数学模型2

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数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析

实验二：微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1）微分方程例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

自动控制原理(第三版)第2章控制系统的数学模型(2)

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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。
零点用“o”表示极点用“×”表示
j
1 -3 -2

-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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第2章自动控制系统的数学模型(2)

1/R2
I2(s)
Uc
I2
1/C2S
Uc(s)
双RC网络动态结构图
2.4.2. 动态结构图的等效与简化
1 串联连接的传递函数
X 2 (S ) G2 (S ) X 3 (S ) X1(S) X 3 (S ) G1 (S ) X 1 (S ) G(S) G1 (S)G 2 (S)
X3(S) X2(S) G2(S) G1(S)
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
例试绘制如图所示无 1 源网络的结构图i i1
Ui
i i1 i2 ui i 1R1 u0 u0 iR2 1 i2dt R1i1 c 由(1)式有 I1(S)
i2
C
பைடு நூலகம்
R1
R2
U0
解:
I(S) I1 (S) I 2 (S) (1) U i (S) I1 (S)R1 U 0 (S) (2) U 0 (S) R 2 I(S) (3) R 1I1 (S) 1 I2(S ) CS (4)
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)

数学模型二房室模型

对应齐次方程通解可证明：特征方程有两个不相等负根
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
给药速率 f0(t) 几种常见的给药方式和初始条件 t=0 瞬时注射剂量D0 1.快速静脉注射 f (t ) 的药物进入中心室,血 V c (t ) (k k )c V k c V 药浓度立即为D0/V1
c1 (t ), c2 (t ) 0
详解
• 因f0( B1e t , c2 (t ) A2et B2e t 1 • 代入方程第一式（第二式也可）
- A1e
t
- B1e
t
（k12 k13 )( A1e -
c1 (t ) A1e (t T ) B1e (t T ) 通解 c2 (t ) A2 e (t T ) B2 e (t T )
常数A1 A2 k0 (k21 ) k0 (k21 ) , B1 , V1k21k13 ( ) V1k21k13 ( )
t>T以后，静脉注射停止
V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 1 方程 ,t T c (t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V2
当T充分大，初值 k0 c1 (T ) k13V1 k12 k0 c2 (T ) k 21k13V2
f 0 (t ) V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 V 1 1 c (t ) V1 k c k c f 0 (t ) k0 , c1 (0) 0, c2 (0) 0 2 12 1 21 2 V2

数学建模 2统计模型

数学建模论文题目：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病痛减轻时间／min用药剂量／g性别血压组别1 352 0 0.252 43 2 0 0.503 55 2 0 0.754 47 2 1 0.255 43 2 1 0.506 57 2 1 0.757 26 5 0 0.258 27 5 0 0.509 28 5 0 0.7510 29 5 1 0.2511 22 5 1 0.5012 29 5 1 0.7513 19 7 0 0.2514 11 7 0 0.5015 14 7 0 0.7516 23 7 1 0.2517 20 7 1 0.5018 22 7 1 0.7519 13 10 0 0.2520 8 10 0 0.5021 3 10 0 0.7522 27 10 1 0.2523 26 10 1 0.5024 5 10 1 0.75一、摘要在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。

我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<0.05）和拟合度R -S q 的值是否更大（越大，说明模型越好）。

朱玉华自动控制原理第2章数学模型2-3

G(s) C(s) ……① R(s)
若已知线性定常系统的微分方程为
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中，c(t)为输出量，r(t)为输入量。
§2.3 传递函数
一、传递函数的基本概念
指导思想：在零初始条件下，通过拉氏变换，将微分方程变为s域（复数域）内的代数方程，在s 域内研究系统的运动规律。必要时，通过拉氏反变换转化为时域形式。
s域（复数域）内的代数方程（即数学模型），称为传递函数。
1、传递函数的定义
在初始条件为零时，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，定义为该系统的传递函数。
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
RC
dui (t) dt
G(s) RCs Td s RCs 1 Td s 1
只有当Td<<1时，才有G(s)≈Tds，实际的微分环节趋于理想微分环节
再如:RL网络,其电路方程为
du0 (t) dt
R L
u0 (t)
dui (t) dt
G(s) Ls Td s Ls 1 Td s 1
如
G(s)
C(s) R(s)
b1s a0s2
b2 a1s
a2
S的代数方程：
(a0s2 a1s a2 )C(s) (b1s b2 )R(s)
用 d 置换s后得相应的微分方程 dt
a0
d 2c(t) dt 2

