3）方程两端各项的量纲是一致的。
相似系统——任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。
'
df x0 x kx ， 可得 y dx
简记为 y=kx
若非线性函数由两个自变量，如 y＝f（x1, x2）， 则在平衡点处可展成
f ( x10 , x20 ) f ( x10 , x20 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) [ ( x1 x10 ) ( x2 x20 )] x1 x2 f ( x10 , x20 ) 1 2 f ( x10 , x20 ) 2 [ ( x x ) 2 ( x x10 )(x x20 ) 1 10 2 2! x1x2 x1 2 f ( x10 , x20 ) 2 ( x x ) ] 2 20 2 x2
dt
d 2 (t )
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§2.3 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
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§2.3 非线性微分方程的线性化
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直 线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开
自动控制系统的数学模型
i1 nN
• K为系统增益或开环S N 放j1 (大S 倍Pj ) 数，
第二章 自动控制系统的数学模型
• 分子多项式根，系统零点（开环）， • 分母多项式根，系统极点（开环）。
m
K Ti
Kg
i1 nN
Tj
j1
第二章 自动控制系统的数学模型
• 三、关于传递函数，有如下几点说明： • ⑴ 传递函数表征了系统对输入信号的传递
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.3 典型环节传函分析 • 自动控制系统是由不同功能的元器件构成
的。从物理结构上看，控制系统的类型很 多，相互差别很大，似乎没有共同之处。 在对控制系统进行分析研究时，我们更强 调系统的动态特性。具有相同动态特性或 者说具有相同传递函数的所有不同物理结 构，不同工作原理的元器件，我们都认为 是同一环节。
dt t0
Tc
T t0
c
• 可从图上求出 Tc
第二章 自动控制系统的数学模型
• 过渡过程时间，根据定义，为输出到达稳 定值的95％（98％）所需的时间。 Ts=3T(Ts=5T)
• 一个流出水箱的水流量由阀门控制的蓄水 箱就是一个惯性环节的实例。无源RC网络、 单溶液槽、盲室压力系统和无套管热电偶 系统等也都是典型的惯性环节。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建立数学模型的目的有如下几点: • 1.可以定量分析系统动静态性能,看是否能
满足生产工艺要求。 • 2.可以用于定量的控制计算,对系统行为进
行预测,并加以控制。控制精度与模型精度 有关。 • 3.利用模型可以进行有关参数的寻优
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模的方法大概有三种: • 1.机理分析法(适用于机理已知的系统)，也
第2章 连续系统的数学模型
1 j f (t ) L F ( s) F ( s)e st ds , t 0 j 2j
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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27
第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
第2章 数学模型
35
3. R ( s ) 作用下的误差传递函数
E ( s) 1 e (s) R( s) 1 G1 ( s)G2 ( s ) H ( s )
4. N ( s) 作用下的误差传递函数
G2 ( s) H ( s) E ( s) en ( s) N (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
n
例2-7 原理图
例2-7 结构图
26
2.3.2 结构图的等效变换及化简
结构图等效变换的两条基本原则是： 1）变换前后前向通道中传递函数的乘积应保持不变；
2）变换前后各回路中传递函数的乘积应保持不变。
1. 基本连接的等效变换
结构图的基本连接方式有三种：串联、并联和反馈。 （1）串联
27
（2）并联
就可以近似地认为ｅ是沿着Ａ点上的切线
（直线）变化，这就是将非线性特性线性 化的方法，也称为小偏差法。
5
将非线性函数ｙ＝ｆ（ｘ）在工作点（ｘ０，ｙ ０）处展开成泰勒级数:
当忽略二次及二次以上的高次项时，就得到了一 个线性方程式：
线性化增量方程： y Kx
6
2.1.3 线性微分方程的求解
线性微分方程的求解，拉氏变换法： 拉氏变换法求解微分方程步骤： （1）方程两边求拉氏变换。 （2）给定的初始条件代入方程。 （3）求出系统输出量的拉式变换式。 （4）拉式反变换求出系统输出的时间解。
对于电路网络，可利用复阻抗的概念，直接写出 拉氏变换关系的代数方程求解传递函数。
电路网络中 的复阻抗：
电阻 —— R 电感 —— Ls
1 电容 —— Cs
20
例2-5 试求图2-11 所示有源电路网络的传递函数。
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
第二章数学模型的来源
★ 混合建模法
