秦九韶算法公式详解

秦九韶算法公式详解

秦九韶算法是一种多项式求值的高效算法，可以大大提高多项式求值的速度。本文将详细介绍秦九韶算法的原理、流程和应用。

一、算法原理

秦九韶算法是一种递推算法，其基本思想是将多项式分解为一个个单项式，然后通过递推的方式依次求值。具体来说，对于一个n次多项式f(x)，我们可以将其表示为：

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 然后，我们可以先计算出a_n和a_{n-1}的值，然后利用递推公式：

$b_{i}=a_{i}+xtimes b_{i+1}$

求出$b_{n-1}$，再利用递推公式：

$c_{i}=b_{i}+xtimes c_{i+1}$

求出$c_{n-2}$，以此类推，直到求出$c_{1}$，最后再加上$a_{0}$即可得到多项式的值。

二、算法流程

1.输入多项式的系数和x的值；

2.初始化b_{n-1}=a_{n}和c_{n-2}=a_{n}x+a_{n-1}；

3.从n-2到0依次计算$b_{i}$和$c_{i}$，直到$i=0$为止；

4.输出$c_{0}$，即为多项式在x处的值。

三、算法应用

秦九韶算法可以用于多项式求值、多项式插值、多项式拟合、多

项式积分等多个领域。其中，多项式插值和多项式拟合是最为常见的应用。

1.多项式插值

多项式插值是指通过已知的n个点，构造一个n次多项式，使得该多项式经过这n个点。具体来说，对于n个点

$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})$，我们要求出一个n次多项式$f(x)$，使得$f(x_{i})=y_{i}$。根据拉格朗日插值公式，我们可以得到：

$f(x)=sum_{i=1}^{n}y_{i}l_{i}(x)$

其中，$l_{i}(x)$是n次拉格朗日基函数，定义为：

$l_{i}(x)=prod_{j=1,j

eq i}^{n}frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$

这里，我们可以使用秦九韶算法来快速求出各个基函数的系数，从而快速计算出多项式的值。具体来说，我们可以将拉格朗日基函数表示为：

$l_{i}(x)=frac{1}{prod_{j=1,j

eq i}^{n}(x_{i}-x_{j})}timesprod_{j=1,j

eq i}^{n}(x-x_{j})$

然后，我们可以将每个基函数的系数提取出来，再利用秦九韶算法求出多项式的值。

2.多项式拟合

多项式拟合是指通过已知的n个点，构造一个m次多项式，使得

该多项式与这n个点的距离最小。具体来说，对于n个点

$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})$，我们要求出一个m次多项式$f(x)$，使得$f(x_{i})$与$y_{i}$的差距最小。根据最小二乘法，我们可以得到：

$minsum_{i=1}^{n}(f(x_{i})-y_{i})^{2}$

将$f(x)$表示为：

$f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 则有：

$a_{m}=frac{sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{m}}{sum_{i=1}^{n}x_{i} ^{2m}}$

$a_{m-1}=frac{sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{m-1}}{sum_{i=1}^{n}x _{i}^{2m-2}}$

...

$a_{0}=frac{sum_{i=1}^{n}y_{i}}{n}$

这里，我们可以利用秦九韶算法快速计算出多项式的值。同时，我们还可以通过交叉验证等方法来确定最佳的多项式次数m。

四、总结

秦九韶算法是一种高效的多项式求值算法，可以应用于多项式插值、多项式拟合、多项式积分等多个领域。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的多项式次数和系数，从而得到更加精确的结

果。