BT 数学模型分析2

4.80
9.60
9771
0.1732 0.693
4.67
9.34
10762
0.1775 0.710
4.56
9.12
11786
0.1820 0.728
4.46
8.92
12840
0.1865 0.746
4.37
8.75
13924
0.1912 0.765
4.30
8.59
15036
0.1960 0.784
4.23
53 6月21日 54 6月22日 55 6月23日 56 6月24日 57 6月25日 58 6月26日 59 6月27日 60 6月28日 61 6月29日 62 6月30日 63 7月1日 64 7月2日 65 7月3日 66 7月4日 67 7月5日 68 7月6日 69 7月7日 70 7月8日 71 7月9日 72 7月10日 73 7月11日 74 7月12日 75 7月13日 76 7月14日 77 7月15日 78 7月16日 79 7月17日 80 7月18日 81 7月19日 82 7月20日 83 7月21日 84 7月22日 85 7月23日 86 7月24日 87 7月25日 88 7月26日 89 7月27日 90 7月28日 91 7月29日 92 7月30日 93 7月31日 94 8月1日 95 8月2日 96 8月3日 97 8月4日 98 8月5日 99 8月6日 100 8月7日 101 8月8日 102 8月9日 103 8月10日 104 8月11日 105 8月12日 106 8月13日
0.4110 0.4213 0.4318 0.4426 0.4537 0.4650 0.4767 0.4886 0.5008 0.5133 0.5261 0.5393 0.5528 0.5666 0.5808 0.5953 0.6102 0.6254 0.6410 0.6571 0.6735 0.6903 0.7076 0.7253 0.7434 0.7620 0.7811 0.8006 0.8206 0.8411 0.8621 0.8837 0.9058 0.9284 0.9516 0.9754 0.9998 1.0248 1.0504 1.0767 1.1036 1.1312 1.1595 1.1885 1.2182 1.2486 1.2799 1.3118 1.3446 1.3783 1.4127 1.4480 1.4842 1.5213

初中数学建模案例集精之2第二章角平分线四大模型

N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是；（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC 。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。

数学建模第二讲：简单的优化模型

B1的右边 (
A2B2过Q1点 ).
l2在l1上？如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1, l2在l1下？对消费者来说征收入税比征销售税好.
例2 价格补贴给生产者还是消费者
政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取的
两种价格补贴办法：
补贴前的消费点Q(x1*, x2*)
• 把补贴款直接给生产者 ~自然鼓励商品生产,对消费者无影响
优化模型
简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型
3.2 消费者的选择
3.3 生产者的决策
简单的优化模型(静态优化)
• 现实世界中普遍存在着优化问题. • 静态优化问题指最优解是数(不是函数). • 建立静态优化模型的关键之一是根据
建模目的确定恰当的目标函数. • 求解静态优化模型一般用微分法.
定性分析 c1 T,Q c2 T,Q r T ,Q 敏感性分析参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响
T对c1的(相对)敏感度
S (T , c1)
ΔT /T Δ c1 / c1
dT dc1
c1 T
1 2
c1增加1%, T增加0.5%
S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5%
模型应用 T 2 c1
rc 2
Q rT 2c1r c2
• 回答原问题 c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?
• 用于订货供应情况: 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.

建立数学模型 (2)优秀课件

1）“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力 3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力 4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力 6）团结协作的精神
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
建立数学模型
序言一、现状：数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生的喜爱。原因：一是由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。二是社会对大学生的要求越来越高，大学生毕业后要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。
建立变量能满足的微分方程
｛ m d v ( t ) mg kv dt v |t 0 0
？哪一类问题
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等提示我们注意什么量在变化(连续).
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.
常用建微立分方方法程
•机理分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律
•测试分析将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型
机理分析建模法
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律

第2章数学模型

35
3. R ( s ) 作用下的误差传递函数
E ( s) 1 e (s) R( s) 1 G1 ( s)G2 ( s ) H ( s )
4. N ( s) 作用下的误差传递函数
G2 ( s) H ( s) E ( s) en ( s) N (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
n
例2-7 原理图
例2-7 结构图
26
2.3.2 结构图的等效变换及化简
结构图等效变换的两条基本原则是： 1）变换前后前向通道中传递函数的乘积应保持不变；
2）变换前后各回路中传递函数的乘积应保持不变。
1. 基本连接的等效变换
结构图的基本连接方式有三种：串联、并联和反馈。（1）串联
27
（2）并联
就可以近似地认为ｅ是沿着Ａ点上的切线
（直线）变化，这就是将非线性特性线性化的方法，也称为小偏差法。
5
将非线性函数ｙ＝ｆ（ｘ）在工作点（ｘ０，ｙ０）处展开成泰勒级数:
当忽略二次及二次以上的高次项时，就得到了一个线性方程式：
线性化增量方程： y Kx
6

