阅读与欣赏(四) 三角函数中ω值的求法

三角函数中ω值的求法

一、利用三角函数的周期T 求解

为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值

为( )

A ．98π

B ．1972π

C ．1992

π

D ．100π

【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需要4914个周期，所以1974T ＝1974·2π

ω≤

1，所以ω≥197

2

π.

【答案】 B

解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2π

ω与所给区间的关系，从而建立不等关

系．

二、利用三角函数的对称性求解

若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤

π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是________． 【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，

所以⎩⎨⎧π2ω＋2k πω≤π

3，π2≤3π2ω＋2k πω，

得

6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋3

2

<4k ＋3，得

0≤k <34，所以k ＝0.即3

2

≤ω≤3.

【答案】 ⎣⎡⎦⎤

32，3

根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．

三、利用三角函数的对称性求解

(1)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的一条对称轴为x ＝π

3

，一个对称中心为点⎝⎛⎭

⎫π12，0，则ω有( )

A ．最小值2

B ．最大值2

C ．最小值1

D ．最大值1

(2)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π

6，0，则ω的最小值为________．

【解析】 (1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是T 4，两条对称轴间的最短距离是T

2，

所以中心⎝⎛⎭⎫π12，0到对称轴x ＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12＝T 4＋kT

2(k ∈N ，T 为周期)，解得(2k ＋1)T ＝π，又T ＝2πω，所以(2k ＋1)·2π

ω＝π，则ω＝2(2k ＋1)，当k ＝0时，ω＝2最小．故

选A ．

(2)依题意得cos ⎝⎛⎭⎫πω6＋π6＝0，则πω6＋π6＝π

2＋k π(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ω的最小值为＝2.

【答案】 (1)A (2)2

三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T

2，相邻的对称轴

和对称中心之间的“水平间隔”为T

4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周

期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心就是其图象与x 轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．

四、利用三角函数的最值求解

已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦

⎤－π3，π

4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．

【解析】 显然ω≠0.

若ω>0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π

4

ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上

的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥3

2

.

若ω<0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π

3ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2.所以π4ω≤－π

2

，解得ω≤－2.

综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫3

2，＋∞. 【答案】 (－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞

利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．