随机过程第3章

第三章 随机过程一. 随机过程的基本概念 1.1 随机过程的定义设（Ω，F ，P ）为给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,P ΩF 上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}t X ω，{}t X 或(){}X t注：随机过程(){}:,t X t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间0t ，是0(,)X t ω是概率空间(),,P ΩF 上的随机变量；对于给定样本点0ω∈Ω，0(,)X t ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。

E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用“t X x =”表示t X 处于状态x1.2随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续型随机序列、离散型随机序列1.3 有穷维分布函数设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,n t t X X 构成n 维随机向量()1,,nt t X X ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t n t t n F x x P X x X x =≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,nt t n f x x 。

我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n F x x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。

二.随机过程的数字特征 2.1 数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==⎰()t E X 是时间t 的函数2.2 方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差随机过程{}t X 的二阶原点矩定义为22()()tt E X x dF x +∞-∞=⎰注：2()X t σ是时间t 的函数，它描述了随机过程()X t 的诸样本对于其数学期望t μ的偏移程度2.3 协方差函数和自相关函数随机过程{}t X 对于任意12,t t T ∈，其协方差函数定义为12112212(,)(,)[(())(())]X t t t t t t c t t Cov X X E X E X X E X ==--当12t t t ==时，协方差函数就是方差随机过程{}t X 的自相关函数（相关函数）定义为121212(,)(),t t R t t E X X t t T =∈当12t t t ==时，自相关函数就是二阶原点矩。

2.4 实二阶矩过程设{},t X t T ∈为实随机过程，若对于任意的t T ∈，其均方函数2()t E X <+∞，则称{},t X t T ∈为实二阶矩过程。

注：由柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式：1212222()t t t t EX X E X E X ≤，可知，二阶矩过程1212(,)t t R t t EX X =自相关函数一定存在。

例题1判断随机过程{}cos ,t X X t t T ω=∈在下列两种情况下是否为二阶矩过程。

（1）2~(,)X N μσ，ω为常数； （2）X 具有概率密度21().(1)f x x x =+解：（1）因为22222222()(cos )()cos ()cos t t E X E X t E X tt ωωσμω===+<+∞所以{},t X t T ∈是二阶矩过程。

（2）因为2222cos ()(1)t x tE X dx x x ω+∞-∞==+∞+⎰所以{},t X t T ∈不是二阶矩过程。

三. 离散时间和离散型随机过程当时间参数t T ∈取离散值1,,n t t 时，t X 是一串随机变量1,nt t X X 所构成的序列，即随机序列。

由于随机序列的指标表示时间，所以常称随机序列为时间序列。

例题2设一维随机游动过程n Y ，其中01210,,,,nn i i Y Y X X X ===∑ ...i i d (即独立同分布随机序列，且(1),(1)1i i P X p P X p ===-=-，求(),()n n E Y Var Y解：根据期望、方差的定义和性质，有11()()()n nn i i i i E Y E X E X ====∑∑11()()()n nn i i i i Var Y Var X Var X ====∑∑而且()1(1)(1)21i E X p p p =⨯+--=-2()11(1)1i E X p p =⨯+⨯-= 222()()(())1(21)i i i Var X E X E X p =-=--则2()(21),()[1(21)]n n E Y n p Var Y n p =-=--例题3考察随机点在时间区间(]0,t 内发生的次数. 设在(]00,t t t +内有k 个随机点发生的概率与0t 无关，且服从参数为t λ的Poisson 分布，即0~()t t t t Y Y Y P t λ+-=（Y=00）具体分布为()()()!k tk t t p t P Y k e k λλ-===,其中0,1,2,.k λ>= 若随机点在(]0,t 内发生的次数是偶数（视0为偶数），则令1t X =；若为奇数，且令1t X =-。

