整式(单项式)
整式
整式本讲知识要点:(一)单项式:1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。
如mn是数、字母m、n的积，它是单项式，但不是单项式，因它分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。
，a，b都是单项式。
在a2b，，2x2+3x+5中，只有a2b是单项式。
2.单项式的系数:单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。
如的系数是，5a3的系数是5。
3.单项式的次数:单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如: x3y2的次数是x的指数3与y的指数2的和为5，即x3y2的次数是5；ab的次数是2；4abc的次数是3，2a的次数是1，4的次数是0。
下面我们通过填表来进一步练习:x3y p x2(二)多项式:1.几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。
如：多项式-2x+3中，-2x，3是它的项，3是常数项；多项式5x2-3x+4中，5x2，-3x，4是它的项，4是它的常数项.注意:多项式的项包括它前面的符号。
2.多项式的项数:一个多项式含有几项，就叫做几项式.如3x-1是二项式，7x2-5x+3是三项式，a3+3a2b+3ab2+b3是四项式。
3、多项式的次数:多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
如:多项式5x2-x+2中5x2项的次数最高，次数为2，所以，此多项式的次数是二，它是二次三项式；4x-3是一次二项式；m2+mn+n2是二次三项式；x4y+ xy4是五次二项式。
4.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
如:多项式2x3y2-xy3+ x2y4-5x4-6是六次五项式，按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+ x2y4-xy3-6，在这里只考虑x的指数，而不考虑其它字母；按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+ x2y4。
整式的知识点
整式的知识点整式的有关概念整式的定义：单项式和多项式统称为整式。
一、单项式单项式的定义单项式：像－x,1m2,－ab,2Πr数字和字母的乘积或字母与字母的2乘积，这样的式子叫单项式。
单独的一个数或字母也是单项式。
注：1）单项式中只“含乘除，不含加减”2）单项式可以是数与数的积，可以是数与字母的积，可以是字母与字母的积。
单项式的系数：写在单项式前面的数字因数叫单项式的系数。
注：1)一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或－1.2）一个单项式是一个常数，它的系数是它本身.3）当负数作系数时，应包括前面的符号4）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数的带分数，通常写成假分数单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
二、多项式多项式的定义：几个单项式的和叫多项式。
如：x2＋2xy＋y2,a2－b2等。
多项式的项：多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
注：1）多项式的每一项包括它前面的符号2）多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。
如:3a2－2a＋5的项数是3，叫做三项式。
多项式中不含字母的项叫常数项。
多项式的次数，次数最高项的次数叫做多项式的次数。
注：多项式通常以它的项数和次数来命名，称为几次几项式，最高次项的次数是几就是几次式，项数是几就是几项式如：多项式6xy4＋2x2y2-3xy-4是五次四项式。
整式的加减同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项。
几个常数项也是同类项。
合并同类项定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
依据：逆用乘法对加法的分配律法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项的一般步骤：1）准确找出同类项（可用不同的记号标出同类项）；2）利用法则把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；合并下列各式中的同类项（1）－3x＋2y－5x－7y；（2）a2－3ab＋5－a2－3ab－7；（3）5m3－3m2n－m32nm2－7＋2m3．去括号去括号法则：括号前面是”＋”，把括号和它前面的”＋”去掉，括号里的各项符号都不改变。
整式2-单项式和多项式以及习题大全
整式【整式】整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：⎩⎨⎧多项式单项式整式1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2+bx+c 和x 2+px+q 是常见的两个二次三项式.➢ 单项式与多项式的分辨【基础练习】1. 代数式5.0-、2xy -、1322+-x x 、a -、1x、0中，单项式共有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2. 下列各式：2222111,1,25,,,2522x y a b x a ab b x -----+中单项式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3. 在代数式22513,2,,5,,02x x x y a xπ--中，单项式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. 下列代数式中属于单项式的是（ ） A ．85xy + B ．3x C ．312y + D ．π 5. 