球的概念和性质
球的概念和性质
研究背景与意义
研究背景
球作为三维空间中的基本几何体，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。对球的研究有助于深入理 解三维空间的性质，以及解决与球相关的实际问题。
研究意义
对球的研究不仅具有理论价值，还有实际应用价值。例如，在几何学中，球的概念和性质是研究其他复杂几何体 的基础；在物理学中，球体模型常用于描述天体运动、碰撞等问题；在工程学中，球体设计在建筑、机械、航空 航天等领域都有广泛应用。因此，对球的研究对于推动相关学科的发展具有重要意义。
球的概念和性质
目 录
• 引言 • 球的基本性质 • 球面及其性质 • 球体及其性质 • 球的应用与拓展 • 总结与展望
01 引言
球的定义与基本概念
球的定义
在数学中，球是一个三维几何体，由所有与给定点（中心）距离等于给定正数 （半径）的点组成。
球的基本概念
包括球的半径、直径、表面积和体积等。其中，半径是从球心到球面上任意一 点的距离；直径是通过球心且两端点均在球面上的线段；表面积是球面所围成 的面积；体积是球所占的空间大小。
02 球的基本性质
球的对称性
01
02
03
球心对称性
对于球上的任意一点，都 存在一个关于球心对称的 点也在球上。
轴对称性
对于经过球心的任意轴， 球都呈现出轴对称性，即 旋转轴对称。
面对称性
对于经过球心的任意平面， 球都呈现出面对称性，即 镜像对称。
球的连续性与闭合性
连续性
球的表面是一个连续不断的曲面 ，没有间断或裂缝。
解决各种实际问题。
球面三角学
03
研究球面上三角形各元素之间的关系和计算方法，是天文学、
地理学等领域的基础工具。
球的概念与性质
球的概念与性质球是一种几何图形，它具有独特的形状和特性。
在几何学中，球是由一组无限多的点构成的，这些点与给定的中心点之间的距离都相等，我们把这个相等的距离称为球的半径。
球的概念和性质被广泛应用于数学、物理、几何、天文学等领域，它有很多有趣的特征和用途。
一、球的概念球的概念可以从几何学和物理学两个角度来讨论。
在几何学中，球是三维空间中的一个几何体，它的表面由无数个点组成，这些点到球心的距离都是相等的。
在物理学中，球是一个理想化的物体，它在所有方向上均匀地分布质量，表现出球对称性。
这两种概念都是描述球这一对象的特征和性质的方式，可以根据具体情境选择合适的定义。
二、球的性质1. 球的表面积：球的表面积可以用公式4πr²来计算，其中r代表球的半径。
这个公式表明，球的表面积与半径的平方成正比关系，意味着半径越大，表面积也越大。
2. 球的体积：球的体积可以用公式(4/3)πr³来计算。
与表面积类似，球的体积与半径的立方成正比关系，表示随着半径的增加，体积也增加。
3. 球的对称性：球具有高度的对称性，也就是说，无论从哪个角度观察，球都具有相同的外形。
这种对称性使得球具备许多独特的性质，在建筑、设计和艺术等领域有着广泛的应用。
4. 球的折射性：光线在球内传播时会发生折射，这种折射现象是由于光线的传播速度在介质之间发生变化所导致的。
球的折射性质在光学和光导纤维等领域有着重要的应用和研究价值。
5. 球的运动特性：球是运动学中的一个重要对象，它具有滚动、弹跳、旋转等运动特性。
这些特性是由球形状和其它因素共同决定的，例如表面摩擦、质量分布等。
6. 球的应用：球的性质使得它在许多领域有广泛的应用。
例如，高尔夫球、篮球和足球等运动中使用的球体都具有特殊的性能和要求；在天文学中，行星和恒星被建模为球体来研究其特性和行为；在建筑设计中，球形的建筑物可以提供独特的空间和艺术效果。
总结：球作为一种特殊的几何图形，在数学、物理、几何学和天文学等领域都具有重要的地位和应用。
高考数学关于球的知识点
高考数学关于球的知识点在高考数学中，涉及到球体的知识点是较为常见和重要的内容之一。
球体作为一种几何体，具有独特的性质和特点，对于高考来说是必须掌握和理解的知识。
本文将针对高考数学中关于球的知识点进行详细的阐述，希望能够给广大考生带来一些帮助。
一、球的基本概念球是由空间中一点到距离不超过该点到一定正实数为半径的所有点组成的集合。
在数学中，我们用O表示球心，用r表示球的半径。
球表面的所有点到球心的距离都等于半径r，这就是球体的特点。
二、球的性质和运算1. 球的面积和体积球的表面积S和体积V是球的重要性质。
我们可以根据球的半径r计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为：S = 4πr²球的体积公式为：V = 4/3πr³2. 球的三视图绘制球的三视图是常见的考点之一。
我们可以通过将球投影到不同的平面上，得到球的正视图、侧视图和俯视图。
球的正视图是一个圆，从正方向看，我们可以看到球的全貌。
球的侧视图是一个点，从侧方向看，只能看到球心。
球的俯视图也是一个圆，从上方向看，可以看到球正上方的面。
3. 球与平面的相交当球与平面相交时，几何问题的解决方法和技巧就会不同。
根据球与平面的相交情况，可以分为以下几种情况：当球与平面相交于一个圆时，我们可以通过求圆的面积和周长等性质来解决问题。
