江苏省江阴一中2020学年高二数学上学期期中试题

2020～2020学年度第一学期期中调研测试

高二数学试题

参考公式：锥体的体积公式1

3

V Sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置

上）

1．若直线经过A （1，0），B （0，1）两点，则直线AB 的倾斜角为 ▲ ． 2．如果平面α∥平面β且直线α⊥l ，那么直线l 与平面β的位置关系是 ▲ ． 3．方程13

322=++-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是 ▲ ．

4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为 ▲ ．

5．已知椭圆13

42

2=+y x 的左、

右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 ▲ ．

6. 已知直线⊥l 平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有 ▲ 个． 7．已知焦点x 轴上的椭圆的离心率为

2

1，且它的长轴长等于圆C ：01522

2=--+x y x 的 半径，则椭圆的标准方程是 ▲ ．

8. 已知m n ，是两条不同直线，βα，是两个不同平面，给出四个命题：

①若，，，m n n m ⊥⊂=αβαI 则βα⊥ ②若γβγα⊥⊥，，则α∥β

③若，，，n m n m ⊥⊥⊥βα则βα⊥ ④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ,则α∥β 其中正确的命题是 ▲ ．（请填上所有正确命题的序号）

9. 将椭圆2

214

x y +=上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，所得曲线的方

程为 ▲ .

10．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB cm ，13AA =cm ，

则四棱锥D D BB A 11-的体积为 ▲ cm 3．

11．已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x ，F 分别为椭圆的右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF

交椭圆于另一点B ,若FB AF 2=,则椭圆C 的离心率为 ▲ ．

12．已知曲线C ：241y x -+=与直线：l )5(-=x k y 有2个不同的交点，则实数k 的取值范

围是 ▲ ．

13．在平面直角坐标xOy 中，已知圆1)(22=+-y m x C ：及点，

，，，)21()01(B A -若圆C 上存在点P 使得1222=+PB PA ,则实数m 的取值范围是 ▲ ．

14．已知点P 在椭圆22

143

x y +=上，,A B 为椭圆短轴的两个端点，Q P ，是椭圆上关于y 对

称的两点，直线BQ AP ，的斜率分别为，

，21k k 则22

122k k +的最小值 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）

已知以点C 为圆心的圆经过点)02(，-A 和)42(，B ，线段AB 的垂直平分线交圆C 于点P 和Q ，且.8=PQ （1）求直线PQ 的方程； （2）求圆C 的方程．

16．（本题满分14分）

如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ． （1）求证：PD AB ⊥；

（2）若E 为PD 的中点，求证：PB ∥平面ACE ．

17．（本题满分14分）

在直三棱柱111C B A ABC -中，，，231====BC AA AC AB D 是BC 的中点，E 是1CC 上一点，且.2=CE

（1）求证：⊥E B 1平面ADE ； （2）求三棱锥ADE B -1的体积

.

18．（本题满分16分）

已知椭圆14

22

=+y x C ：，过点)01(，M 的直线l 与椭圆交于)()(2211y x B y x A ，，，两点，

(其中01>y ，02

（1）若，0321=+y y 求直线l 的方程；

（第16题图）

（2）求三角形OAB面积的最大值.

19．（本题满分16分）

如图，圆，：1)2(22=+-y x M 点)1(t P ，-为直线1-=x l ：上一动点，过点P 引圆M 的两

条切线，切点分别为A 、B . （1）若，1=t 求切线所在直线方程； （2）求AB 的最小值；

（3）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S 、T 两点，求ST 的最小值.

20．（本题满分16分）

已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b

y a x 过点，，)231(A 离心率，

23=e 点21B B ，分为椭圆的上下顶点.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 是椭圆上异于21B B ，的任意一点，直线21PB PB ，与x 轴分别交于，，)0(m M ，

，)0(n N 求证：mn 为定值，并求出该定值； （3）在（2）的条件下，若直线OT 与过点N M 、的圆相切(其中T 为切点)，求线段OT 长.

（第19题图）

2020～2020学年度第一学期期中调研测试

高二数学试题参考答案

一、填空题

1. π43

2. ⊥l 平面β

3. ()∞+，3

4. π2

5. 8

6. 无数

7. 13422=+y x

8.③ 9.422=+y x 10. 4 11.

3312.⎪⎪⎭

⎫⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛--33212133，，Y

13. ]2222[，

-14.22

3

二、解答题

15.（1）AB 的中点为)20(，，1=AB k .02=-+y x l PQ ：……6分

（2）由题意得：圆C 的半径，4=r ……8分 设圆C ：16)()(22=-+-b y a x ，代入B A ，两点得：

⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++16

)4()2(16

)2(2

222b a b a ……10分 解得：⎩⎨⎧==02b a 或.42⎩

⎨⎧=-=b a ……12分

所以圆C ：16)2(22=+-y x 或.16)4()2(22=-++y x ……14分 16.（1）因为⊥PA 平面ABCD AB ABCD 平面，⊂ 所以AB PA ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形

所以AD AB ⊥,又A PA AD =I ，且⊂PA AD ，平面PAD 所以⊥AB 平面PAD ,而⊂PD 平面PAD

所以PD AB ⊥. ……7分 （2）连接BD 与AC 交于点O ，连接.EO