第一节 绝对值不等式--高考状元之路 (6)

第一节 绝对值不等式

预习设计 基础备考

知识梳理

1．绝对值三角不等式

定理1；如果a ，b 是实数，则|,|||||b a b a +≤+当且仅当 时，等号成立．

定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|,|||||c b b a c a -+-≤-当且仅当 时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式a x a x ><|||与的解集：

)0(||)2(>≤+c c b ax 和)0(||>≥+c c b ax 型不等式的解法：

;||c b ax c c b ax ≤+≤-⇔≤+①

c b ax c b ax ≥+⇔≥+||②或.c b ax -≤+

)0(||||)3(>≥-+-c c b x a x 和)0(||||>≤-+-c c b x a x 型不等式的解法，

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，

③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

典题热身

1．(2011．玉溪模拟)设,,,0R b a ab ∈<那么正确的是( )

||||.h a b a A ->+ ||||||.b a b a B +<- ||||.b a b a c -<+ ||||||||.b a b a D -<- 答案：C

2．不等式3|1|1<+

)2,0.(A )4,2()0,2.( -B )0,4.(-c )2,0()2,4.( --D

答案：D

3．不等式x x 32|12|-<-的解集是 ( )

}21|.{

3|.{>x x D 答案：C

4．若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为

答案：(5，7)

5．已知关于x 的不等式0|5||2|>----k x x 的解集为R ，则实数A 的范围是

答案：)3,(--∞

课堂设计 方法备考

题型一 绝对值不等式性质定理的应用

【例1】,||m a x <-“且”m a y <-||是,,2||y x m y x ”（“<-）

R m a ∈,的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件

答案：A

题型二 绝对值不等式的解法

【例2】（2011．江苏高考）解不等式.3|12|<-+x x

题型三 含参数的绝对值不等式问题

【例3】若关于x 的不等式a x x ≤-++|1||2|的解集为,∅求实数a 的取值范围．

题型四 绝对值不等式的证明问题

【例4】设,)(2c bx ax x f ++=当1||≤x 时，总有,1|)(|≤x f 求证：.8|)2(|≤f

随堂反馈

1．已知α、β是实数，给出下列四个论断：①；

||||||βαβα+=+②|;|||βαβα+≤-③;22||,22||>>βα④.5||>+βα以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，

2．已知.4|1|)(,2|3|)(++-=---x x g x x f

(1)若函数）x f (的值不大于1，求x 的取值范围；

(2)若不等式1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围．

3．（2011．福建高考）设不等式1|12|<-x 的解集为M.

(1)求集合M;

(2)若,,M b a ∈试比较1+ab 与b a +的大小．

4．(2011．课标全国卷)设函数.1|42|)(+-=x x f

(1)画出函数)(x f y =的图像；

(2)若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围．

高效作业 技能备考

1．(2011．陕西高考)若关于x 的不等式|2||1|||-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 答案：),3(|

3,(+∞---∞

2．（2010．福建高考）已知函数.||)(a x x f -=

(1)若不等式3)(≤x f 的解集为},51|{≤≤-x x 求实数a 的值；

(2)在(1)的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．

3．(2011．吉林省质检)设函数.21)(a x x x f +-+=

(1)当5-=a 时，求函数)(x f 的定义域；

(2)若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围．

4．(2011．沈阳市质检)已知函数).|5||1(|log )(2a x x x f --+-=

(1)当a=2时，求函数)(x f 的最小值；

(2)当函数)(x f 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．

5．（2011．银川一中月考）已知不等式.22

|4||3|a x x <-+-

(1)若,1=a 求x 的取值范围；

(2)若已知不等式解集不是空集，求a 的取值范围．

6．（2011．辽宁高考）已知函数.|5||2|)(---=x x x f

(1)证明：;3)(3≤≤-x f

(2)求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集．

7．（2011．常州模拟）设全集.R U =

(1)解关于x 的不等式);(01|1|R a x ∈>-+-α

(2)记A 为(1)中不等式的解集，集合+-=)3sin(|{ππx x B },0)3cos(3=-ππx 若B A C u )(恰有3个元素，求a 的取值范围，