综合上述两种方法的优点，参数估计方法
8
第二节 机理法建立过程数学模型
一、一般步骤
★ 根据实际工艺要求，确定被控对象的输入、输出参数； ★ 根据对象所遵循的物理或化学规律，列出描述变化过程的 平衡方程（如物料平衡、能量平衡、动量平衡、相平衡等 方程及化学反应定律等）；
输入-输出 = 积累
进行系统分析和设计比较困难按数学模型所描述的运动状态分静态模型描述对象在静态时的输入量与输出量之间的关系不随时间而变化动态模型描述对象在输入量改变后输出量的变化情况输入量输出量随时间而变化机理分析法通过对过程内部运动机理的分析根据其物理或化学变化规律在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方程用微分方程或代数方程
二、时间常数 T
T 表示对象受扰动作用后，被控变量变化到新稳定值的 速度的快慢。 当t=T时， h(T ) KA 1 e1 0.632KA 0.632h()
时间常数T就是当被控变量变化达到新的稳态值的 0.632倍所需的时间。 时间常数的另一种求法：
h(∞)
0.632h (∞)
32
解：①由斜率 kAC=1/3和A(4,0)知直线AC的方程为 y =1/3(x-4)。 设B(t,0)，由kCB=-1知直线BC方程为： y=-1(x-t) 又∵G点和H点的纵坐标相同，得： 1/3(10-4)=-1(18-t) ∴t =20（此时沉淀完全消失） ②联立方程组y =1/3(x-4)、y=20-x 解得20-x=1/3(x-4); x=16（此时沉淀最多）。
23
传递滞后（纯滞后）
24
有、无纯滞后的一阶对象数学模型及阶跃响应曲线
dy t T y t Kx t dt
自动控制原理第二第二章数学模型线性化
自动控制原理第二章 数学模型线性化
目录
• 线性化基础 • 线性化方法 • 线性化应用 • 线性化案例分析
01
线性化基础
线性化的定义
线性化是指将非线性系统在平衡点附 近近似表示为线性系统的过程。
在自动控制原理中，线性化主要用于 分析系统的动态特性和稳定性。
线性化的过程
确定系统的平衡点
找到非线性系统的平衡点，这是线性化的起点。
高阶项的影响
在泰勒级数展开中，高阶项被忽略，因此线性化可能 引入误差。
02
线性化方法
泰勒级数展开法
总结词
泰勒级数展开法是一种通过将非线性函数在某一点处展开成幂级数来线性化非线性系统的有效方法。
详细描述
泰勒级数展开法基于数学中的泰勒级数，通过将非线性函数在某一参考点处展开成无穷级数的形式， 可以近似地表示该非线性函数。在自动控制系统中，选取适当的参考点，将非线性函数进行泰勒级数 展开，然后保留前几项，可以得到近似的线性化模型。
案例二：复杂控制系统线性化
总结词
对复杂控制系统进行线性化处理，以简化分析过程。
详细描述
复杂控制系统通常由多个相互耦合的动态元件组成，其数学模型通常为高阶非线性微分 方程。通过适当的线性化处理，可以将非线性模型简化为线性模型，从而简化分析过程。
案例三：多变量控制系统线性化
总结词
对多变量控制系统进行线性化处理，以实现 多变量控制。
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种将非线性函数表示为幂次函数的级数展开式的线性化方法。
详细描述
幂级数展开法的基本思想是将非线性函数表示为一系列幂次函数的和，通过选取适当的幂次函数，可以近似地表 示非线性函数。在自动控制系统中，利用幂级数展开法可以将非线性函数进行近似线性化，从而方便建立系统的 数学模型。
目录
• 线性化基础 • 线性化方法 • 线性化应用 • 线性化案例分析
01
线性化基础
线性化的定义
线性化是指将非线性系统在平衡点附 近近似表示为线性系统的过程。
在自动控制原理中，线性化主要用于 分析系统的动态特性和稳定性。
线性化的过程
确定系统的平衡点
找到非线性系统的平衡点，这是线性化的起点。
高阶项的影响
在泰勒级数展开中，高阶项被忽略，因此线性化可能 引入误差。
02
线性化方法
泰勒级数展开法
总结词
泰勒级数展开法是一种通过将非线性函数在某一点处展开成幂级数来线性化非线性系统的有效方法。
详细描述
泰勒级数展开法基于数学中的泰勒级数，通过将非线性函数在某一参考点处展开成无穷级数的形式， 可以近似地表示该非线性函数。在自动控制系统中，选取适当的参考点，将非线性函数进行泰勒级数 展开，然后保留前几项，可以得到近似的线性化模型。
案例二：复杂控制系统线性化
总结词
对复杂控制系统进行线性化处理，以简化分析过程。
详细描述
复杂控制系统通常由多个相互耦合的动态元件组成，其数学模型通常为高阶非线性微分 方程。通过适当的线性化处理，可以将非线性模型简化为线性模型，从而简化分析过程。
案例三：多变量控制系统线性化
总结词
对多变量控制系统进行线性化处理，以实现 多变量控制。
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种将非线性函数表示为幂次函数的级数展开式的线性化方法。
详细描述
幂级数展开法的基本思想是将非线性函数表示为一系列幂次函数的和，通过选取适当的幂次函数，可以近似地表 示非线性函数。在自动控制系统中，利用幂级数展开法可以将非线性函数进行近似线性化，从而方便建立系统的 数学模型。
第2章第1节拉普拉斯变换
lim f ( t ) lim s F ( s )
t
AEEC
航空工程实验中心
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 L1 [ F ( s )] 。由F(s) 可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实 部。接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。
0
0 t
f 2 ( ) d f1 (t )e st dt