2.1.3 线性微分方程的求解
线性微分方程的求解，拉氏变换法：拉氏变换法求解微分方程步骤：（1）方程两边求拉氏变换。（2）给定的初始条件代入方程。（3）求出系统输出量的拉式变换式。（4）拉式反变换求出系统输出的时间解。
对于电路网络，可利用复阻抗的概念，直接写出拉氏变换关系的代数方程求解传递函数。
电路网络中的复阻抗：
电阻 —— R 电感 —— Ls
1 电容 —— Cs
20
例2-5 试求图2-11 所示有源电路网络的传递函数。

MATLAB数学建模2乒乓球的弹跳和罗基斯帝模型

乒乓球的弹跳罗基斯第模型[问题]罗基斯第模型一个乒乓球离球拍的高度为h0，落在球拍上反弹，设恢复系数为e，不计空气阻力。

(1)如果e为常数，讨论球的高度变化的规律。

如果e2与高度h n成线性关系e2=μ(1–h n/H0)(2.1)其中H0是最大高度，μ是参数。

对于不同的参数讨论小球高度的变化规律。

(2)当参数连续变化时，分析最后分布的高度。

(3)计算前几个分岔点。

(4)用李雅普洛夫指数判断混沌的发生。

[解析](1)当球从高度h n下落到球拍上之前速度为v(2.2)n球与球拍碰撞后反弹的速度为v'n=ev n(2.3)球反弹的高度为h n+1=e2h n(2.4)如果e<1，则球的反弹高度随次数不断减小；如果e=1，则球反弹后始终保持初始高度；如果e>1，例如球拍每次加一个向上的冲击力，则球的高度随次数不断增加。

e2与高度的线性关系说明：如果球的高度较大，则恢复系数较小，反之较大。

设相对高度为x n=h n/H0，则下一次上升的相对高度为x n+1=μ(1–x n)x n，(n=0,1,2,…)(2.5)这是著名的罗基斯第模型。

由于相对高度0≤x n≤1，而(1–x n)x n的最大值为1/4，所以参数的值在0到4之间。

球的高度强烈依赖参数。

[算法](1)先取一个参数，再取一个相对高度，通过迭代算法计算下一次碰撞后的高度，画出高度点，依此类推。

再取另一高度参数，重新通过迭代算法计算高度，画出高度点，依此类推。

[程序]MATH2_1.m如下。

%乒乓球与球拍的碰撞高度clear%清除变量u=input('请输参数(参考值:0.5,2,3.25,3.5,3.56,3.8):');%键盘输入初始相对高度(1)xn=0.9;%第1个的初始相对高度(2)figure%开创图形窗口plot(0,xn,'.')%画高度点text(0,xn,num2str(xn),'FontSize',16)%标记第1个的初始高度grid minor%加细网格title(['乒乓球与球拍的碰撞高度(\it\mu\rm=',num2str(u),')'],'FontSize',16)%标题n=50;%迭代次数axis([0,n,0,1])%坐标范围hold on%保持图像for j=1:n%按次数循环xn=u*(1-xn)*xn;%计算下一次的相对高度(3)plot(j,xn,'.')%画高度点end%结束循环xn=0.1;%取初始相对高度(4)plot(0,xn,'ro')%画高度点text(0,xn,num2str(xn),'FontSize',16)%初始高度for j=1:n%按次数循环xn=u*(1-xn)*xn;%计算下一次的相对高度(5)plot(j,xn,'ro')%画高度点end%结束循环[说明](1)程序执行时要用户用键盘输入参数，提供6个参数选择。

中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（）4231AFCB4321DAA．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠ABC；(1)求证：∠AOC＝90°＋12(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．∠MK=ML，角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；∠A(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

