数学模型2

记 qi=Npi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, …m)
m
• 各方先分配qi的整数部分[qi], 总余额为 N N [qi ]
i 1
• 记ri =qi-[qi], 则第i 方的分配名额ni为
ni
[qi [qi
] 1, ri最大的N ], 其它
个
要 已知份额向量q=(q1, …, qm), 找一个整数 求 分配向量n=(n1, …, nm), 使n与q最接近.
份额qi=Npi /P, 分配名额ni = ni (N, p1, ,… pm ) 1) [qi] ni [qi]+1 (i=1,2, …m) ~ 公平分配性 2) ni (N, p1, ,… pm ) ni (N+1, p1, ,… pm) ~名额单调性
3) 若pi< pi' , pj= pj '(ji), 则ni (N, p1,… ) ni' (N, p1',…)
,m
该席给Q值最大的一方 Q 值方法 (Huntington)
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
百度文库
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
背
Hamilton (比例加惯例) 方法------
景 1792年美国国会用于分配各州众议员名额
已知: m方人数分别为 p1, p2,… pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N.
i=1 103 10 114(+10.6%) 10.60 11
i=2 63 6 63
5.86 6
i=3 34 4 38(+11.8%) 3.54 3
总和 200 20 215
20 20
pi
qi
ni
103 10.50 11
63 6.42 6
34 3.47 3
6 0.61 1
206 21 21
“公平”分配方 法 人数 席位
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席?
若代表会议增加1席，如何分配21席?
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席, 若增加1席, 问应分给A, 还是B?
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平.
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
Hamilton方法的不公平性
1. p1, p2,… pm不变, N的增加会使某个ni减少 (上例).
2. N不变, pi 比pj的增长率大, 会使 ni减少 nj增加(例1).
3. p1, p2,… pm不变, m增加1, N的增加会使某个ni增加
而某个ni减少(例2).
例1
例2
pi ni
pi
qi ni
~人口单调性 4) ni, nj的转让不能使得它们更接近qi ,qj ~ 接近份额性
模型的公理化研究
• “比例加惯例”方法满足公理 1，但不满足公理2. • Q值方法满足公理2, 但不满足公理1 .
pi
qi ni
i=1 952 95.2 94
第二章 初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 动物的身长和体重 2.7 实物交换 2.8 核军备竞赛 2.9 启帆远航 2.10 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会 题 议共20席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席.
96.4,
Q2
632 67
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法
分配结果 甲系11席, 乙系6席, 丙系4席 公平吗？
模型的公理化研究
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的公理 (1974) 已知p1, p2,… pm , P, N