在代数式2222,,3,1,,23xy x x ab x x x -+--+中，是单项式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6. 在式子 中单项式的个数为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5 7. 在式子212,,,0,3,22x yx ab a b x ++中，单项式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8. 在代数式2222,3,2,,23m m b n π---中，单项式的个数为（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个9. 下列式子222222,32,,4,,,22a b x yz ab c a b xy y m x π++---，其中是多项式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10. 下列各式中是多项式的是（ ） A ．12-B ．x y +C ．3abD ．22a b -11. 下列代数式中的多项式共有（ ）个22231,,0.5,,,,,535n m x a abxy ax bx c a b x y ---++-. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12. 代数式：221()x y π+是（ ）A ．是单项式B ．是多项式C ．既不是单项式，也不是多项式D ．无法确定 【培优练习】13. 判断下列各代数式是否是单项式。
整式单项式
xx年xx月xx日
目录
• 整式概述 • 整式的运算 • 整式中的单项式 • 整式与单项式的应用
01
整式概述
整式的定义
01
整式是由整数和整数的乘积组成的代数式。整式中，数与数之间的运算只能是 加、减、乘、除和乘方，而不能有分母，不能出现除数不为0的情况。
02
整式可以看作是一种特殊的代数式，它与分式相对，分式中会出现分子和分母 ，而整式则不会。
单项式相乘时，把系数和相同字 母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的指 数作为积的一个因式。例如， $(3a) \times (4b) = 12ab$。
04 除法
单项式相除时，把系数和相同字母 分别相除，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数一起作为 商的一个因式
04
整式与单项式的应用
整式在数学中的应用
整式是代数式的一种，它包括单项式和多项式 ，在数学中有着广泛的应用。
整式可以用于表示数学概念、计算结果和推理 过程等。
整式中的单项式可以用来表示数字、字母和它 们之间的乘积，多项式则可以表示多个单项式 的组合。
整式在实际生活中的应用
整式中的多项式可以用来表示实际生活中的多项费用、价 格等，如电费的阶梯式计费和公交车的分段式票价等。
03
整式的分类：根据整式的形式不同，整式可以分为单项式和多项式两种。单项 式是指数与字母的乘积，或者是单独的一个数或字母；多项式则是由多个单项 式组合而成。
整式的重要性
整式在数学中有着广泛的应用，它是后续许多数学知识的基 础，如因式分解、方程求解等都需要用到整式的概念和运算 规则。
通过对整式的学习，可以培养学生的数学思维能力和逻辑推 理能力，提高学生对数学的兴趣和信心。
2.1整式(一)单项式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了单项式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对单项式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《整式(一)单项式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过描述物体数量和特征的情况？”比如，我们说一个球的质量是5克，这里的质量和数字5就是一种描述。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索单项式的奥秘。
4.培养学生的运算能力：让学生在掌握单项式加减法则的基础上，提高运算速度和准确性，培养良好的数学运算习惯。
5.培养学生的合作交流能力：在小组讨论与合作学习中，鼓励学生表达自己的观点，倾听他人的意见，共同解决问题，提高合作交流能力。
本节课将紧扣核心素养目标，注重培养学生的学科素养，为学生的全面发展奠定基础。
举例：合并5x和3x时，应得到8x，而不是5x或3x。
（4）在实际问题中的应用：学生可能难以将实际问题转化为单项式的数学模型，或者不知如何运用所学知识解决具体问题。
举例：通过实际例题，如计算长方形的面积，引导学生将长和宽表示为单项式，并运用单项式的乘法运算求解。
本节课的教学难点与重点是紧密相连的，教学过程中应通过具体例题、互动讨论、反复练习等方式，帮助学生透彻理解核心知识，突破学习难点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
整式
基本信息名称 2.1整式：1．单项式执教者赵凤霞课时第一课时所属教材目录第二章整式的加减2.1整式：1．单项式教材分析人们对具体事物的认识，一般要经历从具体到抽象，在从抽象到具体，不断往复，逐步提高的过程。
本节中，整式的概念、单项式的概念和次数，既是由数到式的抽象与升华，又是以后学习同类项，整式加减，乘除等知识的基础。
同时也为以后学习分式运算、一次方程和函数等知识奠定了基础。
另外，通过以往学习的经验，学生对单项式、单项式的系数、单项式的次数等概念的理解和掌握都有一定的难度。
更重要的是通过单项式的系数的不同表现形式的教学，培养学生的符号意识和有条理地思考和语言表达能力。
学情分析在前面的学习中，主要学习的是数的有关概念和运算学生习惯用书的相关知识解决实际问题。
由“数”到“式”的过程，是一个抽象的过程。
虽然小学学过用字母表示数，但是七年级学生符号意识薄弱，分析问题能力有待提高。
在具体的问题情境中，对于如何分析问题、寻找相关数量、确定数量之间的关系、用数学符号表达数量关系，学生会感到困难。
再者我校学生基本素质不高，应在学生自主预习的基础上留有充分时间思考，讨论。
