曲面和曲线

5.8 Bezier 曲线
1）定义： 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n）， 则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是:
其中，Pi (i=0,1,…,n)构成该Bezier曲线的特征多边形， Bi,n(t)(i=0,1,…,n)是n次Bernstein基函数，规定 00 =1, 0!=1 。
2）Betnstein基函数的性质 ：
① 正性： ② 端点性质： ③ 权性： ④ 对称性： ⑤ 递推性 ： ⑥ 导函数 ： ⑦ 最大值 ： ⑧ 升阶公式 ： ⑨ 积分性质：
3）Bezier曲线的性质
① 端点性质 ：曲线端点就是特征多边形端点 ；端点切线与特征多边形的起始和终止边 走向一致（r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关）。 ② 对称性 ：将控制顶点编号进行对调，生成的Bezier曲线，形状不变，走向相反。 ③ 凸包性 ：对于空间分布的点，可以想像一封闭的橡皮膜包住这些点，任其弹性收缩 所形成的空间区域既是该点集的凸包。
第五章 曲线和曲面
5.1 曲线的数学表示
1）显示表示：y=f(x) 2）隐式表示：f(x,y)=0 3）参数表示：P(t)=[x(t), y(t)]
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性， 主要表现在： （1）容易满足几何不变性（与坐标系的选取无关）的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 （3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。 （6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。 （7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
5.9 Bezier曲面
1）定义 ：
设Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)为(m+1)×(n+1)个空间点，则m×n次 的Bezier曲线为：
P (u , v ) = ∑ ∑ Pij Bi , m (u ) B j , n (v ) u , v ∈ [0,1]
i =0 j =0 i 其中 Bi , m (u ) = C m u i (1 − u ) m −i , m n
B j , n (v ) = C nj u j (1 − u ) n − j 是 Bernstein 基函数
写成矩阵形式：
P00 P P (u , v ) = [ B0,m (u ) B1,m (u ) ... Bm ,m (u )] 10 M Pm 0 P01 L P0 n P L Pn 11 1 M O M Pm1 Pmn B0,n (v) B (v ) 1,n M Bn ,n (v)
∑N
i =0
n
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i ,k
(t ) = 1
2）B样条举例
零次B样条：平台函数
1
Ni,0
ti-1
ti Ni,0
ti+1
ti+2
ti+3
1
Ni+1,0 Ni,1
一次B样条：山形函数
ti-1 ti
ti+1
ti+2
ti+3
二次B样条
1
Ni,1 Ni,2
Ni+1,1
ti-1
ti
ti+1
ti+2
ti+3
3）B样条基性质
（1）递推性： 即de Boor-Cox公式 （2）规范性（权性，在定义区间中）：
③ 向心参数化法，考虑到相邻弦线的拐折情况 ：
④ 修正弦长参数化法 ，在四种方法中效果最好：
5.6 连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成。 曲线间连接的光滑度的度量有两种： 一种是函数的可微性：把组合参数曲线构造成为在连接处具有直到n阶连续 导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为Cn或n阶参数连续性。 另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足直到n阶的导矢方向相同， 称为具有n阶几何连续性，简记为Gn。 曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，Cn连续包含在Gn连续之中，也就是说Cn 连续的条件比Gn连续的条件要苛刻。 在曲线和曲面造型中，一般只用到C1、C2、G1、和G2连续。 在弧长参数化情况下，几何连续与参数连续是一致的。弧长实际上是一个几何 量。
5.5 参数化
为一组有序的数据点(P0,P1,…Pn) 赋予相应的一组参数值(t0<t1<…<tn， 每个参数点称为节点) 称之对这组数据点实行参数化。 对一组数据点(P0,P1,…Pn)实行参数化的常用方法有以下几种： ① 均匀参数化(等距参数化) ，在型值点不均匀时不理想。 ② 累加弦长参数化，考虑到弧长因素：
5.10 B样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优 越性，但有两点不足：
① Bezier曲线或曲面不能作局部修改。 ② Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。
B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服 了Bezier方法的弱点。
1）B样条曲线的定义
B样条曲线方程定义为： 其中，Pi(i=0,1,...,n)为控制顶点(又称德布尔点)，Ni,k(t)(i=0,1,...,n)称为k次B 样条基函数，其中每一个称为B样条，它们是由一个称为节点矢量的非递减的参数 t的序列T（t0≤t1≤…≤tn+k+1，共(n+1)+(k+1)个）所决定的k次分段多项式， 也即k次多项式样条。 由于B样条基是多项式样条空间中具有最小支撑的一组基，故被称为基本样条 （basic spline），简称B样条。 basic spline B B样条有多种等价定义，标准算法是de Boor-Cox（德布尔－考克斯）递推定 义，又称为de Boor-Cox公式（约定0/0=0）： ， 1 若ti ≤ t < ti +1 N i , 0 (t ) = 0， 其它 N (t ) = t − ti N (t ) + ti + k +1 − t N (t ) i , k −1 i +1, k −1 i ,k t i + k − ti ti + k +1 − ti +1 这个递推公式表明：欲确定第i个k次B样条Ni,k(t)，需要用到ti,ti+1,...,ti+k+1 共k+2个节点，称区间[ti,ti+k+1）为Ni,k(t)的支承区间，在此区间外Ni,k(t)为零。 曲线方程中，n+1个控制顶点Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1个k次B样条Ni,k(t)。它们 支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量T=[t0,t1,...,tn+k+1]。
