第二章 数学模型-正式2

N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
[上张] [下张]
零点和极点
G(s)
M (s) N (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
... ...
bm1s an1s
bm an
G(s) M (s) b0 (s z1)(s z2 )...(s zm ) N (s) a0 (s p1)(s p2 )...(s pn )
L1[C(s)] g(t) L1[G(s)]
[上张] [下张]
[例2-16]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2M c (t)Байду номын сангаас
令M c (t)
0得：G1 ( s)
m (s) Ua (s)
K1 Tms 1
系统的传递函数
G(s)
X o (s) Xi (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
[上张] [下张]
(2)性质
(1)是系统的动态数学模型
系统的微分方程
a0
d n xo (t) dt n
a1
d n1xo (t) dt n1
... an1
G(s)
Xo (s) Xi (s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
M (s) (n m) N (s)
G(s) M (s) N (s)
M (s) b0sm b1sm1 ... bm1s bm N (s) a0sn a1sn1 ... an1s an
微分方程
传递函数
[上张] [下张]
(2)性质
G(s)
X o (s) Xi (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
(2) 复变函数，是自变量为s的有理真分式且各系数均为实 常数.
（3）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入 输出无关；但与输入、输出信号的选择有关。
[上张] [下张]
1. 传递函数的概念和定义 定义：
线性定常系统，零初始条件下，系统输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
三要素：1）线性定常系统 2） 零初始条件
输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。
[上张] [下张]
1. 传递函数的概念和定义 定义： 线性定常系统，零初始条件下，系统输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 三要素：1）线性定常系统 2） 零初始条件 3）输出与输入的拉氏变换之比
[上张] [下张]
第二章 控制系统的数学模型
2-1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图与信号流图 2-5 控制系统建模的MATLAB方法
2.3 控制系统的复数域数学模型 返回
拉氏变换
运动微分方程
传递函数
1. 传递函数的定义和性质 2. 传递函数的零点和极点 3. 传函的极点和零点对输出的影响（自学） 4. 典型元部件的传递函数
dxo (t) dt
an xo (t)
b0
d
m xi (t) dt m
b1
d
m1xi (t) dt m1
...
bm1
d
xi (t) dt
bm xi (t)
系统的传递函数
G(s)
X o (s) Xi (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
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例2-15 求RLC无源网络的传递函数
解 ：该系统的运动方程为
在零初始条件下, 对上式进行拉氏变换， 可得
(LCs2 RCs 1)U0 (s) Ui (s)
所以系统的传递函数为
G(s)
U0 (s) Ui (s)
LCs 2
1 RCs
1
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系统传递函数的一般形式
第二章 控制系统的数学模型
如何描述一个系统？
数学模型
控制系统的数学模型是描述系统内部各 物理量（或变量）之间关系的数学表达 式或图形表达式或数字表达式。
能否用数学的方式来描述物理系统？
数学模型的形式是多样的。 建立控制系统数学模型的方法：分析 法和实验法。 建立数学模型时，要对模型的精确性 与简洁性进行折衷的考虑。
a0
d n xo (t) dt n
a1
d n1xo (t) dt n1
...
an1
dxo (t) dt
an xo (t)
b0
d
m xi (t dt m
)
b1
d
x m1 i
(t
)
dt m1
...
bm1
d
xi (t) dt
bm xi (t)
初始条件为零时 微分方程拉氏变换
(a0sn a1sn1 ... an1s an )Xo (s) (b0sm b1sm1 ... bm1s bm)Xi (s)
令ua (t) 0
得Gm (s)
m(s) K2 MC (s) Tms 1
m
(t )
L1[m
(s)]
L1[
K1 Tms
U 1
a
(s)
K2 Tms 1
M
c
(s)]
L1[G1(s)Ua (s)] L1 Gm (s)M c (s)
1(t) 2 (t)
[BACK]
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2.特征方程、零点和极点（几个概念）
（4）只适合于单输入单输出系统，无法描述系统内部中 间变量的变化情况。
R(s) G(s) C(s)
[上张] [下张]
(2)性质
(5) 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。
(6)传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。
定义：单位脉冲作用下的系统输出.
C(s) G(s)R(s)
当输入为理想单位脉冲时，有R(s)=1,则：C(S)=G(s) 两边取拉氏反变换，得：
[上张] [下张]
传递函数的零、极 点分布图：
将传递函数的 零、极点表示在复 平面上的图形。
M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点。
N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点。
！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。