教学目标知识与能力目标1.理解单项式、单项式的系数、单项式的次数的概念；2.能判断一个代数式是否为单项式；3.会指出单项式的系数、单项式的次数。
过程与方法目标通过单项式、多项式和整式的概念，知道他们与代数式之间的关系和区别。
情感态度与价值观目标经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程，发展符号感。
教学重难点重点单项式、单项式的系数、单项式的次数的概念。
难点单项式、单项式的系数、单项式的次数的概念。
教学策略与设计说明本节课是研究整式的起始课，它是进一步学习多项式的基础，因此对单项式有关概念的理解和掌握情况，将直接影响到后续学习。
为突出重点，突破难点，教学中要加强直观性，即为学生提供足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，亦即在剖析单项式结构时，借助反例练习，抓住概念易混淆处和判断易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数，为进一步学习新知做好铺垫。
整式第二十节单项式多项式定义
在研究单项式的系数问题时，要注意以下几点： 在研究单项式的系数问题时，要注意以下几点： 系数问题时
1、如果单项式是单独的字母，那么它的系数是 、如果单项式是单独的字母， 1。 如：单项式 的系数是 。 单项式c的系数是 的系数是1。 。 2、当单项式的系数是带分数时，通常写成假分 、当单项式的系数是带分数时，通常写成假分 是带分数时 数。 3、单项式的系数应包括它前面的性质符号。 、单项式的系数应包括它前面的性质符号。 性质符号 4、圆周率π是常数。 、圆周率 是常数 是常数。 5、单独的非零数字不含字母 所以它 零次
答：
整式
多项式
1 、代数式： 用运算符号把数或字母 连结而成的式子叫代数 式。 单独一个数或一个字母 也是代数式。 如： a 2，
2、单项式:由数或字母的积组成的代 、单项式 由数或字母的积组成的代 数式. 数式 3、单项式的系数：单项式中的数字 、单项式的系数：单项式中的数字 系数 因数 4、单项式的次数：单项式中所有字 、单项式的次数：单项式中所有字 次数 母的指数的和。
8、多项式的次数：次数最高项的次数. 、多项式的次数：次数最高项的次数 最高项的次数
3xy 4 x y + 12 中 ， 4 x 3 y 多项式： 如：多项式： 这一项的次数是4， 这一项的次数是 ，是这个多项式 次数最高 最高的 所以4就是这个多 中，次数最高的，所以4就是这个多 项式的次数. 项式的次数
2 3
说明： 说明： （1）是所有的字母，不是部分字母； ）是所有的字母，不是部分字母； （2）是指数的和，不是指数的乘积。 ）是指数的和 不是指数的乘积。
讲讲 & 练练 1、规定：单项式与多项式统称为整式。 、规定： 想想 & 讲讲
整式 - 单项式
教案 教学内容知识回顾：1. 列代数式：(1)边长为a 的正方体的表面积为 ６a 2 ，体积为 a 3 ；(2)铅笔的单价是x 元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是 2.5x 元；(3)一辆汽车的速度是v 千米/小时，行驶t 小时所走的路程是 vt 千米；(4)设n 是一个数，则它的相反数是 -n ．2. 像上述这些用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 代数式 ．单独一个数或字母也是 代数式 ．知识梳理：1．单项式的概念像4x ,vt , a 2 ,a 3,-n ,2πr ，它们都是 数 或 字母 的积，像这样的代数式叫做 单项式 ，这里的积包括以下三种情况：A ： 数 和 数 的积例如，2π是数2与数π的积，所以2π是单项式．B: 数 和 字母 的积例如，4a 是数4与字母a 的积，所以4a 是单项式．C: 字母 和 字母 的积例如，ax 是字母a 与字母x 的积，所以ax 是单项式．注意：（1）单项式中只含有乘法（包括乘方）和以数字做除数的除法运算，例如2ab 5是单项式.分母中含有字母的式子不是单项式，例如cab 不是单项式． （2）单独的一个数或一个字母也是单项式，如1，m 都是单项式．2.单项式的系数单项式中的数字因数 叫做单项式的系数．A ：单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写．例如，x 2的系数为1，而不是0；-x 2的系数是 -1 ．B ：单项式的系数应包括它前面的符号和所有 数字因数 ．例如，-3abx 的系数是 -3 ．C ：若单项式中出现圆周率π，π为常数，则它是系数的一部分．整式——单项式例如：2πr 的系数是 2π ．3.单项式的次数所有字母的指数和叫做单项式的 次数 ．例如，-x 2y 的字母是x ，y ,其中x 的指数是2，y 的指数是1，所以-x 2y 的次数是 2+1=3 ． A ：指数是1时省略不写，不能误认为是0．例如，单项式3x 的次数是1．B ：系数的指数不能相加作为单项式的次数．例如，单项式32xy 的次数为2，而不是4．单项式：数或字母的乘积叫单项式。
单项式整式的概念
单项式整式的概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊单项式整式这个有趣的玩意儿。
你看啊，单项式整式就像是一群各具特色的小伙伴。
单项式呢，就好比是一个独行侠，一个人独来独往，有着自己独特的魅力。
它呀，就是由数字和字母的乘积组成的，简单又纯粹。
比如说 3x，这就是一个单项式呀。
3 是那个数字朋友，x 就是那个字母小伙伴，它们俩凑在一起，就成了一个单项式。
是不是挺有意思的？那整式又是什么呢？整式就像是一个团队啦！它里面可以有单项式这个独行侠，还可以有几个单项式凑在一起组成的多项式。
想象一下，整式就像是一个班级，单项式是一个个学生。
有的学生自己玩得很开心，就像单项式自己存在着；而有的学生喜欢结伴，几个单项式组合在一起，就成了多项式这个小团体。
那整式这个班级有啥特点呢？它里面的小伙伴们可都是有规矩的哟！它们都是由有限个单项式或者多项式组成的，而且不会有那些乱七八糟的运算在中间捣乱。
比如说 2x + 3y，这就是一个多项式呀，它也是整式的一员呢。
这里的2x 和 3y 就是两个单项式小伙伴，它们手牵手组成了这个多项式。
整式在数学的世界里可重要啦！就像我们生活中离不开朋友一样，数学里也离不开整式呀。