第12章+全等三角形全等模型(二)手拉手模型+专项训练++2024—2025学年人教版数学八年级上册

第11 讲全等模型(二)手拉手模型板块一初识手拉手模型(1)双等边三角形模型1 异侧双等边模型2 同侧双等边条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°结论:△ABD≌△ACE,∠BFC=∠BAC=60°典例精讲【例】如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,,BE,CD 交于点P,连接AP.(1)求证:BE=CD;(2)求∠BPD 的度数;(3)求证:PA 平分∠DPE.实战演练如图,AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,直线BE,CD 交于点P,连接AP.(1)求证:BE=CD;(2)求∠BPA 的度数.初识手拉手模型(2)双等腰直角三角形模型 1 异侧双等腰直角三角形模型2 同侧双等腰直角三角形条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°结论:△ABD≌△ACE,BD⊥CE典例精讲【例】如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,,连接BD,CE 交于点 P.(1)求证:△ABD≅△ACE;(2)判断 BD,CE 的关系并证明;(3)连接 PA,求∠APB的度数.实战演练如图，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.,点 D 在 CE 上,AF⊥CB,,垂足为F.(1)求证:BC⊥CE;(2)若BF=2,求CD-DE 的长.板块三初识手拉手模型(3)双等腰三角形条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE结论:△ABD≌△ACE,∠BAC=∠BFC模型 1 异侧双等腰三角形模型 2 同侧双等腰三角形典例精讲【例】如图1,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,直线BD,CE 交于点 P,连接AP.(1)求证:BD=CE;(2)求∠APB 的度数(用α表示);(3)将图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，直接写出∠APB= (用α表示).实战演练如图,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC,G,F 分别为DC,BE 的中点.若∠DAB=α,探究∠AGF 与α的数量关系.板块四构造手拉手模型模型1 构双等边三角形模型 2 构双等腰直角三角形等边△ABC等腰直角△ABC,∠BAC=90°典例精讲题型一构双等边三角形【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠ADB=∠BAC=60°.求.∠ADC的度数.题型二构双等腰直角三角形【例2】如图,在△ABC 中,.AB=AC,∠BAC=90°,∠ADB=45°.求∠ADC的度数.题型三构双等腰三角形【例3】如图,在.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∠ADB=30°.求∠ADC的度数.实战演练1.已知,在△ABC中,AB=AC,D 为BC上一点,AD=DE,∠ADE=∠BAC=α. (1)如图1,若α=90°,求∠DCE 的度数.(2)如图2,若α=120°,求∠DCE 的度数.2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ADB=∠ABC..求证:DA 平分.∠BDC.3.如图,P 为等边。

控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)

第三节传递函数
拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、传递函数概念
输入
输入拉氏变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出输出拉氏变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。
3）传递函数为复变量S 的有理分式。
4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。
二、基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能，但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至整个系统

初中数学模型2-截长补短模型证明问题

如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可考虑截长补短法. 截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.
一、截长
“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
知识总结
1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；
2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.
方法六：如图4所示，延长GC至N，使NG=BF，得四边形BFGN为平行四边形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，又CD=BC，可证△CDF≌△BCN（SAS）， DF=CN，以下从略.
方法七：如图5所示，延长CG至P，使CP=BF，连接PF，则四边形CPFB为平行四边形，PF=BC=DC，又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，因为∠PFG=∠FGC－∠P= 45°－∠P，
∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，又可证∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.
图5
方法八：
如图5所示，延长CG至P，使GP=DF，连接PF，可证∠DFC=∠PGF=135°，FC=CF，所以△DFC≌△PGF（SAS），所以DC=PF=BC， ∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，所以四边形BCPF为平行四边形，所以BF=CP=CG+PG=CG +DF.

数学建模实验答案__数学规划模型二.

实验05 数学规划模型㈡（2学时）（第4章数学规划模型）1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102(1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3≥ 0并求解模型。

★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）：(2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3均为非负整数并求解模型。

LINGO函数@gin见提示。

★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107模型：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x xx c注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x112112221112212211112112122211122122max 4.8() 5.6()()500100015000.50.6,,,,0z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥2.1解法1（NLP ）p104~106将模型变换为以下的非线性规划模型：1121122212311122122111121121222123122312311122122max4.8()5.6()(1086)50010000.50.6(500)0(500)00,,500,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。

舵机数学模型标准二阶

舵机数学模型标准二阶
舵机是一种常用的机电一体化控制器，广泛应用于机器人、自动
化控制等领域。

舵机的数学模型是控制其运动的关键，而标准二阶是
舵机数学模型中最基本的形式。

下面，我们将针对舵机数学模型标准二阶，分步骤进行阐述。

第一步，建立数学模型。

舵机数学模型标准二阶的基本形式可以
表示为：
θ''(t) + 2ξωnθ'(t) + ωn^2θ(t) = K*u(t)
其中，θ(t)表示舵机转角，t表示时间，u(t)为控制输入，K为
控制增益，ωn为自然频率，ξ为阻尼比。