当球与平面相交于两个点时，我们可以通过求两点的距离来解决问题。
当球与平面相切时，我们可以通过求切点的坐标和距离来解决问题。
当球与平面没有交点时，我们可以通过球心到平面的距离来解决问题。
4. 球的旋转体当球沿着某条轴线进行旋转时，我们可以得到球的旋转体。
通过对球的旋转体进行计算，可以求出球的体积和表面积等值。
三、球的应用问题球的知识点在高考数学中有着广泛的应用，不仅在几何题目中常常出现，也涉及到其他学科和领域的问题。
1. 球的容器问题在物理学和工程学中，常常遇到需要计算球的容器问题。
例如，如何选择球形容器的大小，能够完美地容纳某种物质体积，又或者是球形容器与其他形状容器的比较等等。
高中数学 球的概念
B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
球的概念性质
球的概念性质球是一种几何体，由三维空间中的一个点（球心）和到该点固定距离的所有点（球面）组成。
它是一种非常简单而重要的几何形状，具有许多独特的概念性质。
在本文中，我将详细介绍球的概念性质，并探讨它们在数学、物理和日常生活中的应用。
首先，球具有对称性。
球是唯一具有球面上的每一点到球心距离相等的形状。
这种对称性可在数学中表示为球面的任何两点都具有相等的距离公式：d =sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
这种对称性使球在许多数学问题中成为理论分析和计算的基础，例如球体的体积和表面积计算以及球体的球谐函数等。
其次，球是最大体积的几何体。
在给定表面积的条件下，球的体积是最大的。
这个原理可以通过数学推导得出，即通过求解某种约束条件下的优化问题（例如拉格朗日乘子法），可以得到球对应的最大体积。
这个性质在物理学中很重要，例如在包装设计、物体运动和力学问题中，可以利用这个性质来优化设计和计算最佳解。
球还具有自己独特的几何性质。
一个球的表面由无数个相互等间距的点组成，这些点构成了球面上的等距网格。
这种性质使球面在三维建模、计算机图形学和计算机游戏等领域有广泛的应用，例如在球体几何体和表面绘制中，可以利用球面的坐标和法线来进行计算和渲染。
此外，球在物理学中具有很多重要的应用。
在力学和动力学中，球被用作模型进行分析和计算，例如球体的运动和碰撞。
球体的轨迹和运动方程在物理实验和计算模拟中经常出现。
球体在天体物理学中也很重要，例如描述行星、恒星和其他天体的形状和特性。
在日常生活中，球也是非常常见的物体。
例如，足球、篮球和乒乓球等运动中广泛使用球体。
球体在建筑和雕塑中常用作设计元素，例如圆形穹顶和雕塑中的球形部分。
另外，球体也在很多游戏和玩具中出现，例如台球、保龄球和彩色球等。
总结起来，球作为一种几何体具有许多独特的概念性质。
它具有对称性、最大体积以及自己独特的几何性质。
球体在数学、物理学和日常生活中有广泛的应用，例如求解优化问题、描述物体运动和碰撞以及作为设计元素和玩具。
球
某点的纬度（平面图） 某点的纬度（平面图）— 经过这点的球半径与赤 道平面所成的角的度数。 道平面所成的角的度数。 O1 B
α
O
A
如图， AOB的大小即为B点所在的纬度。 如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。 的大小即为
三、球面距离
1.定义 1.定义
球面上两点之间的最短连线的长 度，就是经过这两点的大圆在这 两点间的一段劣孤的长度. 两点间的一段劣孤的长度 即：球面距离是球面上过 两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度. 的劣弧的长度
Q
O
P
课堂练习 判断正误：（对的打√ 错的打× ：（对的打 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）球只有一个面。 球只有一个面。 （√） （2）在空间，到定点的距离等于定长的所有 在空间， 点的集合叫球。（ 点的集合叫球。（ ） （3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于 这个小圆所在平面。（ 这个小圆所在平面。（ ） （4）经过球面上不同的两点只能作一个大 圆。（ ） 球半径是5 截面圆半径为3 （5）球半径是5，截面圆半径为3，则球 心到截面圆所在平面的距离为4 心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）
球的概念
观察球的形成过程
模 拟 演 示
二、球的截面及其性质
1、截面性质
•截面的定义： 用一个平面去截一个球,截面是圆面 截面的定义： 用一个平面去截一个球, 截面的定义
•截面的性质： .球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 截面的性质 1
OO’ ⊥截面圆O’ 截面圆 2.球心到截面的距离d 2.球心到截面的距离d与球 球心到截面的距离 的半径R, R,小圆半径 ,有下 的半径R,小圆半径 r ,有下 面的关系: 面的关系:
球的方程式