它能帮我们解决好多问题呢，你难道不觉得很神奇吗？我们在学习整式的时候，就像是在认识一群新的朋友，要了解它们的特点，和它们友好相处。
可不能马虎哦，不然这些朋友可要生气啦！当我们掌握了整式的奥秘，就像是拥有了一把打开数学大门的钥匙。
我们可以用它来探索更多的知识，发现更多的奇妙之处。
所以啊，朋友们，可别小瞧了单项式整式哟！它们虽然看起来简单，但是用处可大着呢！让我们一起好好和它们交朋友，在数学的海洋里尽情遨游吧！这就是我对单项式整式的看法，你们觉得呢？原创不易，请尊重原创，谢谢!。
整式(单项式、多项式、整式)
整式的加减一、教学目标1、掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数；2、理解同类项的概念，并能正确辨别同类项3、掌握合并同类项的法则，能进行同类项的合并,并且会利用合并同类项将整式化简4、掌握添，去括号法则，并会运用添，去括号法则对多项式惊醒变形，进一步根据具体问题列式，提高解决实际问题的能力5、理解整式加减的运算法则二、例题精讲模块一 代数式的概念用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方等)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 例如：5，a ，()222,,23a b ab a ab b +-+，等等.列代数式（1）若正方形的边长为a ，则正方形的面积是 ；（2）若三角形一边长为a ，并且这边上的高为h ，则这个三角形的面积为 ；（3）若x 表示正方形棱长，则正方形的体积是 ； （4）若m 表示一个有理数，则它的相反数是 ； （5）小明从每月的零花钱中贮存x 元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
【例2】代数式的求值：（1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b-+++-的值。
（2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。
（4）已知113b a -=，求222a b aba b ab---+的值。
【巩固】1、下列说法中,正确的是（ ） A ．a 是代数式，1不是代数式B ．表示a ，b 的积的2倍的代数式为2abC ．a,b 两数差的平方与a ，b 两数的积的4倍的和表示为()2+4a b ab - D ．xy 的系数是02、三个连续的自然数，中间的一个为n ，则第一个为 ，第三个为 ．3、试写一个只含字母x 的代数式：当x=﹣2时，它的值等于5．你写的代数式是 ．4、已知2a b =；5c a =，求624a b ca b c+--+的值(0)c ≠5、已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。
整式概念复习课件
）
（4）-ab2c的次数是2（ ） 8、（1）买单价为a元的笔记本m本,付 出20元,应找回__元. m （2）用字母表示图形中的 3 m 黑色部分面积是________ a
把下列各式填到相应的括号里：
x2+5 2
-1
X2-3x
π
}
5
x
x 2+
1 x2
单项式：{
多项式：{
整式：{ x 2+5
2
x2+5 2
1.当单项式的系数是1或-1时，“1” 通常省略不写。 2.圆周率π是常数。 3.当单项式的系数是带分数时，通常写 成假分数。
4.单项式的系数应包括它前面的符号。
多项式：几个单项式的和叫做多项式，其 中，每个单项式叫做多项式的项，不含字 母的项叫做常数项，多项式里次数最高项 的次数，叫做这个多项式的次数。 整式：单项式和多项式统称为整式
系数：单项式中的数字因数。 单项式 次数:所有字母的指数的和。 整 式
（其中不含字母的项叫做常数项） 多项式 次数：多项式中次数最高的项的次数。
项：式中的每个单项式叫多项式的项。
7、判断题： （1）-5ab2的系数是5（ ） （2）xy2的系数是0（ ）
1 1 2 （3） 2 x 的系数是 2 （
师傅领进门
思考题：
1.多项式 5x y (m 2)xy 3x
m 2
如果的次数为4次，则m为多少？ 如果多项式只有二项，则m为多少？
师傅领进门
思考题：
2.一个关于字母x的二次三项式的二次项 系 数为４，一次项系数为１，常数项为7 则这个二次三项式为＿＿＿＿＿＿＿．
写出一个单项式，使它的系数是2，次数是3 写出一个多项式，使它的项数是3，次数是4
第二讲 整 式
第二讲 整 式归纳 1：整式的有关概念基础知识归纳：1.整式：单项式与多项式统称整式．（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．(2) 多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数项．2． 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．基本方法归纳：要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．注意问题归纳：1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；2、多项式的次数是指次数最高的项的次数．3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．【例1】若单项式a m ﹣1b 2与212n a b 的和仍是单项式，则n m 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9归纳2：幂的运算基础知识归纳：（1）同底数幂相乘：a m·a n＝a m＋n（m，n都是整数，a≠0）（2）幂的乘方：（a m）n＝a mn（m，n都是整数，a≠0）（3）积的乘方：（ab）n＝a n·b n（n是整数，a≠0，b≠0）（4）同底数幂相除：a m÷a n＝a m－n（m，n都是整数，a≠0）注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．【例2】下列各式计算正确的是（）A．x+x2=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x3D．