第二步，解释各参数意义。

在舵机数学模型标准二阶中，自然频
率ωn表示舵机未受到外界干扰时，自身在单位时间内的震动次数，
阻尼比ξ则表示舵机响应过程中能量消耗的快慢程度。

控制增益K则
表示控制器对舵机的控制强度。

第三步，分析模型特点。

舵机数学模型标准二阶中，模型特点有
三个：一是舵机的响应过程是有阻尼的，二是舵机响应过程是不稳定的，三是舵机响应过程是有振荡的。

第四步，采用控制策略。

针对舵机数学模型标准二阶的特点，我
们可以采取一些控制策略来提高舵机的控制精度和响应速度。

比如，
采用PID控制器来控制舵机转角，设置合适的控制增益和阻尼比参数，以提高舵机控制精度和响应速度。

综上，舵机数学模型标准二阶是舵机控制中最基本的形式之一。

通过了解和掌握舵机数学模型标准二阶的建立、各参数意义、模型特点，以及采用合适的控制策略优化舵机控制，我们可以更好地掌握舵
机控制的核心技术，为实现舵机控制的自动化和智能化提供有益的参考。

模型2用换元思想速解函数嵌套问题模型(高中数学模型大归纳)

模型2 用换元思想速解函数嵌套问题【问题背景】形如y ＝f （g （x ））的复合函数（暂称此函数为“嵌套函数”），以基本初等函数相互“复合”成的一些“新函数”为主，常与函数的图象、性质、零点等交汇起来综合考查．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．【解决方法】【典例1】（2024江苏常州高级中学8月期初检测）已知函数()21exx x f x +-=，其中x ÎR ，则函数()()1y f f x =+共有______个零点．【套用模型】第一步：确定内层函数和外层函数．函数()()1y f f x =+分解后是函数()1y f t =+，()t f x =，即内层函数为()t f x =，外层函数为()1y f t =+．第二步：确定外层函数()1f t +的零点及所在区间．令()10f t +=，即()1f t =-．由()0f t =可得210t t +-=，解得t =，所以当t <<()0f t <．对()f t 求导得()22ett t f t -++¢=，令()0f t ¢=，得1t =-或2t =，因此()f t 在(),1-¥-上单调递减，在()1,2-上单调递增，在()2,+¥上单调递减．所以()1f t =-有两解1t ，2t ，不妨设12t t <11t <<-，20t =．第三步：根据外层函数的零点及零点所在区间，确定内层函数的零点情况．根据对()f t 的分析作出()f x 的大致图象，如图1所示．e >-，所以根据图象可知直线1y t =与曲线()yf x =有2个交点，直线2y t =与曲线()y f x =有2个交点．图1第四步：整合结论，确定结果．综上，函数()()1y f f x =+共有4个零点．【典例2】（2024重庆八中8月开学考试｜多选）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ì£ï=í>ïî，，()()()()()g x f f x f x a a =--ÎR ，则下列说法正确的是（）A ．a $ÎR ，使得()g x 有2个零点B ．a $ÎR ，使得()g x 有3个零点C ．若()g x 有3个零点，则1a >D ．若()g x 有4个零点，则1a =【套用模型】第一步：确定内层函数和外层函数，对内层函数实施换元．令()f x t =，则0t ³，则()()()()()0g x f f x f x a f t t a =--=Þ=+．【会转化】换元后，可以看出内层函数为()t f x =，外层函数为()()g t f t t a =--第二步：借助切线，研究外层函数的零点．根据题意作出()y f t =的大致图象，如图2所示，则外层函数的零点个数即直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³的交点个数．【易遗漏】内层函数的值域限制了外层函数的定义域，故换元后要注意新元的取值范围图2直线y t a =+的斜率为1，当1t ³时，ln 0t ³，设曲线()ln 1y t t =³的斜率为1的切线的切点为()00,ln t t ，1y t¢=，则由11t =得01t =，故切点为()1,0，切线方程为1y t =-．向上平移直线1y t =-，当到达直线1y t =+的位置时，与曲线()y f t =()0t ³有2个交点．故当1a >时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足()0,1t Î；当1a =时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有2个交点，交点横坐标分别满足()0,1t Î和0=t ；当11a -<<时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足()0,1t Î；当1a =-时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足1t =；当1a <-时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足1t >．第三步：研究内层函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数情况．再看()f x 的图象，如图3所示，图3当1t >时，曲线()y f x =与直线y t =有2个交点，当01t <£时，曲线()y f x =与直线y t =有3个交点，当0=t 时，曲线()y f x =与直线y t =有1个交点，当0t <时，曲线()y f x =与直线y t =没有交点．第四步：整合结论，求得结果．综上可知：当11a -£<或1a >时，()g x 有3个零点；当1a =时，()g x 有4个零点；当1a <-时，()g x 有2个零点．