《立体几何》专题文科

高三文科数学第二轮复习资料

——《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是

A ．V 2

1 B ．V 3

1 C ．V 4

1 D ．V 3

2

3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是

A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥I

B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥I

C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥

D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 线A C 1上的点，若a

PQ =2

，则三棱锥P BDQ -的体积为

A ．

a 33 B ．a 33 C ．a 33 D ．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q ，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是

A 12

Q B

23Q C 2

π

Q D 23πQ

6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，

O 为AC 与BD 的交点（如图），求证： （1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ； （3）A 1O ⊥平面BDF ； （4）平面BDF ⊥平面AA 1C ．

7．如图，斜三棱柱ABC —A ’B’C’中，底面是边长为a 的正三角形，

侧棱长为 b ，侧棱AA ’与底面相邻两边AB 、AC 都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积．

8．在三棱锥P —ABC 中，PC=16cm ，AB=18cm ，PA=PB=AC=BC=17cm ，求三棱锥的体积V P-ABC ．

A

B

D C

A 1

D 1 C 1

B 1

P

Q

图

9．如图6为某一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC ，AQ=AP ，点S 、D 、A 、Q 及P 、D 、C 、R 共线.

沿图中虚线将它们折叠起来，使P 、Q 、R 、S 四点重合，请画出其直观图，试

问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD A B C D -1111？ 10． 如图10，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，

AA 1=2a ，M 、N 分别是BB 1、DD 1的中点． （1）求证：平面A 1MC 1⊥平面B 1NC 1；

（2）若在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为V ， 三棱锥M-A 1B 1C 1的体积为V 1，求V 1：V 的值．

11．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC AB ⊥，E 是A 1C 的中点，

ED A C ⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 12

2

== (如图11) ． （I ）证明：B C 11//平面A BC 1； （II ）证明：A C 1⊥平面EDB ．

参考答案

1．D 2．B 3．D 4．A 5．D

6．解析：（1）欲证EG ∥平面BB 1D 1D ，须在平面BB 1D 1D 内找一条与EG 平行的直

线，构造辅助平面BEGO ’及辅助直线BO ’，显然BO ’即是． （2）按线线平行⇒线面平行⇒面面平行的思路，

在平面B 1D 1H 内寻找B 1D 1和O ’H 两条关键的相交直线， 转化为证明：B 1D 1∥平面BDF ，O ’H∥平面BDF ． （3）为证A 1O ⊥平面BDF ，由三垂线定理，易得BD ⊥A 1O ， 再寻A 1O 垂直于平面BDF 内的另一条直线．

猜想A 1O ⊥OF ．借助于正方体棱长及有关线段的关系

A Q

B P D S

C R 图6

图11

D

E

A 1

C B

A

C 1

B 1 A

N B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1 图 10

M

计算得：A 1O 2+OF 2=A 1F

2

⇒A 1O ⊥OF ．

（4）∵ CC 1⊥平面AC ，∴ CC 1⊥BD

又BD ⊥AC ，∴ BD ⊥平面AA 1C

又BD ⊂平面BDF ，∴ 平面BDF ⊥平面AA 1C 7．解析：在侧面AB ’内作BD ⊥AA ’于D ，连结CD ．

∵ AC=AB ，AD=AD ，∠DAB=∠DAC=450

∴ △DAB ≌△DAC

∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD ∴ BD ⊥AA ’，CD ⊥AA ’ ∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=

a 2

2 ∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=(2+1)a ，△DBC 的面积=

4

a 2

∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab

∴ V=DBC S ∆·AA ’=

4

b

a 2

8．解析：取PC 和AB 的中点M 和N

∴ AMB AMB C AMB P ABC P S PC 3

1V V V ∆---⋅⋅=+=

在△AMB 中，AM 2=BM 2=172-82=25×9 ∴ AM=BM=15cm ，MN 2=152-92=24×6 ∴ S △AMB =2

1×AB ×MN=2

1×18×12=108(cm 2)

∴ V P-ABC =3

1×16×108=576(cm 3)

9．解：它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（如图）．

需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.

10．解：（1）取CC 1的中点P ，联结MP 、NP 、D 1P(图18)，

A Q

B P

D

S C

R

第九题

A 1

B 1

M

A

B C

D

E

H

G

A 1

B 1

C 1

D 1

第九题