x•x2=x3归纳3：整式的运算基础知识归纳：1．整式的加减法：实质上就是合并同类项1．整式乘法①单项式乘多项式：m（a＋b）＝ma+mb；②多项式乘多项式：（a＋b）（c＋d）＝ac+ad+bc+bd③乘法公式：平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．3．整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．【例3】化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（）A．6x﹣9B．﹣12x+9C．9D．3x+9【例4】先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a12 =-．【例5】我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s=1，则a2= ；（2）若s=2，则a0+a1+a2+…+a15= ．【基础练习】1．单项式﹣5ab的系数是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣22．下列各式正确的是（）A．2a2+3a2=5a4B．a2•a=a3 C．（a2）3=a5D=a 3．已知4m=a，8n=b，其中m，n为正整数，则22m+6n=（）A．ab2B．a+b2C．a2b3D．a2+b34．若8x m y与6x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（）A．4B．8C．±4D．±85．计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（）A．8m5B．﹣8m5C．8m6D．﹣4m4+12m56.单项式12a3b2的次数是．7.已知：a=1）1）+|1，b=2sin45°+（12）﹣1，求b﹣a的算术平方根．【提升练习】8．按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1 9．4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b满足（）A ．2a =5bB ．2a =3bC ．a =3bD ．a =2b10．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：()()()()232323232323+++==--+7+43，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3535+--，设x 3535=+--，易知3535+-＞，故x ＞0，由x 2=（3535+--）2=35++35--2()()3535+-=2，解得：x 2=，即35352+--=．根据以上方法，化简3263363332-+--++后的结果为（ ） A ．5+36 B ．56+ C ．56- D ．5﹣3611．若m 1m-=3，则221m m += ． 12．若x 2+2（m ﹣3）x +16是关于x 的完全平方式，则m = ．13．已知ab =a +b +1，则（a ﹣1）（b ﹣1）= ．14．先化简，再求值：（2m +1）（2m ﹣1）﹣（m ﹣1）2+（2m ）3÷（﹣8m ），其中m 是方程x 2+x ﹣2=0的根．【突破练习】15．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x =N （a ＞0且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log 216，对数式2=log 525，可以转化为指数式52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M •N ）=log a M +log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）．理由如下：设log a M =m ，log a N =n ，则M =a m ，N =a n ，∴M •N =a m •a n =a m +n ，由对数的定义得m +n =log a （M •N ）又∵m +n =log a M +log a N ，∴log a （M •N ）=log a M +log a N根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式34=81转化为对数式 ；（2）求证：log a M Nlog a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0） （3）拓展运用：计算log 69+log 68﹣log 62= ．16．对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n 为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a 是另一个正整数b 的平方，则称正整数a 是完全平方数．若四位数m 为“极数”，记D （m ）=33m ，求满足D （m ）是完全平方数的所有m ．1．下列各式计算正确的是（）A．x2•x3=x5B．x2+3x2=4x4 C．x8÷x2=x4D．（3x2y）2=6x4y2 2．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．a2•a4=a8 C．a2÷a=a D．（a2b）3=a5b3 3．下列计算正确的是（）A．（ab）3=a3b B．62aa=a3 C．a ba b--=-+1D．（a+b）2=a2+b24．计算（﹣xy2）3的结果是（）A．﹣x3y6B．x3y6C．﹣x3y5D．x3y55．下列式子正确的是（）A=2B=-3C．a2•a3=a6D．（a3）2=a9 6．若m+n=7，2n﹣p=4，则m+3n﹣p=（）A．﹣11B．﹣3C．3D．117．计算：（﹣2a）2= ．8．化简（x+y）（x﹣y）﹣3y2的结果为．9．计算：1）1）= ．10．已知y2﹣2xy﹣1=0，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣3y2的值．11．计算：2a3•a+（2a2）2﹣5a4．12．发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；发现：（1）（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的几倍？（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；延伸任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由．13．化简：（1）（a﹣2b）2﹣4a（a﹣b）（2）2 122444x xxx x+⎛⎫++÷⎪--⎝⎭14．（1）（2x+3y）2+（x+3y）（x﹣3y）；（2）（32a++a﹣2）2212a aa-+÷+．。
