多元函数求导法则

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第17 次课授课时间2016年12月23日第3～5节课教案完成时间2016年12月16日课程名称高等数学教员职称副教授

专业层次药学四年制本科年级2016 授课方式理论学时 3

授课题目（章，节）第七章多元函数及其微分法

§3.全微分§4.多元复合函数与隐函数的偏导数

基本教材、主要参考书和相关网站基本教材：《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版

主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版

教学目标与要求：

了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法

教学内容与时间分配：

复习5分钟全微分概念5分钟

可微与可导间的关系5分钟全微分的算法及应用25分钟

复合函数求导法则（推广及特例4种）40分钟

一阶全微分形式的不变性15分钟隐函数求导法20分钟

小结5分钟

教学重点与难点：

重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法

难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析教学方法与手段：

教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。

教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。

教学组长审阅意见：

签名：年月日教研室主任审阅意见：

签名：年月日

理论与实验课教案续页

基 本 内 容

教学方法手段 和时间分配 复习回顾：一元复合函数求导法则

第三节 全微分及其应用

一元函数：)(x f y =，在x 点可导；

)()()()()(lim

0x o x A x

x x f x f x x f y x f x y

x ∆+∆=∆+∆'=-∆+=∆⇒'=∆∆→∆α

二元函数：),(y x f z =，在),(y x 点

y z

x z ∂∂∂∂,存在；希望全增量z ∆为 )(),(),(ρo y B x A y x f y y x x f z +∆+∆=-∆+∆+=∆ （1） 其中B A ,是不依赖于y x ∆∆,（仅与y x ,点有关）的常数，

22)()(y x ∆+∆=ρ

下面给出全微分的定义、存在的充要条件。

一、全微分概念

定义：若（1）式成立，则称),(y x f z =，在点),(y x 可微分，而

y B x A ∆+∆称为在该点的全微分（total differential ）

，记为： y B x A dz ∆+∆= （2）

二、可微与可导间的关系

P222定理1（必要条件）

),(y x f 在),(y x 点全微分存在

y z

x z ∂∂∂∂,存在（+连续） （（1）式成立） P223定理2（充分条件） 5’

难点

基 本 内 容

教学方法手段 和时间分配

A B 几点说明：

1）P222定理1为全微分存在的必要条件定理，即（1）式成立

⇒

y z x z ∂∂∂∂,在),(y x 点存在且B y

z A x z =∂∂=∂∂,； 2）反之不成立。反例见⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=)0(0)0(),(222222y x y x y x xy y x f 分段

函数（即dz z -∆不是ρ的高阶无穷小）

3）反之何时成立？这就是P223定理2（充分条件）（+偏导连续） 4）定理2的证明中用到拉格朗日中值定理（P80，（3-1-2’））

5）将自变量的增量y x ∆∆,称为自变量的微分，记为dy dx ,，从而

dy y

z dx x z dz ∂∂+∂∂=

（3） 6）可以推广到多元函数（>二元）

三、算法

例：求全微分。

（1）dy y

x y

dx y x x dz y x z 2

2222

2

22)ln(+++=

⇒+= （2）3

2z xy u =

5’

5’

重点

基 本 内 容

教学方法手段 和时间分配 dz z xy dy xyz dx z y dz z

u dy y u dx x u du 2233232++=∂∂+∂∂+∂∂=

（3）求x

xy z )1(+=在)0,2(点的dz

01)1ln()1(020

2=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++++=∂∂====y x x y x xy xy xy xy x z

4)1(0

2

1

20

2=+=∂∂==-==y x x y x xy x y

z

dy dz 4=∴

四、全微分应用 1．近似计算

)

,(),(),(),(),(),(000000000000y x f dz y y x x f dy y x f dx y x f dz y x f y y x x f z y x +≈∆+∆+⇒'+'=≈-∆+∆+=∆ 例（P224例4）求32

2)97.1()02.2(+的近似值。

例（P224例3）求已知两端封闭的金属圆桶的底面半径为30厘米，高为120厘米。要将它刷上0.02厘米厚的油漆，问共需多少油漆？

2．误差估计（自学）

课堂练习：

1．求下列函数的全微分。

（1）)1ln(2

2

y x z ++= （2）)sin(2

2

2

z y x u ++=

难点 讨论式

两个偏微分之和