令t , 则 L[ f1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0
f 2 ( ) d f1 ( )e s ( ) d
0
0
f 2 ( )e
s
1
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 1 1 ( 1) 1 ( 2 ) 2 L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 1 n L[ f (t )dt ] n F ( s) s 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
L[ h(t )] sL[ h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[ h(t )] L[ h (t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
数学模型-第02章(第五版)
对Q1比Q2的减少量 作最保守的估计，
取k1/k2 =16
Q1 1 , h l
Q2 8h 1
d
模型应用
Q
1
l
1
, h
Q 8h 1
d
2
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03
Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
0.06
减少97%的热量损失.
结果分析
0.03 0.02
八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 0.610 30.0
空艇重w0(kg) 桨手数n 16.3 13.6 18.1 .7
准 调查赛艇的尺寸和质量 备
l /b, w0/n 基本不变
问题分析 分析赛艇速度与桨手数量之间的关系
赛艇速度由前进动力和前进阻力决定: • 前进动力 ~ 桨手的划桨功率 • 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力
O 2 4 6h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系 数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
实际上双层窗的功效不会如此之大!
2.2 划艇比赛的成绩
对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际
问 大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某 题 种关系. 试建立数学模型揭示这种关系.
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲 线M1N1上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）.
甲的无差别曲线 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度
y
f(x,y)=c1
.y
p1
c1
（f ~等满意度曲线）
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• 有许多类型的控制系统，其组成可以是电气的、机 械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统运动 的模型却可以是相同的。 • 在研究一个控制系统时，首先要建立该控制系统的
数学模型。得到了描述系统运动的数学模型，就可
以采用数学分析的方法来研究该系统的运动规律。
通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种 类型系统的外部特征而抓住其内在的共同运动规律.
则系统的输入为
输出保持线性可加为
2.控制系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是：
①分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定 出待研究元件或系统的输入量和输出量； ②从输入端入手，依据各元件所遵循的物理、化学、生 物等规律，列写各自方程式；
③ 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，
根据拉氏变换的 基本定理
部 分 分 式 法
分母全部为单根 分母有重根
几个重要的拉氏变换对 f(t) F (s ) f(t) F(s)
2 2 s
s s2 2
( s a)2 2
sa ( s a)2 2
(t )
1(t )
1
1 s
sin t
cos t
e sin t
st
复变量 当t<0, f(t)=0
对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉氏 变换之间保持唯一的对应关系。
F s
一一映射
f t
2.常用信号的拉氏变换
单位脉冲信号
f(t)
1/a
0 a
t
1 , 0t a f t a 0, t 0, t a
单位脉冲信号
duC (t ) 由（2）代入（1）得： RC uC (t ) ui (t ) dt
令T=RC 方程可简写为
线性定常系统的微分方程可表示为
为输出信号的各阶导数 为输入信号的各阶导数
线性定常系统
满足叠加定理
参数为常数
叠加定理
如果有 输入 x1(t) 输入 x2(t) 输出 y1(t) 输出 y2(t)
则
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 (s) bF2 (s)