整式的运算知识点
整式的运算知识点在数学的学习中，整式的运算是一个重要的基础内容。
它就像是搭建数学大厦的基石，对于后续更复杂的数学知识的学习起着关键的作用。
下面，让我们一起来深入了解整式运算的相关知识点。
首先，我们要明白什么是整式。
整式是单项式和多项式的统称。
单项式是指由数字和字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
比如，3x、5、a 等等。
多项式则是由几个单项式相加组成的代数式。
例如，2x ＋ 3y、a^2 2ab ＋ b^2 。
整式的加减运算，其实就是合并同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
比如 3x 和 5x 就是同类项，合并同类项时，我们只需要将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
例如，3x ＋ 5x ＝ 8x 。
整式的乘法运算包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。
单项式乘以单项式，就是把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
比如 2x 3y ＝ 6xy 。
单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如，2x(3x ＋ 4) ＝ 2x 3x ＋ 2x 4 ＝ 6x^2 ＋ 8x 。
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如，（x ＋ 2)（x 3) ＝ x x 3x ＋ 2x 6 ＝ x^2 x 6 。
整式的除法运算主要是单项式除以单项式和多项式除以单项式。
单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
比如 6xy ÷ 2x ＝ 3y 。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
在整式的运算中，还有一个重要的概念——幂的运算。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即 a^m a^n ＝ a^（m ＋ n) 。
1.2 整式
4．如果 a－3b＝－3，那么代数式 5－a＋3b 的值是( D ) A．0 B．2 C．5 D．8
5．如果代数式 4y2－2y＋5 的值为 7，那么代数式 2y2－y＋1 的值等于( A．2 B．3 C．－2 D．4
A )
6．若 m2－n2＝6，且 m－n＝3，则 m＋n＝2.
7．化简：(x＋3) 2－(x－1)(x－2)． 9x＋7
4.(2010·日照中考)由m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得：(a+b)(a2 －ab+b2)=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即(a+b)(a2－ ab+b2)=a3+b3． ① 我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( (A)(x+4y)(x2－4xy+16y2)=x3+64y3 (B)(2x+y)(4x2－2xy+y2)=8x3+y3 (C)(a+1)(a2＋a+1)=a3+1 )
)
(D)②④⑤
(C)③④⑤
【解析】选B.③(a+b)2=a2+2ab+b2，⑤3x2-4x≠-x.
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.xa=4,xb=3,则xa-2b=_____.
【解析】xa-2b=xa÷x2b=xa÷(xb)2=4÷32=
4 答案： 9
4 . 9
7.(2010·青岛中考)如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图
【答案】D
4．(2010· 昆明)下列各式运算中，正确的是( A．(a＋b)2＝a2＋b2 C．a3· a4＝a12 B. －32＝3 3 6 D．( )2＝ 2(a≠0) a a )
2.1整式(1)单项式(教案)
-单项式的乘除运算：学生在进行单项式乘除运算时可能会忘记系数的乘除或指数的相加相减规则。
-难点举例：解决如何将(5x^2y)(-3xy^2)简化为-15x^3y^3，并解释每一步的运算规则。
-合并同类项的误区：学生在合并同类项时可能会忽略系数的正负或字母的指数不同。
本节课将紧扣核心素养目标，注重培养学生的综合能力，使学生在掌握单项式知识的同时，提高数学学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-单项式的定义：理解并掌握由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式，强调字母的指数为非负整数。
-举例：3x^2、-4xy、5a^3b是单项式，而3x+2、4/x不是单项式。
-单项式的系数与次数：识别并区分单项式中的系数与次数，理解它们在单项式运算中的作用。
4.单项式的化简：合并同类项，将含有相同字母且指数相同的单项式进行加减运算。
