异面直线所成角的概念教学

异面直线所成角的概念教学

（1）展示概念背景：教师与学生一起以熟悉的正方体为例，请学生观察图中有几对异面直线？接着提问：从位置关系看，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的。在生产实际与数学问题中，有时还需要进一步精确化，这就提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一些什么数量来刻划这种相对位置？

(2)情境设计阶段：我们知道平面几何中用“距离”来刻划两平行直线间的相对位置，用“角”来刻划两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻划两异面直线的相对位置呢？我们还知道两异面直线不相交，但它们又确实存在倾斜程度不同，这就需要我们找到一个角，用它的大小来度量异面直线的相对倾斜程度。为了解决这个问题，我们研究一道题：一张纸上画有两条能相交的直线ａ、ｂ（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出ａ、ｂ所成的角的大小？

(3)猜想发现阶段：解决上述问题的方法是过一点分别作a,b的平行线，该方法能否迁移到两异面直线的倾斜程度呢？经学生研讨后能粗略地得出异面直线的倾斜程度可转化为平面内两条相交直线的角（即过一点分别作a、b 的平行线，这两条平行线所成的角）

(4)表述论证阶段：教师提问，这角（或平行线）一定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？（以上即是存在性和确定性问题）通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在（0，内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O（一线的平行线与另一线的平行线的交点）的选取无关，点O可任选．一般总是将点Ｏ选在特殊位置．至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。

这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新、旧数学概念间的本质属性，为新概念的产生创设适当的固着点，使其孕育新的数学概念的形成。

作者：孙艳

-- 发布时间：2007-12-5 9:13:21

-- 球

（1）导入：

由生活中的球体实例引入，通过对圆的概念的回忆，由平面转化到空间，得出球面的概念。再通过FLASH展示球体的形成过程，请同学们根据圆柱，圆台的概念，得出球体的概念。

（2）新课讲授：

1、介绍球的概念，通过课件的对应介绍球心、球的直径、半径的概念

球的半径

（连接球面任一点和圆心的线段）

球的直径

（连接球面两点并

经过球心的线段）

球心

（半圆的圆心）

2、学生探索研究球的性质

性质2：球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：

性质1：球心和截面圆心的

连线垂直于截面．

例．过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面积为，求球的半径．

多媒体展示大圆小圆的形成过程以及球面两点间距离的概念

3、经度纬度有关问题

（利用FLASH展示经度纬度形成的过程，揭示问题实质：纬度等于球的半径和小圆半径所成的夹角；经度实际是二面角ＡＯＢ）

O’

经度

纬度

4、例题讲解：

例２．我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度．（地球半径约为6370km）

（考察纬度实质的理解）

例３：地球的半径为Ｒ，在北纬圆上有Ａ，Ｂ两点，Ａ点在西经Ｂ点在东经的位置，求Ａ，Ｂ点的球面距离．

六、教学反思：

本节课在设计中突出两个中心：一是“以问题为中心”，突破了教材设计的知识呈现顺序，将知识点精心设计为探究性问题，让学生在类比、猜想中主动建构新知，通过分析、解决问题来发展能力。二是“以学生为中心”，在教中不仅关注学生的主体地位，强调师生、生生互动，同时，还关注学生对数学思想方法的理解——立体与平面的转化．培养了学生的空间象能力，也是突破了教学难点的方法之一。

作者：王春红

-- 发布时间：2007-12-11 9:04:16

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这里,在学习“双曲线的方程”以后,要进一步研究“双曲线的方程与性质”,给与如下教学设想:(1)创设一个现实情境,再通过对语言、信息转述,使之量化而成为一个需要解决的数学问题的条件背景.(2)对需要解决的数学问题,根据它们层层递进的关系,依次创设一个个问题情境,使学生很自然地进入到实际问题。的解决过程之中,求知的欲望被激发,学习的热情得到高涨.

现实情境:如图1,相邻两建筑队常年共用一堆放材料处,每周各自要把材料送到与公路相对的工地去,工地上有一

条小道作为两工程场地的界线.

(如将这个情境作为一个需要解决的数学问题的背景的话,需对其进行语言、信息加工,使之量化,形成一个数学问题的条件背景.)