延迟定理
若 L[ f (t )] F ( s) 则 L[ f (t )] e s F ( s) 例 ：周期锯齿波信号如图所示，试求该信号的拉 氏变换。
解：第一周期信号
T f1 (t ) t T 1(t ) (t T ) 1(t T ) 2
卷积定理
若 L[ f1 (t )] F1 (s), L[ f 2 (t )] F2 ( s) 则
卷积
4. 拉氏变换的优点：
简化函数
简化运算
5. 拉氏反变换
拉氏变换的逆运算称为拉氏反变换。 拉氏变换： 已知 f ( t ) 求 F (s ) 求 f(t) 拉氏反变换： 已知 F (s)
微分定理
若初始条件为零
s 为微分算子
积分定理
若 L[ f (t )] F ( s) 则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
初值定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且在 t=0处有初值 f ( 0 ) 则
终值定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且 f (∞) 存在，则
数学表达式
单位阶跃信号
数学表达式
单位斜坡信号
数学表达式
指数信号
数学表达式
f (t ) cost
正、余弦信号
数学表达式
f (t ) sin t
f (t ) cos t
3.拉氏变换的基本定理
线性定理
若函数分别有其拉氏变换：
L[ f1 (t )] F1 (s), L[ f 2 (t )] F2 (s)
2 s 1
1 s 1 s 0
1 1 3 b1 (2 s ) 1, c 3 2! s ( s 1) s 1 1 1 1 1 Y ( s) 3 2 s ( s 1) ( s 1) s 1 1 2 t t t y 1 t e te e 2
R ui C uc
依据：电学中的基尔霍夫定律
R ui C uc
uR (t ) uc (t ) ui (t )
即
Ri(t ) uc (t ) ui (t )
1 因为电容电流为 uC (t ) C
duC (t ) i (t ) C dt
(1)
i (t )dt 两边求导得
(2)
f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t 2 )
由延迟定理对于周期信号有
衰减定理
若 则 例：求函数 解： 的拉氏变换
L[ f (t )] F ( s)
微分定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且 f(t) 的各阶导数存在， 则 f (t) 各阶导数的拉氏变换为：
线性化方程为
注意
• 本质非线性系统不可以作线性化。
• 不同的工作点，不同的线性化系数，有不同的
线性化方程。 • 多变量情况时，其线性化方法相似。
• 工作点邻域的线性化方程是增量方程，增量范围
过大时，将不满足线性化条件。
y f ( x1 , x2 ) 为连续可导的非线性函数
( x10 , x20 , y0 ) 为预定工作点，则其在预定工作
U D U D0 K ( 0 ) U 0 sin 0 ( 0 )
U D K ( 0 ) U 0 sin 0 ( )
线性化方程为 U D K
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [ 0 , 0 ]
微分方程 传递函数 频率特性 结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
• • • •
数学模型 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
§2.1
控制系统的微分方程
1.控制系统的微分方程
引例：由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以ui为输入，uc为输出的系统关系方程。
非线性系统作线性化时的步骤：
近似线性化方程为
令
作变量替换得线性化方程
例：三相全桥整流调速装置输入量为控制角
输出量为整流电压UD ,二者之间的关系为
U D U 0 cos
试建立其线性化方程。 解：预定工作点为 [ 0 ,U D ] 0
K dU D0 d
0
U 0 sin 0
点附近的线性化方程为
y y0 k1 ( x1 x10 ) k2 ( x2 x20 )
f k1 x1
( x10 , x20 )
f k2 x2
( x10 , x20 )
§2.3
拉氏变换及其应用
1. 拉氏变换 f(t)F(s) 2. 拉氏变换的基本定理 3. 拉氏反变换 F(s) f(t) 4. 拉氏变换法求解微分方程
第二章 控制系统的数学描述方法
---控制系统的数学模型 目的
建立控制系统的数学模型，为课程的后续内 容提供必备的工具
内容
掌握建立物理系统数学模型的方法 掌握数学模型的相互转换 掌握数学模型的图解形式
引 言
数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。 建立数学模型的目的：是分析和设计控制系统的
首要工作（或基础工作）。
y
(3)
3 y 3 y y 1, y(0) y(0) y(0) 0
解：两边取拉氏变换，代入初始条件得 1 ( s 3s 3s 1)Y ( s ) s b3 b2 b1 1 c Y (s) 3 3 2 s ( s 1) ( s 1) ( s 1) s 1 s
f
由牛顿第二定律： 合力 外力
Fi(t)外力
Fk(弹簧 的拉力)
粘性阻力
弹性阻力
m
Ff阻尼器 的阻力
虎克定律 : 弹簧弹力等于弹性系数与相对变 粘性摩擦定律 : 粘性摩擦力等于摩擦系数与 代入整理 形位移的乘积 相对速度的乘积
§2.2 非线性微分方程的线性化
