12-7 斯托克斯(stokes)公式

y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
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例 2 计算曲线积分
(y

2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
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n

右手法则

正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy

n
y
0
D xy
1
x
1
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由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有斯托克斯公式
Pdx Qdy Rdz


R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( )dxdy y z z x x y
xy
1
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根椐格林公式

Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
ห้องสมุดไป่ตู้
P P 即 dzdx dxdy c P[ x , y , f ( x , y )]dx 2 y z
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n


正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
右手法则
:z

f ( x, y )
o
x
y
D xy
C
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定理
设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z

f ( x, y )
o
y
D xy
C
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思路 曲面积分 二重积分 1 曲线积分 2
cos x P cos y Q cos ds Pdx Qdy Rdz z R
其中n {cos , cos , cos }
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Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
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§7 斯托克斯(stokes)公式
1、斯托克斯公式 斯托克斯(Stokes)公式介绍的是曲面上的 曲面积分与沿着的边界曲线L的曲线积分之间 的联系.
右手定则 设 S 是具有分段光滑边界的非封闭光滑双 测曲面，选定曲面的一侧，并如下规定 S 的边界曲线S 的一个正向：如果一个人保 持与曲面选定一侧的法向量同时站立，当 他沿S 的这个方向行走时，曲面 S 总在他 的左边， S 的这个定向称为 S 的诱导定向， 也称为正向，这种定向方法称为右手定则。
R Q P R Q P ( )dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y Pdx Qdy Rdz

..
故有结论成立.
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便于记忆形式
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 另一种形式
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , y z
空间有向曲线
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同理可证 Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , z x R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , x y
问：如果当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时，斯托克斯公 式将变成什么？
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
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2、斯托克斯公式的应用 例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,

其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则.
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P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y