第4章-导热问题的解法
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传热学考研题库【名校考研真题】(导热问题的数值解法)【圣才出品】
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第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
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ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
4/7
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第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
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ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
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第4章-导热问题的数值解法PPT
∴ x = 0.6 × = 0.88 m 4aτ = 0.6 × 4 × 1.38 × 10 − 7 × 45 × 24 × 3600 m
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
v数 值 解 法 ： 有 限 差 分 法 （ finite-difference ） 、 有 限元法（finite-element） 、边界元法（boundaryelement） 、分子动力学模拟（MD）
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
第四章热传导问题的数值解法
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
34
‹# ›
4.2.2 平壁内温度分布的分析解
Q0 cV t0 t
这是该非稳态导热过程所吸收的总热量 从初始时刻起到某一时刻τ的这段时间内，平壁所吸
收的热量为：
Q V c t x, t0 dV
35
‹# ›
4.2.3 Fo数和Bi数对非稳态过程的影响
• 平壁内温度分布表达式中含有Fo数和Bi数，这说明非稳 态导热的物理过程和特征要受到这两个无量纲量的影响 • 传热学中，通常将表示某一物理现象或物理过程特征的 量纲一的量，称为特征数或准则数
22
‹# ›
4.2.2 平壁内温度分布的分析解
• 为了定量计算平壁内的温度场， 需要建立描述平壁内温度分布 的数学模型 • 由于平壁两侧受流体对称加热， 中心面为对称面
23
‹# ›
4.2.2 平壁内温度分布的分析解
• 由于温度场对称，只需研究 厚为δ的半块平壁即可 • 将坐标原点置于平壁中心面， 建立如图所示的坐标系
到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间内可以达到 的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。 ——确定非稳态过程的热流量或热量：确定物体在某一瞬间每一位 置处的热流密度、从某一时刻起经过一段时间后的总传热量。
7
‹# ›
4.1 概述
关键：确定温度场t=f（x,y,z,t） 非稳态导热问题的温度场不仅与空间坐标有关，而且还随 时间τ变化，使物体内任位置处的热流量和热流密度也随 时间变化 非稳态导热问题的分析和研究过程更复杂
37
‹# ›
4.2.3 Fo数和Bi数对非稳态过程的影响
将Fo数的定义式改写为：
Fo a 2 2 a
式中，τ和δ2/a都具有时间的量纲 ——分子τ表示：边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻 为止的时间 ——分母δ2/a表示：热扰动经过一定厚度的固体层传播到 面积δ2上所需要的时间
‹# ›
4.2.2 平壁内温度分布的分析解
Q0 cV t0 t
这是该非稳态导热过程所吸收的总热量 从初始时刻起到某一时刻τ的这段时间内，平壁所吸
收的热量为：
Q V c t x, t0 dV
35
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4.2.3 Fo数和Bi数对非稳态过程的影响
• 平壁内温度分布表达式中含有Fo数和Bi数，这说明非稳 态导热的物理过程和特征要受到这两个无量纲量的影响 • 传热学中，通常将表示某一物理现象或物理过程特征的 量纲一的量，称为特征数或准则数
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4.2.2 平壁内温度分布的分析解
• 为了定量计算平壁内的温度场， 需要建立描述平壁内温度分布 的数学模型 • 由于平壁两侧受流体对称加热， 中心面为对称面
23
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4.2.2 平壁内温度分布的分析解
• 由于温度场对称，只需研究 厚为δ的半块平壁即可 • 将坐标原点置于平壁中心面， 建立如图所示的坐标系
到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间内可以达到 的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。 ——确定非稳态过程的热流量或热量：确定物体在某一瞬间每一位 置处的热流密度、从某一时刻起经过一段时间后的总传热量。
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4.1 概述
关键：确定温度场t=f（x,y,z,t） 非稳态导热问题的温度场不仅与空间坐标有关，而且还随 时间τ变化，使物体内任位置处的热流量和热流密度也随 时间变化 非稳态导热问题的分析和研究过程更复杂
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4.2.3 Fo数和Bi数对非稳态过程的影响
将Fo数的定义式改写为：
Fo a 2 2 a
式中，τ和δ2/a都具有时间的量纲 ——分子τ表示：边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻 为止的时间 ——分母δ2/a表示：热扰动经过一定厚度的固体层传播到 面积δ2上所需要的时间
第四章导热问题(一维导热问题)
Tp TE xe
kP ke fe
q e f ek E
?
合理
k P Tp TE qe fe xe
?
第四章 导热问题———一维稳态导热
实际上
TP Te qe k P ( x ) e
TP TE kP ( x ) e
k P TP TE ( x ) e ( x ) e ( x ) e
源项负线化的方法示例 3 S 4 5TP 例 3：
Sc 4 Sp
*2 5TP
*3 Sc 4 5TP
*3 Sc 4 10TP *2 Sp 15TP
*3 Sc 4 20TP
Sp 0
S p 25T
*2 P
可自 接然 受法
可懒 取汉 法
最切 佳线 法
4.2.1 基本方程与差分方程
d dT (k )S 0 dx dx
(x)w
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
E
a P TP a E TE a W TW b
第四章 导热问题———一维稳态导热 其中，
ke aE ( x ) e
aW kw ( x ) w
dxdt第四章导热问题一维稳态导热第一类边界条件已知第四章导热问题一维稳态导热第二类边界条件给定q第四章导热问题一维稳态导热第三类边界条件给定第四章导热问题一维稳态导热内节点法网格系统边界节点差分方程的通用形式其中第四章导热问题一维稳态导热对第一类边界条件对第二类边界条件对第三类边界条件第四章导热问题一维稳态导热非线性差分方程的线性化424差分方程的求解紧邻边界节点差分方程引入边界条件内节点法外节点法第四章导热问题一维稳态导热对外节点网格系统n个内节点2个边界节点n2个待求温度n个差分方程2个差分方程n2个差分方程第四章导热问题一维稳态导热线性代数方程组非线性代数方程组温度场假定温度场第四章导热问题一维稳态导热1在所有各个网格节点上猜测或估计或假定一个t值2用这些估计的t值去计算差分方程中的所有系数从而差分方程中的所有系数变成了已知量而使差分方程变成了线性方程
kP ke fe
q e f ek E
?