求tX μ及12(,)X R t t解：(]02424(0)()()()()()[1]2!4!2tt t t P p t p t p t t t e e e eλλλλλλ---=+++=++++=在，t 内有偶数次随机点发生(]13535(0)()()()()()[]3!5!2tt t t P p t p t p t t t e t e e eλλλλλλλ---=+++=+++-=在，t 内有奇数次随机点发生于是有(1),(1)22t t t ttt t t e e e e P X eP X eλλλλλλ----+-===-=故得t2X ()t t E X e λμ-==通过类似的计算，可以得到对于120t t <<21122()1(1)2t t t t e P X X λ--+==21122()1(1)2t t t t e P X X λ---=-=所以相关函数为21122()12(,)()t t t t R t t E X X e λ--==同理可以计算当210t t <≤时的情况。

综合上面的结论有2121212(,),,0t t R t t et o t λ--=>>因此{,0}t X t ≥的方差为22412()(,)1ttt X t X Var X R t t e λσμ-==-=-四. 正态随机过程4.1如果随机过程{}t X 的任意n 维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。

正态随机过程{}t X 的n 维概率密度为11/,,1/21/211(,,)exp ()()(2)(det )2n t t n n f x x x x μμπ-⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭∑∑ 其中，μ是n 维向量，∑是n n ⨯阶的矩阵，∑∑-1是的逆矩阵，它的第i 行j 列的元素为(,)[(())(())]i i j j t t t t ijijij X i j t t t t X X X X c c t t E X E X X E X ρσσ==--=其中，t t i jX X ρ为相关系数。

注：由上式可见，正态随机过程的n 维概率分布仅取决于它的一、二阶矩函数，即只取决于它的数学期望、方差和相关系数4.2如果对正态过程{}t X 在n 个不同时刻1,,n t t 采样，所得到的一组随机变量1,nt t X X 两两互不相关，即(,)[(())(())]0,i i j j ij X i j t t t t c c t t E X E X X E X i j ==--=≠则这些随机变量也是相互独立的在0()ij c i j =≠的条件下，n 维正态概率密度等于n 个一维正态概率密度的连乘积。

所以对于一个正态过程来说，不相关与独立是等价的五. Poisson 过程 5.1 独立增量过程设{}t X 是一随机过程，若对任意正整数n 及1,,,n t t T ∈ 12t t << 1n n t t -<<随机变量的增量21321,,,nn t t t t t t X X X X X X ----是相互独立的，则称{}t X 是独立增量过程。

注：设{}tX 是独立增量过程，若对任意的,t t T τ+∈，增量t t X X τ+-的概率分布只依赖于τ而与t 无关，则称随机过程{}t X 为齐次的或时齐的。

若只要时间间隔τ相同，那么增量服从的分布也相同，也称此过程具有平稳性。

具有独立增量和平稳增量的过程{}t X 称为独立平稳增量过程。

常见的独立平稳增量过程有Poisson 过程和Wiener 过程5.2 计数过程如果用{}t N 表示(]0,t 内随机事件发生的总数，则随机过程{}t N 称为一个计数过程。

因此，计数过程满足 1）0t N ≥；2）t N 是非负整数值；3）对于任意两个时刻120t t ≤<，有12t t N N ≤；4）对于任意两个时刻120t t ≤<，2121t t t t N N N -=-等于时间区间(]12,t t 中发生的事件个数。

如果计数过程{}t N 在不相交时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量5.3 Poisson 过程的等价定义 定义3-6设随机过程{}t N 是一个计数过程，如果满足 1）00N =；2）{}t N 是独立增量过程；3）对于任意0s t ≤<，增量,s t t s N N N =-具有参数()t s λ-(0)λ>的Poisson 分布，即{}()[()],0,1,2,!k t s t s t s P N N k e k k λλ----===则称{}t N 为具有参数λ的齐次Poisson 过程。

注：Poisson 过程有平稳增量且t EN t λ=，并称λ为此过程的速率或强度，即单位时间内发生的事件的平均个数。

定义3-7设随机过程{}t N 是一个计数过程，参数为(0)λλ>，如果满足 1）00N =；2）过程有平稳的独立增量；3）{1}(),0h P N h o h h λ==+>； 4）{2}(),0h P N o h h ≥=>则称{}t N 为具有参数λ的齐次Poisson 过程。