部分非线性系统，在一定条件下可近似地视为线性系 统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学 模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。
标准形式
整理
微分方程
电学系统： 元件约束
三种基本线性元件电阻R、电容C和电感L
电学系统： 网络约束
基尔霍夫电压电流定律：
在电路的任一闭合回路中，各支路电压的代数和为零 流出（或流入）任意节点的各支路电流的代数和为零
例：考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以 ui 为输入，u0 为输出的微分方程。
为什么要线性化
非线性系统的性质比线性系统要复杂得多
哪种非线性系统可以线性化
连续可导的非线性系统
如何进行线性化
使用小偏差法
除本质非线性系统之外，大部分非线性系统都可以在 工作点邻域线性化。
连续可导的非线性特性
本质非线性特性
小偏差理论
• 具有连续变化的非线性函数 y f ( x)
A[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以 线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小。 在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰 勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所 得的线性化方程代替原有的非线性方程。
• 建立数学模型的方法
• 解析法（机理模型）：依据系统及元件各变量
之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的 数学关系式。
数学模型。得到了描述系统运动的数学模型，就可
以采用数学分析的方法来研究该系统的运动规律。
通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种 类型系统的外部特征而抓住其内在的共同运动规律.
则系统的输入为
输出保持线性可加为
2.控制系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是：
①分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定 出待研究元件或系统的输入量和输出量； ②从输入端入手，依据各元件所遵循的物理、化学、生 物等规律，列写各自方程式；
③ 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，
根据拉氏变换的 基本定理
部 分 分 式 法
分母全部为单根 分母有重根
几个重要的拉氏变换对 f(t) F (s ) f(t) F(s)
2 2 s
s s2 2
( s a)2 2
sa ( s a)2 2
(t )
1(t )
1
1 s
sin t
cos t
e sin t
st
复变量 当t<0, f(t)=0
对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉氏 变换之间保持唯一的对应关系。
F s
一一映射
f t
2.常用信号的拉氏变换
单位脉冲信号
f(t)
1/a
0 a
t
1 , 0t a f t a 0, t 0, t a
单位脉冲信号
duC (t ) 由（2）代入（1）得： RC uC (t ) ui (t ) dt
令T=RC 方程可简写为
线性定常系统的微分方程可表示为
为输出信号的各阶导数 为输入信号的各阶导数
线性定常系统
满足叠加定理
参数为常数
叠加定理
如果有 输入 x1(t) 输入 x2(t) 输出 y1(t) 输出 y2(t)
则
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 (s) bF2 (s)
延迟定理
若 L[ f (t )] F ( s) 则 L[ f (t )] e s F ( s) 例 ：周期锯齿波信号如图所示，试求该信号的拉 氏变换。
解：第一周期信号
T f1 (t ) t T 1(t ) (t T ) 1(t T ) 2
卷积定理
若 L[ f1 (t )] F1 (s), L[ f 2 (t )] F2 ( s) 则
卷积
4. 拉氏变换的优点：
简化函数
简化运算
5. 拉氏反变换
拉氏变换的逆运算称为拉氏反变换。 拉氏变换： 已知 f ( t ) 求 F (s ) 求 f(t) 拉氏反变换： 已知 F (s)
微分定理
若初始条件为零
s 为微分算子
积分定理
若 L[ f (t )] F ( s) 则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
初值定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且在 t=0处有初值 f ( 0 ) 则
终值定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且 f (∞) 存在，则
数学表达式
单位阶跃信号
数学表达式
单位斜坡信号
数学表达式
指数信号
数学表达式
f (t ) cost
正、余弦信号
数学表达式
f (t ) sin t
f (t ) cos t
3.拉氏变换的基本定理
线性定理
若函数分别有其拉氏变换：
L[ f1 (t )] F1 (s), L[ f 2 (t )] F2 (s)
2 s 1
1 s 1 s 0
1 1 3 b1 (2 s ) 1, c 3 2! s ( s 1) s 1 1 1 1 1 Y ( s) 3 2 s ( s 1) ( s 1) s 1 1 2 t t t y 1 t e te e 2