球的方程式
摘要：
一、引言
二、球的定义与性质
三、球的几何方程式
四、球在数学中的应用
五、结论
正文：
【引言】
球，作为数学中的一个基本概念，无论是在日常生活还是在科学研究中都有着广泛的应用。
本文将主要介绍球的定义、性质，以及其在数学中的重要应用。
【球的定义与性质】
球，通常定义为一个平面上的所有点到某一点的距离都相等的点的集合。
这个点被称为球的球心，而相等的距离被称为球的半径。
根据这个定义，我们可以得知球具有以下几个重要的性质：
1.球心是球的中心，所有直径都相交于球心。
2.半径是球的大小，决定了球的体积和表面积。
3.球是各向同性的，即无论从哪个方向观察，球的形状都是相同的。
【球的几何方程式】
球的几何方程式可以由球心坐标和半径表示。
设球心为(x0, y0, z0)，半径
为r，则球的几何方程式可以表示为：
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
【球在数学中的应用】
球在数学中有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些具体的应用：
1.物理学：在物理学中，球常被用来描述行星、原子核等具有球对称性的物体。
2.工程学：在工程学中，球常被用来描述轴承、齿轮等机械零件的形状。
3.计算机科学：在计算机科学中，球常被用来描述三维空间中的数据分布，如球面投影等。
【结论】
总的来说，球作为一个基本的几何概念，在数学中有着广泛的应用。
球PPT课件
之间的最短连线 就是经过这两点
O
P
的大圆在这两点
间的劣弧的长度
Q
——这个弧长叫
两点的球面距离。
思考：为何最短连线是经过两点的大 圆的劣弧？
例1：
我国首都北京靠近北纬40度，求北纬40 度纬线的长度（地球半径约是6370km)
C
本
地
初
子
轴
北京
午
线
O 纬度40
经度116
A
B
赤
道
解：如图， 设纬线的圆心为D点， DP为纬线半径 ∴ OD⊥DP ∵DPO= POB=40°，
本 初 子 午
线
C 地
D
北京
40 P
轴
∴DP=OP×cos OPD ∴纬线长=2 × DP = 2 × OP × cos40 °
O 纬度40
经度116
A
B
赤
道
≈2 × 3.14 × 6370 × 0.766
≈30660(km)
答：北纬40º纬线长约等于3.066×104(km)
练习：
赤道上有A、B两点，它们的经度相差 60º，求它们的球面距离（地球半径约 为6 370 km，精确到1 km）。
3、球的有关概念 球心、球半径、直径、球的表示
A
RO C
B
球O
三、球的截面及其性质
球被平面所截其截面是什么图形？圆面
•截面的性质：
(1) 球心与截面圆心的连线垂直于截面。 (2) 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系：
r R2 d2
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大 圆；被不经过球心的截面截得的圆叫做 小圆。
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球的概念和性质（第一课时）
【教学目标】
一、知识目标
1、掌握球的定义，能正确区分球体与球面；
2、理解球的截面是圆面，球面的截线是圆；
3、掌握球的性质及其应用。
二、能力目标
1、通过圆的定义和性质去猜想、发现、证明球的定义和性质，引导学生用类比的方法进行学习，培养学生的探索精神，提升学生的思维能力；
2、学会将球的有关问题转化为圆或三角形等平面问题来处理，培养学生的“化归”思想；
3、通过多种模型、课件演示，研究性学习材料等，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力和空间想象能力，提升学生的数学素质。
三、情感目标
1、体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点；
2、培养学生用联系的观点、类比的思想分析解决问题；
3、培养学生不断地认识世界、改造世界的探索精神。
【教学重点】
球的概念、性质及其应用；球有关立体图和轴截面图形的画法
【教学难点】
一、球的有关立体图和轴截面图形的画法；
二、将球的有关问题转化为圆或三角形的问题来处理。
【教学过程】
一、设置情境
初中时，我们已经学过了圆，下面谁来回忆一下圆的定义？
1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆。
问题1：从圆的定义看，圆是否包括圆周以内的点？
（说明：“圆”实际上是一条“曲线”，而不是一个圆面。
）
问题2：谁来给圆面下一个定义？（强调：小于或等于。
）
2、类比1：平面图形——二维空间立体图形——三维空间
长方形长方体
圆球
3、引入：这就是我们今天要学习的一种新的几何体——球。
板书课题：球（一）
球，对大家来说都很熟悉，数学中规定：把球的表面叫球面；由球面和球面内部所组成的几何体，称为“球体”，简称“球”。