故选ABD ．【典例3】（2024江苏盐城8月期初测试）已知函数()21cos sin 4f x x a x =++在区间[]0,π上有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．51,44æö--ç÷èøB ．11,4æö--ç÷èø C ．1,4æö-¥-ç÷èø D ．5,14æö--ç÷èø【套用模型】第一步：利用降幂公式转化题目条件，换元确定内、外层函数．()222115cos sin 1sin sin sin sin 444f x x a x x a x x a x =++=-++=-++，令sin t x =，[]0,πx Î，则[]0,1t Î，则外层函数为254y t at =-++，内层函数为sin t x =．第二步：分析确定外层函数的零点个数．若函数254y t at =-++的零点含1，不符合题意．【扫清障碍】若函数254y t at =-++只有1个零点1t =，则函数()f x 只有1个零点π2x =；若函数254y t at =-++除1外还有别的零点，则由二次函数图象知函数()f x 的零点有奇数个．均不符合题意假设函数254y t at =-++在区间[)0,1上有n 个零点．第三步：分析确定内层函数的零点个数．若254y t at =-++在[)0,1上有1个零点0t ，则在[]0,π上有2个不同的x 满足0sin t x =，【会分析】正向求解零点个数的问题时，由外向内，逐层分析，即可得出结论；而已知零点个数求解参数范围时，需要先假设外层函数的零点情况，根据内、外层函数的对应关系，分析内层函数的零点情况，据此确定各假设是否成立因此若函数254y t at =-++在区间[)0,1上有n 个零点，则函数()f x 在[]0,π上有2n 个零点，所以函数()f x 在[]0,π上有2个零点，即函数254y t at =-++在区间[)0,1上有1个零点．第四步：根据t 的范围确定参数的范围．又0=t 时255044t at -++=>，则1t =时2551044t at a -++=-++<，得14a <-，即实数a 的取值范围为1,4æö-¥-ç÷èø．故选C ．【典例4】（2024广东茂名9月统测）已知函数()22f x x x =--，()10410x x g x x x x ì+>ï=íï+£î，，若关于x 的方程()()0g f x a -=有4个实数根，则实数a 的取值范围为______．【套用模型】第一步：换元，确定内层函数和外层函数．令()f x t =，则原方程可以化为()g t a =．第二步：根据原方程根的个数，分析内、外层函数的零点情况，确定t 的范围．因为方程()()0g f x a -=有4个实数根，且()()222111f x x x x =--=-++£，当1t =时，关于x 的方程()f x t =只有1个根=1x -，不符合题意．当(),1t Î-¥时，关于x 的方程()f x t =有2个不同的根．则原方程有4个根等价于函数()()1y g t t =<的图象与直线y a =有2个不同的交点．第三步：作出外层函数的图象和直线y a =．作出函数()()1y g t t =<和y a =的图象，如图4所示．图4第四步：数形结合，得出a 的取值范围．由图象可知，当514a £<时，函数()()1y g t t =<的图象与直线y a =有2个不同的交点，故a 的取值范围是51,4éö÷êëø．一、单选题（22-23高三上·河南焦作·期中）1．已知函数22,0()1ln(6),60x x x f x x x ì-³=í-+-<<î则函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4（2023·浙江温州·二模）2．已知22(0)(){log (0)xx f x x x £=>，则方程[()]2f f x =的根的个数是A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）3．设函数()32,0lg ,0x x f x x x +£ì=í>î，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2023·黑龙江哈尔滨·一模）4．已知函数131,(1)()ln(1),(1)x x f x x x -ì+£ï=í->ïî，若24()()2()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a取值范围为（）A．54(,)63+¥U B．5(2,)6+¥U C ．5[,2)6D ．4(,)3+¥（22-23高三上·天津·期末）5．已知函数|1||ln(2)|,>2()=12+,22x x x f x x --£ìïíïî，若函数2()[()]2()g x f x af x =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．35,44ìüæö+¥íýç÷îþèøU B ．15,24ìüæö+¥íýç÷îþèøU C ．35,44æùçèûD ．3,4æö+¥ç÷èø（2023·浙江宁波·二模）6．设a ÎR ，函数()21,0,0x x f x x ax x ì-³=í-+<î，若函数()y f f x =éùëû恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（）．A ．()2,0-B ．()0,1C ．[)1,0-D ．()0,2（22-23高三·浙江杭州·阶段练习）7．已知函数3221,0()31,()468,0x x f x x x g x x x x x ì+>ï=-+=íï---£î，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数不可能为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题（22-23高三上·黑龙江黑河·阶段练习）8．