R ui C uc
依据：电学中的基尔霍夫定律
R ui C uc
uR (t ) uc (t ) ui (t )
即
Ri(t ) uc (t ) ui (t )
1 因为电容电流为 uC (t ) C
duC (t ) i (t ) C dt
(1)
i (t )dt 两边求导得
(2)
f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t 2 )
由延迟定理对于周期信号有
衰减定理
若 则 例：求函数 解： 的拉氏变换
L[ f (t )] F ( s)
微分定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且 f(t) 的各阶导数存在， 则 f (t) 各阶导数的拉氏变换为：
线性化方程为
注意
• 本质非线性系统不可以作线性化。
• 不同的工作点，不同的线性化系数，有不同的
线性化方程。 • 多变量情况时，其线性化方法相似。
• 工作点邻域的线性化方程是增量方程，增量范围
过大时，将不满足线性化条件。
y f ( x1 , x2 ) 为连续可导的非线性函数
( x10 , x20 , y0 ) 为预定工作点，则其在预定工作
U D U D0 K ( 0 ) U 0 sin 0 ( 0 )
U D K ( 0 ) U 0 sin 0 ( )
线性化方程为 U D K
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [ 0 , 0 ]
微分方程 传递函数 频率特性 结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
• • • •
数学模型 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
§2.1
控制系统的微分方程
1.控制系统的微分方程
引例：由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以ui为输入，uc为输出的系统关系方程。
非线性系统作线性化时的步骤：
近似线性化方程为
令
作变量替换得线性化方程
例：三相全桥整流调速装置输入量为控制角
输出量为整流电压UD ,二者之间的关系为
U D U 0 cos
试建立其线性化方程。 解：预定工作点为 [ 0 ,U D ] 0
K dU D0 d
0
U 0 sin 0
点附近的线性化方程为
y y0 k1 ( x1 x10 ) k2 ( x2 x20 )
f k1 x1
( x10 , x20 )
f k2 x2
( x10 , x20 )
§2.3
拉氏变换及其应用
1. 拉氏变换 f(t)F(s) 2. 拉氏变换的基本定理 3. 拉氏反变换 F(s) f(t) 4. 拉氏变换法求解微分方程
第二章 控制系统的数学描述方法
---控制系统的数学模型 目的
建立控制系统的数学模型，为课程的后续内 容提供必备的工具
内容
掌握建立物理系统数学模型的方法 掌握数学模型的相互转换 掌握数学模型的图解形式
引 言
数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。 建立数学模型的目的：是分析和设计控制系统的
首要工作（或基础工作）。
y
(3)
3 y 3 y y 1, y(0) y(0) y(0) 0
解：两边取拉氏变换，代入初始条件得 1 ( s 3s 3s 1)Y ( s ) s b3 b2 b1 1 c Y (s) 3 3 2 s ( s 1) ( s 1) ( s 1) s 1 s
f
由牛顿第二定律： 合力 外力
Fi(t)外力
Fk(弹簧 的拉力)
粘性阻力
弹性阻力
m
Ff阻尼器 的阻力
虎克定律 : 弹簧弹力等于弹性系数与相对变 粘性摩擦定律 : 粘性摩擦力等于摩擦系数与 代入整理 形位移的乘积 相对速度的乘积
§2.2 非线性微分方程的线性化
部分非线性系统，在一定条件下可近似地视为线性系 统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学 模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。
标准形式
整理
微分方程
电学系统： 元件约束
三种基本线性元件电阻R、电容C和电感L
电学系统： 网络约束
基尔霍夫电压电流定律：
在电路的任一闭合回路中，各支路电压的代数和为零 流出（或流入）任意节点的各支路电流的代数和为零
例：考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以 ui 为输入，u0 为输出的微分方程。
为什么要线性化
非线性系统的性质比线性系统要复杂得多
哪种非线性系统可以线性化
连续可导的非线性系统
如何进行线性化
使用小偏差法
除本质非线性系统之外，大部分非线性系统都可以在 工作点邻域线性化。
连续可导的非线性特性
本质非线性特性
小偏差理论
• 具有连续变化的非线性函数 y f ( x)
A[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以 线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小。 在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰 勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所 得的线性化方程代替原有的非线性方程。
• 建立数学模型的方法
• 解析法（机理模型）：依据系统及元件各变量
之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的 数学关系式。