问题3：谁能模仿圆和圆面给球面和球下定义？
板书：1、球的定义
（自然得出：在空间内，到一个定点的距离等于定长的点的集合是一个球面；到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是一个球。
）
教师强调：我们平时所讲的“球”指“球体”不是“球面”。
4、设问：球面和球还有其它定义方法吗？球体又会有哪些性质呢？
二、探索研究
1、球的定义
师：拿一个硬币放在桌子上旋转，问学生看到了什么图形？从而得出球面的旋转定义，让学生自己来表述。
答案：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几何体叫做球体。
（球是旋转体）
如果学生将“半圆”说成“圆”，教师启发：能否将条件再降低一点，不是圆，还可以用什么图形来旋转？
2、球的画法及组成元素
教师演示怎样画球的立体图——先画圆，再画椭圆。
课件演示，介绍球的有关概念：球心、球的表示、球半径、直径、球面。
3、球的性质（板书：球的性质）
通过上面的讨论不难看出：球和圆有着密切的联系，不同的是，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，可以说，球的概念是圆的概念在空间的推广。
那么，我们能否从圆的性质去推测并证明球的某些性质呢？
（上面的引入和启发为学生对球的性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，帮助学生形成一定的思维“定势”，便于开展类比学习。
）
问题4
教师在黑板上画（图
1）
那么，把直线换成平面，把圆换成球，即用一个平
面去截球，其截面又是什么图形呢？（答案：圆面。
）
教师将图1性质1：用一个平面去截球，截面是圆面，用一个平面去截球面，截线是圆。
板书：1、大圆——截面过球心，半径等于球半径。
小圆——截面不过球心。
口答：1．A 、B 为球面上相异两点，则通过A 、B 两点可作球的大圆有（ ）
A ．一个
B ．无穷多个
C ．零个
D ．一个或无穷多个
（A 、B 两点是否恰为球的直径的两端点，然后与球心O 确定平面）
2．判断：过球面上相异两点A 、B 总可作无数个小圆（ ）
（若A 、B 是球直径的两个端点，一个也作不出）
类比2：圆性质填空：
1、与弦垂直的直径过弦的 ；
2、圆心和弦中点的连线 弦；
3、在OAK Rt ∆ 中，=+22AK OK ；
4、不过圆心的弦 直径，经过圆心的弦 直径，直径是 的弦。
请将圆性质中的“圆”改成“球”将“弦”改成“截面”，可以得出球的哪些性质呢？
（教师在“图1” 所示的立体图中添辅助线，如图）
性质2：球心和不过球心的截面圆心的连线垂
直于截面。
板书：2、O O O '⊥'圆面
性质3 ：球心到截面的距离d 与球的半径R
及截面的半径r 有下面关系： 22d R r -=
板书：3、在 O OA Rt '∆ 中，22d R r -=
师：在数学中，通过猜想、类比获得的结论（定义除外）都需要经过证明。
下面，我们来证明一下球的性质定理1——“用一个平面去截球面，截线是圆。
”
分析：1）要证明截面是圆面，要解决三个问题，第一，截线上的任意一点到某定点的距离等于定长；
（等价处理：截线上的任意两点到定点的距离相等）第二，这个定点是否存在？第三，若存在，那么它在哪里？
2）让学生猜想，然后解答。
3．地球仪中的经纬度（边演示模型，边讲解）
板书：经纬度
如图2，纬度——P 点的纬度，也是
或POA ∠的度数，即：某地的纬度就是经过这点的球半
径和赤道平面所成的角度．
如图3，经度——P 点的经度，也是 或AOB ∠的度数，即：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数。
思考：怎样转是东经？怎样转是西经？
三、例题分析
例1 我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度。
（地球半径约为6370km ）
40° A K O B A O K C D
40° A K O B B
本题小结：
1）由于球是旋转体，所以，在解决球的计算问题时，常常通过作轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题来处理，达到简化之目的。
2）球心到截面距离、截面圆（小圆）半径、球半径，三条线段构成了一个十分重要的直角三角形。
例2两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为π
144，则这两个平面间的距离是
25、π
_______________．
分析：先让学生画图，看看两种情况是否都考虑到了，再讨论，用多媒体演示。
四、课堂小结
本节课主要学习了球的概念和性质，下面我们一起来作一回顾：
1、球面是指；球是指。
2、的平面截球面，所得截线是大圆，的平面截球面，所得截线是小圆。
3、、、三条线段构成了一个十分重要的直角三角形。
4、有关球的计算问题常可化为圆或三角形等平面问题来处理。
五、布置作业：课本P83习题1、2、3
八、课后反思：。