已知函数222,0()43,0x x x f x x x x ì--£=í-+>î，,0(),0x e x g x lnx x ì£ï=í>ïî，则函数()(())1h x g f x =-的零点个数为个．（22-23高三下·浙江温州·期末）9．设a R Î，函数()22,0,0x x f x x ax x ì-³=í-+<î，若函数()y f f x =éùëû恰有4个零点，则实数a 的值为.（22-23高三上·湖北武汉·期中）10．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x +£ì=í>î，则函数()1y f f x éù=-ëû的零点个数为 .参考答案：1．C【分析】分段函数，分别在定义域内求函数的零点，解方程即可.【详解】函数22,0()1ln(6),60x x x f x x x ì-³=í-+-<<î在(－6，＋∞)上有零点，则2020x x x ³ìí-=î或601ln(6)0x x -<<ìí-+=î，解得x ＝2或x ＝4或x ＝e －6，即函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选:C .【点睛】本题考查了求函数零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.2．C【分析】由题意，根据分段函数分段讨论根的可能性，从而求()f x ，再由()f x 求x 即可．【详解】由题意，当()0f x …时，()[()]22f x f f x ==， ()1f x = 与()0f x …矛盾，此时无解；当()0f x >时，2[()]|log ()|2f f x f x ==；故1()4f x =或()4f x =，若1()4f x =，则0x £ 时，124x=，0x >时，21|log |4x =，故2x =-或142x =或142x -=；若()4f x =，则0x £ 时，24x =，0x > 时，2|log |4x =，故2x =（舍去）或16x =或116x =；故共有5个根；故选：C ．3．C【分析】画出函数()f x 的草图，分析函数的值域及1()2f t =的解，由()f x t =解的个数，可得答案【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +£ì=í>î的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t £时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则=t 所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当=t()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C 4．D【分析】画出()f x 的图象，结合()F x 的零点个数以及函数的图象可得方程24203t at -+=的解1t 、2t 满足1212012t t t t ¹ìï<£íï>î，根据根分布可求实数a 取值范围.【详解】()f x的图象如图所示：因为()24()2()3F x f x af x =-+有4个不同的零点，故24203t at -+=有解，设此关于t 方程的解为1t 、2t ，其中12,t t 均不为零且1243t t =.由题设可得关于x 的方程()1f x t =和()2f x t =共有4个不同的解，故12120101t t t t ¹ìï<£íï<£î（舍）或1212012t t t t ¹ìï<£íï>î或121222t t t t ¹ìï>íï>î（舍）.所以4120344403402003a a a ì-+£ïïï-+<íïï-´+>ïî，解得43a >.故选：D.【点睛】方法点睛：复合方程的解的讨论，一般通过换元转化为内、外方程的解来处理，注意根据已知零点的个数合理推断二次方程的根的情况.5．A【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出()f x 的零点，数形结合求出方程()2f x a =有三个根的a 的取值范围作答.【详解】由()0g x =得：()=0f x 或()2f x a =，因函数|1||ln(2)|,>2()=12+,22x x x f x x --ìïí£ïî，由()=0f x 解得=3x ，因此函数2()=[()]2()g x f x af x -有四个不同的零点，当且仅当方程()2f x a =有三个不同的根，函数()f x 在(,1]-¥上递减，函数值集合为3[,+)2¥，在[1,2]上递增，函数值集合为35[,]22，函数()f x 在(2,3]上递减，函数值集合为[0,+)¥，在[3,+)¥上递增，函数值集合为[0,+)¥，在同一坐标系内作出直线2y a =与函数=()y f x 的图象，如图，方程()2f x a =有3个不同的根，当且仅当直线2y a =与函数=()y f x 的图象有3个公共点，观察图象知，当322a =或522a >，即34a =或54a >时，直线2y a =与函数=()y f x 的图象有3个公共点，所以实数a 的取值范围是35{}(,+)44È¥.故选：A【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.6．A【分析】当0a ³时，画出函数图象，可得()y f f x =éùëû有0x =和2x =两个零点；当a<0，画出函数图象，数形结合可得要使()y f f x =éùëû有3个零点，需满足0x <时，()max 1f x <.