实对称矩阵的对角化

6
Q
X
1
,
X
2
,
X
3
1 3
1
1
2
6
1 3
0
2 6
16
8 0 0
则 Q1 AQ QT AQ 0 2 0 .
0 0 2
2 2 0
例3
设矩阵
A
2 0
1 2
02 , 求正交矩阵Q,
使得Q-1AQ 为对角阵.
17
2 2 0 解 由 E A 2 1 2
0 2
4 1 2 0
11
则 Q1AQ QT AQ
2
3
2 3
1 3
2 3 1 3 2 3
பைடு நூலகம்
1 3 2 3 2 3
1 2
0
2 2
2
0 2
3
2 3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
1
3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
2 0
0 5
12
4 2 2
例2
设矩阵
A
2 2
4 2
2 4
求正交变换矩阵Q使A正交相似于对角阵．
2
X1
2 1
,
2
X2
21 ,
将它们单位化，得
1
X3
2 2
.
10
2
3
X
1
2 3
,
1 3
2
3
X
2
1 3
,
1 3
1
3
X
3
2 3
,
2 3
因此正交变换阵Q为
2 2 1
3
3
3
Q
X
1
,
X
2
,
X
3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1. 解特征方程 E A 0,
求出对称阵A的全部不同的特征值(根).
2.对每个特征值i, 求出对应的线性无关特征向量,
即求齐次线性方程组(i E A)X 的基础解系.
3.将属于每个i 的特征向量先正交化，再单位化. 这样共可得到n个两两正交的单位特征向量
1,2 , ,n 4. 以1,2 , ,n 为列向量构成正交矩阵
向量正交.
证 设1 , 2是实对称矩阵A的两个特征值, 且 1 2 ,
X1, X 2 分别是A对应于1, 2的特征向量．即
3
AX1 1 X1, AX 2 2 X 2 , (1 2 )
因为A为实对称矩阵，所以AT A
(1 X1 )T ( AX1 )T
则
1 X1T
X
T 1
A
用X2 右乘上式两端, 得
1 X1T X2
X1T AX2
2 X1T X2
X
T 1
2
X
2
即
(1
2
)
X
T 1
X2
0
由于1不等于2
故X1 与X2 正交．
，所X以1T X2 0
4
定理4.8 设 A实对称矩阵， 0为 A的 k 重特征值，则
R(0E A) n k.
定理4.8另一种表述为：实对称矩阵A的属于k 重特征值 0 的线性无关的特征向量恰有 k 个.
14
当2 3 2时, 解齐次线性方程组
2E A X
得A的属于特征值2的线性无关特征向量
1
X2
1 0
,
1
X3
0 1
,
得用施密特方法正交化并单位化得两个长度为1且 相互正交的向量为
15
1
2
X
2
1
,
2
0
1
6
X
3
1
6
2 6
于是得正交变换矩阵
1
3
1 2
1
所以1 4, 2 1, 3 2.
当1 4时, 由 4E A X
2 2 0 1 0 2
(4E
A)
2 0
3 2
2 4
0 0
1 0
2 0
18
2
解得基础解系
X1
2 1
.
23
只需把X1
单位化，得
X1
2 3 13
当2 1时, E A X
1 2 0 1 2 0
可见, n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量, 再将这n 个正交向量单位化, 得到一组标准正交基, 用其构成正交矩阵Q, 有 Q1AQ
其中 diag(1, 2 , , n ), i (i 1, 2, , n)
为A 的n个特征值. 于是得出
6
求正交矩阵Q , 把实对称矩阵A 化为对角阵的方法：
( E A)X
设为实系数方程组，所以它必有实特征向量．
2
定理4.6的意义表明： 实对称矩阵A的特征值为实数, 所以齐次线性方程
组 (i E A)X 是实系数方程组. 又因为 i E A 0, 可知该齐次线性方程组一定
有实的基础解系, 从而对应的特征向量可以取实向量. 定理4.7 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征
4 2 2 解 由 E A 2 4 2
2 2 4 ( 2)2 ( 8) 0
解得矩阵A的全部特征值为
1 8, 2 2, 3 2.
13
当1 8时, 由8E A X
得A的属于特征值8的线性无关特征向量为
1
X1
11
,
将X1 单位化得
1
3
X
1
1 3
;
1
3
7
Q (1,2 , ,n ) 有 Q1AQ .
1
即
Q1 AQ
2
n
必须注意:对角阵中 1,2 , ,n的顺序要与特征向量 1,2 , ,n 的排列顺序一致.
8
1 2 0
例1
设矩阵
A
2 0
2 2
2 3
求正交变换矩阵Q使A相似于对角阵．
1 2 0 解 E A 2 2 2
(E
A)
2 0
0 2
2 1
0 0
2 0
1 0
19
2
解得基础解系
X2
1 2
.
23
只需把 X2 单位化, 得
§4.3 实对称矩阵的对角化
一. 实对称矩阵的特征值 与特征向量的性质
二、求正交矩阵的方法 三. 小结与思考题
1
实对称矩阵是一类特殊的矩阵, 它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵P ,使得 P1AP ,更可找到正交矩阵 T ，使得 T 1 AT .
一.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
定理4.6 实对称矩阵的特征值都是实数. 注：①任意实 n 阶矩阵的特征值不一定是实数． ②由于实对称矩阵A的特征值 都是实数, 故方程组
0 2 3
( 1)( 2)( 5) 0
所以 1 1,2 2, 3 5.
将矩阵A的特征值i 分别代入齐次线性方程组为
(i E A)X
9
由于这是三个不同的特征值, 对应的齐次线性方程组 分别为 ： (E A)X
(2E A)X
(5E A)X
求解可得相应的线性无关且正交的特征向量为
推论 任意实对称阵必与对角阵相似．
定理4.9 对于任意一个n阶实对称阵A， 都存在一个
n阶正交矩阵Q，使 Q1AQ对角阵
定义4.4 设 A、B是两个n阶矩阵，若存在正交矩阵Q，
使得
Q1AQ B
则称矩阵A与B正交相似．
5
二、求正交矩阵的方法
将n 阶实对称矩阵A的每个k 重特征值对应的k个 线性无关的特征向量用施密特方法正交化后,它们仍 是A的属于特征值的特征向量.