本节课将围绕以上内容进行讲解与练习，使学生掌握单项式的概念及运算方法，为后续学习多项式的运算打下基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑思维能力：通过单项式的定义、性质及运算方法的学习，使学生能够运用逻辑思维分析问题，形成严密的数学推理能力。
1.讨论主题：学生将围绕“单项式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
整式
整式一、 整式：包含单项式和多项式（分母中不含字母）1、单项式：单项式是数字与字母的积。
单独一个数（包括0）或字母也是单项式；2、单项式的表现形式：①单独一个数；例：-3；6；0；－116 ②单独一个字母；例 ：－a ；b ；t ；－x③数与字母的积；例：3a ；－2y④字母与字母的积；例：－ab ； x 2y ；－mn ；x 2y 6⑤数与多个字母的积；例：2ab ；－3xy ；－5x 2y 6*（单项式的分母中不含字母，分子中不含加减运算。
如：x5；21-x 就不是单项式） 3、单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数4、如何找单项式的系数：单个的数字，考试中不会找系数单独一个字母，系数是1或－1 。
例：－a 系数是－1； b 的系数是1数与字母的乘积，系数就是数字和前面的符号例：-3y 的系数就是－3 ；51m 的系数就是51 2πx 的系数就是2π ;字母与字母积.系数也是1或－1例 －ab 的系数是－1； xy 的系数是1x 2y 的系数是1， －x 2y 6的系数是－1*（当系数是1或－1是通常省略不写）数与多个字母的积的系数就是数字部分例：2ab 的系数是2；－3xy 的系数是－3；－5x 2y 6的系数是－5；－52πmnt 的系数是－52π特别说明：如果是52ab 的系数是52*一般地，单项式中见到数字是多少，系数就是多少，当然包含最前面的符号，最前面的数字的指数也属于系数。
（一竖下去，把字母和数学分开，这一竖的前面数字是多少，系数就是多少；前面没有的就是1，只有“－”的就是－1）*单项式的系数不要写成带分数，要写成假分数，π是常数，作为系数5、单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数6、如何计算单项式的次数：（只认除π以外的字母，与数字的指数无关）例：－5x2y6这个式子字母只有x； y。
x的指数是2 ，y的指数是6，所以这个式子次数是2+6，式子是8次，是8次单项式26mn2s 这个式子的字母是m,n ,s m的指数是1,n的指数是2 ,s的指数是1，所经这个式子的次数1+2+1，式子是4次，是4次单项式，2的指数6与这个式子的次数无关3πx2y这个式子的字母是 x ；y 。
2024年湘教版七年级数学上册 2.3 整式的概念(课件)
感悟新知
知2－练
解：因为多项式 xa+1y2－x3+x2y－1是关于 x， y 的 五次四项式， 所以 a+1+2=5. 所以 a=2. 因为单项式 －8x2y3z的次数为 b， c是最小的正整 数，所以 b=6， c=1. 所以 (a－b) c+1 =(2－6) 1+1=(－4) 2=16．
感悟新知
特别提醒：
知1－讲
(1)当单项式的系数为“1”或“－1”时，“1”通常省略不
写，单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关 .
(2) 确定一个单项式的次数时，① 没有写指数的字母，
实际上其指数是 1，计算时不要将其遗漏；②不要把系数的
指数当成字母的指数一同计算，如 5 2mn4 的次数是1+4=5，
第二章 代数式
2.3 整式的概念
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
单项式 多项式 整式 同类项 合并同类项 降幂(升幂)排列 多项式相等
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 单项式
知1－讲
单项式：由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单 项式 . 其中这个数叫作单项式的系数，所有字母的指数的和 叫作单项式的次数 . 单独一个数也可看作单项式，并约定 一个不为 0 的数其次数为 0.
知2－练
例3 下列多项式分别有哪几项？它们的系数分别是什 么？并指出多项式的次数．
(1)ab－mn－18 π n2；(2)－3xy－x3y2+5y2－6xy2. 解题秘方：利用多项式的项及次数的定义进行辨析 .
整式(单项式)
（2）xy2的系数是0（×）
（3）
1 2
x
2的系数是
1
2（ ×）
（4）-ab2c的次数是2（×）
8、（1）买单价为a元的笔记本m本,付
出20元,应找回_(2_0_-_a_m_)_元.
（2）用字母表示图形中的 3 黑色部分面积是___3_a_-m__2_
m m
a
9.下列式子中哪些是单项式?
xy , 5a, 3 xy2z, a, x y,
第二章 整式的加减
§2.1 整式（1）
青藏铁路创造的世界之最
青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻 土地段。列车在冻土地段的行驶速度是100千米／小时， 在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米小时。
请根据资料回答下面的问题：
列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？
3小时呢？t小时呢？
.解：它2小时行驶的路程是 100×2=200（千米） 3小时行驶的路程是
-t 2
2vt
3
系数
次数
2.用整式填空,指出单项式的次数:
(1)每包书有12册,n包书有( )册;
(2)底边为a,高为h的三角形面积为( );
3. 单项式m2n2的系数_____1__,
次数是___4___, m2n2是___4_次单项式.
4.如果-5xym-1为4次单项式,则m=_4_.
5.若-ax2yb+1是关于x、y的五次单
1．在一个单项式中，所有字母的指 数的和才叫做单项式的次数；
2．单独一个数的次数记为0．
单项式的注意点
1．单独一个数或一个字母也叫单项式． 比如 －2，0，a， l等都是单项式． 2．单独一个非零数的次数是0． 5的次数是0; 00是没意义的. 3．单项式的系数包含符号，当系数为1 或—1时，这个“1”应省略不写． 如：－n.