T(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平 面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平 面称为从切平面。 对于一般参数t，有：
2）曲线的曲率和绕率
曲率： 由于T’(s)与N平行，令T’(s)= κN, κ称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为正，又 称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ ，称为曲率半径。 绕率： 由B(s)·Ｔ(s)=0，两边求导，可得： B‘(s)·Ｔ(s)=0； 又由|B(s)|2=1，两边求导，可得： B‘(s)·B(s)=0； 所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)， τ称为绕率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、等 于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 对于一般参数t，可以推导出曲率和绕率的计算公式如下：
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
左旋右旋螺旋线示例
当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线的可 见部分自左向右升高（图a）；左旋螺旋线 则自右向左升高（图b）。
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
5）Bezier曲线的拼接
Bezier曲线是由n+1个顶点控制的n次多项式，由于多项式的次数不易过高，所以通常采 用分段设计的方法。将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。 给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i =0,1,...,n)和Qi(i=0,1,...,m)，则： （1）要使它们达到G0连续，充要条件：Pn= Q0 （2）要使它们达到G1连续，充要条件： Pn-1，Pn=Q0，Q1三点共线。 （3）要使它们达到G2连续，必要条件： G1连续 Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1和Q2五点共面，且Pn-2和Q2位于Pn-1Q1直线的同一侧。 G3连续的必要条件比较复杂，对Q2位置有进一步要求。
④ 几何不变性 ：Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,...,n)的位置有 关，不依赖坐标系的选择。 ⑤ 变差缩减性：若P0,P1,...Pn在同一平面，则平面内任意直线与Bezier曲线的交点个数 不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映 了Bezier曲线比其特征多边形的波动小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更 光顺。 ⑥ 仿射不变性：在仿射变换(保持“直线”和“平行性” )下，Bezier曲线的形式不变， 即对任意的仿射变换A
这个递推公式表明： K次B样条Ni,k(t)可以由两个k-1次B样条Ni,k-1(t)与Ni+1,k-1(t) 递推得到。其线性组合系数分别是
t − ti ti + k + 1 − t 与 ti + k − ti ti + k + 1 − ti + 1
两个系数的分母恰好是两个K-1次B样条的支撑区间的长 度，分子恰好是参数t把第i个k次B样条Ni,k(t)的支撑区间 划分成两部分的长度。
v
u
2） Bezier曲面的性质
① Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即：P(0,0)=P00， P(1,0)=Pm0，P(0,1)=P0n，P(1,1)=Pmn。 ② Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨 界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关；其跨界二阶导矢只与定义该边 界的顶点及相邻两排顶点有关。 ③ 几何不变性：只依赖顶点Pij(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m) ，不依赖坐标系的选择。 ④ 对称性：将控制顶点编号进行对调，生成的Bezier曲面形状不变。 ⑤ 凸包性：曲面在凸包内。 ⑥ 递推性：使用曲线的递推方法，先在u方向的n个控制多边形上（每个多边形上m个 点）确定n个m阶Bezier曲线点，然后再利用这n个点使用曲线递推的方法最后确定 曲面上的点。先v方向再u方向也一样。 ⑦ 对曲面片的拼接要求条件较高（G0除外）。
4）Bezier曲线的递推算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但 使用de Casteljau（德 卡斯特里奥）提出的递推算法 则要简单得多，递推公式：
上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即 为曲线P(t)上具有参数t的点，(i+k)=n 。 几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长 度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行 同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间 顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边 形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一 个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。