问题情境:如图2,相邻两建筑队A,B在P处共同积累了一堆建筑物材.每周要把材料送到与公路AB相对的工地上去.因为两队开工初始,工人们随意堆放物资,使得两工地的区域界线不清.设点Q是两队区域的一个分界点,由以往经验,A到P、Q距离和,与B到P、Q距离和相等.现测得:|PA|=2,|PB|=4,∠APB=60°.(提出并解决问题情境:这个内容提供了一个数学化了的想象空间,于是根据教学内容,创设出各种问题.)

问题1:为了不使物材送错工程队,你能否画出两工地的区域界线呢?

所谓两区界线,实际上就是一段轨迹曲线.因此,由轨迹适合的相关条件,就运用到双曲线的定义.比抽象地背一段双曲线定义要有效得多,学生从中感受到更大的兴趣.

通过师生的分析,学生很快把公路、一堆物材等抽象成数学符号.并通过:|PA|+|AQ|=|PB|+|BQ|,|PA|=2,|PB|=4,∠APB=60°,得|AB|=23,|AQ|-|BQ|=2.知道两队的界线就是双曲线的一部分,再以AB中点为原点,AB为x轴,建立直角坐标系(如图3).进一步得到界线的轨迹方程为:x2-y22=1,(x>0,y>0).

由于师生的共同活动,使学生能正确理解问题背景,会分析给出有关信息,并能对之进行提炼、加工、找出它们的数量关系,在此基础上建立数学模型,提出符合实际的结论,提高了学生的应用能力,把理论知识反馈到社会实践应用中.在学生兴奋之余,教师转而提到下一目标.

问题2:如图4,当工程建设完毕之后,一方面为划分地界,另一方面为美化环境,于是在原来的界线处种植一条绿化带,同时,为便于平时灌溉保养,要求过点A在场地中埋设一条水管,并要求既不远离绿化带,又不会与其相交,且其相对AB的倾角为锐角.问这条水管与绿化带间隔了多少距离?

由问题1的铺垫,及问题2中既不远离又不相交的要求,使学生更加深刻理解了渐近线,这在圆锥曲线中只有双曲线才独有的深刻含义,从而知道水管平行于渐近线.所以,水管与绿化带间隔范围是小于等于C到水管的距离,大于平行线间的距离.即:水管所在直线方程为y=2(x+3),(y>0),C(1,0)到水管距离:d1=2+63,水管与渐近线y=2x的距离d2=2,所以,水管与绿化带间的间隔范围为(2,2+63].

这一情境中既可以说是双曲线渐线知识的运用、刻画,也可以说是帮助学生理解一次渐近线的概念,或者说抽象的渐近线的数学概念,在这里可以看到一个现实意义.

问题3:如图5,为使新建小区规模进一步完善,沿绿化带左侧安装一盏盏景观灯箱,到傍晚特别是喜庆之夜,这里就构成一道独特的风景线.问站在M处观察这道风景线,是否能将全部景色一览无遗?

如果说问题2让学生感到好理解的话,那是因为在问题1的基础上,学生主要进行了符号变换,而问题3的出现使学生感到有些茫然.什么叫“一览无遗”,就是全看见,“一览无遗”的数学刻画是什么?多数学生感到无从下手.通过老师的提示、学生的观察和讨论,使他们知道点M是否在倾角为锐角的渐近线的上方为是否一览无遗的关键.因为M在双曲线渐近线的上方,所以在M处观察这道风景线可以一览无遗.

作者：王春红

-- 发布时间：2007-12-11 9:05:03

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如果应用情境数学化,仅仅停留在转述成一个对等词上,那还是比较容易的,而更多的是要去探求一种等价的描述和刻画,这既要对应用情境的实质理解,又要有数学的刻画能力.那么,站在怎样的位置,不能一览无遗呢?这一问题引起了学生进一步探究兴趣,他们对最大张角表现出了浓厚的热情.数学情境自然进入到下面的问题.

问题4:如图6,如在MB的中点处观察,能否将全部灯箱一览无遗?如果能,请说明理由,如果不能,则求出视线所能达到的最大张角的大小.

以上4题只是数学知识在实际问题中的简单应用,为进一步提高学生分析问题和解决问题的能力,特别是分类讨论能力,问题进入下一个讨论阶段.

问题5:为保证节庆日灯箱正常运作,一检修工要做好检查、维修工作.他在C点右侧的OC直线上,要到达绿化带,沿怎样的路径走才图7能最早到达?