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整式（单项式）
【一】列式表示数量关系
例1、用含字母的式子填空
〔1〕长方形的宽为3cm，长比宽多a cm，那么长方形的周长
，面积
〔2〕一件寸衫的进价为2a元，售价是3a元，那么每件寸衫的利润为元
〔3〕一批服装原价是每套x元，假设按原价的九折出售，那么每套售价为元
〔4〕一批运动衣服按原价的七五折出售，每套售价y元，那么原价为元
〔5〕某商品原价是a元，先提价10℅后，又降价5%，那么现在的价钱是
〔6〕一条河的水流速度是b千米∕小时，船在静水中的速度是a千米∕小时，那么船在顺水行驶中的速度是，船在逆水行驶中的速度是
变式练习1：〔1〕产量由m千克增长10℅，就达到；产量增长10℅后达到m千克，那么原产量是
〔2〕设字母a表示一个数，列式表示以下关系：
1〕这个数与5的和的3倍
2)这个数与1的差的倒数
3〕这个数的5倍与7的和的一半
4〕这个数的平方与这个数的和
〔3〕某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少10℅，5月份比4月份增加了25℅，那么5月份的产量是
〔4〕三个连续偶数，假设2n表示中间的一个偶数〔其中n为整数〕，那么另外两个偶数
表示为
例2、规律探究题
2345,2,3,4,5,......x x x x x --- 〔第41项〕…… 〔第
102项〕……
(第n 项)
变式练习2：2342,4,8,16,......x x x x -- 〔第6项〕 〔第7项〕……
(第n 项) 【二】单项式
例1、以下各式中单项式有： 例2指出以下单项式的系数及次数
例3写出系数为-2，且含有字母a,b 而不含其它字母的所有次数为5的单项式：
例4、〔1〕假设(2)n m x y +是五次单项式，那么m ,n
(2)假设2
3(1)n n x y +是关于x,y 的次数为4的单项式，求n 得值
〔3〕23
m a x y --是关于x ，y 的单项式，且系数为59
-，次数为4，求式子
1
32
a m +的值
〔4〕12(2)m m a b +-是关于a,b 的五次单项式，求221m m -+
〔5〕3(4)2a x x b --+-是关于x,y 的单项式，求a b -
例5当x=1时，33ax bx ++的值是7，那么当x=-1时，原代数式的值是？ 基础检测
1．以下说法正确的选项是〔 〕．
A 、a 的系数是0
B 、1
y
是一次单项式 C 、－5x 的系数是5 D 、0是单项式
2．以下单项式书写不正确的有〔 〕．
①312a2b ； ②2x1y2； ③－32
x2； ④－1a2B 、
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 3． 〝比a 的32
大1的数〞用式子表示是〔 〕．
A 、32
a+1 B 、23a+1 C 、52a D 、32
a －1 4．以下式子表示不正确的选项是〔 〕． A 、m 与5的积的平方记为5m2 B 、a 、
b 的平方差是a2－b2
C 、比m 除以n 的商小5的数是m n
－5 D 、加上a 等于b 的数是b －a
5．目前，财政部将证券交易印花税税率由原来的1‰〔千分之一〕•提高到3‰．如果税率提高后的某一天的交易额为a 亿元，那么该天的证券交易印花税〔•交易印花税=印花税率×交易额〕比按原税率计算增加了〔 〕亿元．
A 、a ‰
B 、2a ‰
C 、3a ‰
D 、4a ‰
6．为了做一个试管架，在长为a 〔cm 〕〔a>6〕的木板上钻3个小孔〔如图〕，每个小孔的直径为2cm ，那么x 等于〔 〕．
A 、
3
3
6
6
...4
4
4
4
a a a a cm B cm C cm D -+-+cm 7
8．假设x2yn －1是五次单项式，那么n=_______．
9．针对药品市场价格不规范的现象，药监部门对部分药品的价格进行了调整，某药品原价为a 元，经过调整后，药价降低了60%，那么该药品调整后的价格为_______元．
10．某班a 名同学参加植树活动，其中男生b 名〔b<a 〕，假设只由男生完成，•每人需植树15株；假设只由女生完成，那么每人需植树________棵．
11．小明在银行存a元钱，银行的月利率为0.25%，利息税为20%，6个月后小明可得利息________元．
12．某音像公司对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2•天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在出租后第n天〔n>•2，•且为整数〕•应收费_______元．
拓展提高
13．写出所有的含字母a、b、c且系数和次数都是5的单项式．
14．列式表示：
〔1〕某数x的平方的3倍与y的商；〔2〕比m的1
4多20%的数．
15．某种商品进价m元/件．在销售旺季，该商品售价较进价高30%；销售旺季过后，又以7折〔70%〕的价格开展促销活动，这时一件商品的售价是多少元？。