球的概念和性质

球的概念和性质（第一课时）

【教学目标】

一、知识目标

1、掌握球的定义，能正确区分球体与球面；

2、理解球的截面是圆面，球面的截线是圆；

3、掌握球的性质及其应用。

二、能力目标

1、通过圆的定义和性质去猜想、发现、证明球的定义和性质，引导学生用类比的方法进行学习，培养学生的探索精神，提升学生的思维能力；

2、学会将球的有关问题转化为圆或三角形等平面问题来处理，培养学生的“化归”思想；

3、通过多种模型、课件演示，研究性学习材料等，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力和空间想象能力，提升学生的数学素质。

三、情感目标

1、体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点；

2、培养学生用联系的观点、类比的思想分析解决问题；

3、培养学生不断地认识世界、改造世界的探索精神。

【教学重点】

球的概念、性质及其应用；球有关立体图和轴截面图形的画法

【教学难点】

一、球的有关立体图和轴截面图形的画法；

二、将球的有关问题转化为圆或三角形的问题来处理。

【教学过程】

一、设置情境

初中时，我们已经学过了圆，下面谁来回忆一下圆的定义？

1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆。

问题1：从圆的定义看，圆是否包括圆周以内的点？

（说明：“圆”实际上是一条“曲线”，而不是一个圆面。）

问题2：谁来给圆面下一个定义？（强调：小于或等于。）

2、类比1：平面图形——二维空间立体图形——三维空间

长方形长方体

圆球

3、引入：这就是我们今天要学习的一种新的几何体——球。

板书课题：球（一）

球，对大家来说都很熟悉，数学中规定：把球的表面叫球面；由球面和球面内部所组成的几何体，称为“球体”，简称“球”。

问题3：谁能模仿圆和圆面给球面和球下定义？

板书：1、球的定义

（自然得出：在空间内，到一个定点的距离等于定长的点的集合是一个球面；到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是一个球。）

教师强调：我们平时所讲的“球”指“球体”不是“球面”。

4、设问：球面和球还有其它定义方法吗？球体又会有哪些性质呢？

二、探索研究

1、球的定义

师：拿一个硬币放在桌子上旋转，问学生看到了什么图形？从而得出球面的旋转定义，让学生自己来表述。

答案：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几何体叫做球体。（球是旋转体）

如果学生将“半圆”说成“圆”，教师启发：能否将条件再降低一点，不是圆，还可以用什么图形来旋转？

2、球的画法及组成元素

教师演示怎样画球的立体图——先画圆，再画椭圆。

课件演示，介绍球的有关概念：球心、球的表示、球半径、直径、球面。

3、球的性质（板书：球的性质）

通过上面的讨论不难看出：球和圆有着密切的联系，不同的是，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，可以说，球的概念是圆的概念在空间的推广。那么，我们能否从圆的性质去推测并证明球的某些性质呢？

（上面的引入和启发为学生对球的性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，帮助学生形成一定的思维“定势”，便于开展类比学习。）

问题4

教师在黑板上画（图

1）

那么，把直线换成平面，把圆换成球，即用一个平

面去截球，其截面又是什么图形呢？（答案：圆面。）

教师将图1性质1：用一个平面去截球，截面是圆面，用一个平面去截球面，截线是圆。

板书：1、大圆——截面过球心，半径等于球半径。

小圆——截面不过球心。

口答：1．A 、B 为球面上相异两点，则通过A 、B 两点可作球的大圆有（ ）

A ．一个

B ．无穷多个

C ．零个

D ．一个或无穷多个

（A 、B 两点是否恰为球的直径的两端点，然后与球心O 确定平面）

2．判断：过球面上相异两点A 、B 总可作无数个小圆（ ）

（若A 、B 是球直径的两个端点，一个也作不出）

类比2：圆性质填空：

1、与弦垂直的直径过弦的 ；

2、圆心和弦中点的连线 弦；

3、在OAK Rt ∆ 中，=+22AK OK ；

4、不过圆心的弦 直径，经过圆心的弦 直径，直径是 的弦。

请将圆性质中的“圆”改成“球”将“弦”改成“截面”，可以得出球的哪些性质呢？

（教师在“图1” 所示的立体图中添辅助线，如图）

性质2：球心和不过球心的截面圆心的连线垂

直于截面。

板书：2、O O O '⊥'圆面

性质3 ：球心到截面的距离d 与球的半径R

及截面的半径r 有下面关系： 22d R r -=

板书：3、在 O OA Rt '∆ 中，22d R r -=

师：在数学中，通过猜想、类比获得的结论（定义除外）都需要经过证明。下面，我们来证明一下球的性质定理1——“用一个平面去截球面，截线是圆。”

分析：1）要证明截面是圆面，要解决三个问题，第一，截线上的任意一点到某定点的距离等于定长；

（等价处理：截线上的任意两点到定点的距离相等）第二，这个定点是否存在？第三，若存在，那么它在哪里？

2）让学生猜想，然后解答。

3．地球仪中的经纬度（边演示模型，边讲解）

板书：经纬度

如图2，纬度——P 点的纬度，也是

或POA ∠的度数，即：某地的纬度就是经过这点的球半

径和赤道平面所成的角度．

如图3，经度——P 点的经度，也是 或AOB ∠的度数，即：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数。

思考：怎样转是东经？怎样转是西经？

三、例题分析

例1 我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度。（地球半径约为6370km ）

40° A K O B A O K C D

40° A K O B B