【详解】当0a ³时，()f x 的大致图象如图1，此时令()0f f x =éùëû，可得()1f x =，观察图象可解得0x =或2x =，即方程有2个根，则此时()y f f x =éùëû只有2个零点，不合题意；当a<0时，()f x 的大致图象如图2，此时令()0f f x =éùëû，可得()1f x =或()f x a =，由图易知()f x a =恰有一根，则需满足()1f x =有两根，而0x =和2x =均为()1f x =的根，则需满足0x <时，()max 1f x <，又0x <时()2f x x ax =-+的对称轴为2a x =，则()2max 124a a f x f æö==<ç÷èø，解得22a -<<，则20a -<<，综上，a 的取值范围为()2,0-.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数零点个数求参数范围，解题的关键是画出函数图象，数形结合即可进行判断求解.7．A【分析】对()f x 求导，得其单调性，故而可得函数图象，通过作出函数()g x ，()f x 的图象，数形结合，综合即可得结果．【详解】函数()()23632f x x x x x ¢=-=-，由()0f x ¢>得2x >或0x <，此时函数单调递增，由()0f x ¢<得02x <<，此时函数单调递减，即当0x =时，函数取得极大值()01f =，当2x =时，函数取得极小值()23f =-，函数21,0()468,0x x g x x x x x ì+>ï=íï---£î，()131,12g g æö-==ç÷èø，图象如图：令()f x t =，()g t a=当1a >时，()g t a =有2个根，121(0,),(1,)3t t ÎÎ+¥1()f x t =有3个根，2()f x t =有3个或1个根，所以原方程有6个或4个根；当1a =时，()g t a =有2个根，1213,2t t =-=1()f x t =有2个根，2()f x t =有3个根，所以原方程有5个根；当01a <<时，()g t a =有2个根，12(4,3),(3,2)t t Î--Î--1()f x t =有1个根，2()f x t =有3个根，所以原方程有4个根；∴方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数可能为：4个，5个，6个，不可能为3个，故选：A．8．10【分析】令()0h x =，即(())1g f x =，再令()1g x =，根据()g x 的解析式分类讨论，即可求出x ，即()0f x =或()f x e =或1()f x e=，再画出函数()f x 图象，数形结合即可判断；【详解】令()0h x =得(())1g f x =，令()1g x =得10x e x ì=í£î或10lnx x ì=í>î，解得0x =或x e =或1=x e．()0f x \=或()f x e =或1()f x e=．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有4个解，()f x e =有两个解，1()f x e=有4个解，()h x \共有10个零点．故答案为：109．-【分析】分0a ³和a<0两种情况讨论，由()0f f x =éùëû解出()f x 的值，然后分0x ³、0x <解关于x 的方程，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】①当0a ³时，由()0f f x =éùëû，可得()2f x =，当0x ³时，由()22f x x =-=，可得0x =或4，当0x <时，()20f x x ax =-+<.即当0a ³时，函数()y f f x =éùëû只有2个零点，不合乎题意；②当a<0时，由()0f f x =éùëû，可得()2f x =或()f x a =.当0x ³时，由()22f x x =-=，可得0x =或4，方程2x a -=无解，当0x <时，由()2f x x ax a =-+=，即20x ax a -+=，240a a D =->，解方程20x ax a -+=可得x a =，其中0x a =<合乎题意，0x a =+>舍去，所以，方程22x ax -+=在0x <时有唯一解，函数()2f x x ax =-+在,2a æö-¥ç÷èø上单调递增，在,02a æöç÷èø上单调递减，当0a x <<时，()0f x >，当x a <时，()0f x <，故2224a a f æö==ç÷èø，解得a =-综上所述，a =-故答案为：-.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．10．7【解析】先由()10f f x éù-=ëû可求得()f x 的值，再由0x £和0x >两种情况结合()f x 的值，可求得x 的值，即可得解.【详解】下面先解方程()10f f x éù-=ëû得出()f x 的值.（1）当()0f x £时，可得()()1110f f x f x -=+-=éùëû，可得()0f x =；（2）当()0f x >时，可得()()1ln 10f f x f x -=-=éùëû，可得()f x e =或()1f x e=.下面解方程()0f x =、()f x e =和()1f x e=.①当0x £时，由()10f x x =+=可得=1x -，由()1f x x e =+=可得1x e =-（舍去），由()11f x x e =+=可得11x e=-；②当0x >时，由()ln 0f x x ==可得1x =，由()1ln f x x e==可得1e x e =或1e x e -=，由()ln f x x e ==可得e x e =或e x e -=.综上所述，函数()1y f f x =-éùëû的零点个数为7.故答案为：7.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.。