合理
k P Tp TE qe fe xe
?
第四章 导热问题———一维稳态导热
实际上
TP Te qe k P ( x ) e
TP TE kP ( x ) e
k P TP TE ( x ) e ( x ) e ( x ) e
源项负线化的方法示例 3 S 4 5TP 例 3：
Sc 4 Sp
*2 5TP
*3 Sc 4 5TP
*3 Sc 4 10TP *2 Sp 15TP
*3 Sc 4 20TP
Sp 0
S p 25T
*2 P
可自 接然 受法
可懒 取汉 法
最切 佳线 法
4.2.1 基本方程与差分方程
d dT (k )S 0 dx dx
(x)w
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
E
a P TP a E TE a W TW b
第四章 导热问题———一维稳态导热 其中，
ke aE ( x ) e
aW kw ( x ) w
dxdt第四章导热问题一维稳态导热第一类边界条件已知第四章导热问题一维稳态导热第二类边界条件给定q第四章导热问题一维稳态导热第三类边界条件给定第四章导热问题一维稳态导热内节点法网格系统边界节点差分方程的通用形式其中第四章导热问题一维稳态导热对第一类边界条件对第二类边界条件对第三类边界条件第四章导热问题一维稳态导热非线性差分方程的线性化424差分方程的求解紧邻边界节点差分方程引入边界条件内节点法外节点法第四章导热问题一维稳态导热对外节点网格系统n个内节点2个边界节点n2个待求温度n个差分方程2个差分方程n2个差分方程第四章导热问题一维稳态导热线性代数方程组非线性代数方程组温度场假定温度场第四章导热问题一维稳态导热1在所有各个网格节点上猜测或估计或假定一个t值2用这些估计的t值去计算差分方程中的所有系数从而差分方程中的所有系数变成了已知量而使差分方程变成了线性方程
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
第4章-非稳态导热的计算分析
是与物体几何形状
Biv
h( V
A)
1、非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度 随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
❖ 300℃的铁块在冷水中的冷却
x, 0,
cos
1
x
它表明：当Fo>0.2后，虽然θ(x,τ)与θ(0,τ)各自均与τ相关， 但它们的比值却与τ无关而仅取决于平壁的几何位置（x/δ） 和Bi数
这意味着初始条件的影响已经消失，这就是正规状况阶段
❖ 计算正规状况阶段的温度需要根据Bi数确定相应 的特征值，使用时不甚方便
❖ 工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒 (Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由 Campo提出的近似拟合公式
数时，即 τ=τr，
＝e1 0.386 0
0.386 01
τ/τr
τ=4τr，
＝e4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热
0
体已达到热平衡状态
瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
总热量：
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁，、a 为已知常数；=0时温度为 t0;
突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之 间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布 对称。中心为原点。
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
传热学-第4章-热传导问题的数值解珐
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
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③求解。
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二、计算题
1．如图 4-1 所示，一个二维稳态导热物体，其导热系数 为常数，右侧平直边界面与 环境同时发生对流与辐射换热，其表面发射率为 。环境可看作无限大空间，温度为 T 、 边界面的表面传热系数为 h 。试建立数值求解边界节点温度TM ,n 的离散方程。
t(i) m,n1
t(i) m,n1
2tm(i,)n
]
(x)2
(y)2
t (i1) m,n
Fox
(t (i) m1,n
t (i) m1,n
)
Foy
(t (i) m,n1
t (i) m,n
1
)
[1 2(Fox Foy )]tm(i,)n
Fox
a (x)2
5．非稳态导热采用显式格式计算时会出现不稳定性，试述不稳定性的物理含义。如何 防止这种不稳定性？
答：（1）不稳定性的物理含义是指在显式格式离散方程中，后一时刻的温度取决于前 一时刻的温度，同一节点温度前的系数有出现负值的可能性。如果出现负值，就意味着该点 温度在前一时刻温度越高，则后一时刻温度将越低，甚至会出现比周围节点温度还要低的现 象，这违背了热力学第二定律。
3．用高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛的解？不能得出收敛的 解时是否因为初场的假设不合适而造成？
答：（1）高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时不一定能得到收敛的解。 （2）不一定能得到收敛的解其原因不是因为初场的假设不合适，而是由于迭代方式不 合适。
4．什么是显式格式？什么是显式格式计算中的稳定性问题？
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二、计算题
1．如图 4-1 所示，一个二维稳态导热物体，其导热系数 为常数，右侧平直边界面与 环境同时发生对流与辐射换热，其表面发射率为 。环境可看作无限大空间，温度为 T 、 边界面的表面传热系数为 h 。试建立数值求解边界节点温度TM ,n 的离散方程。
t(i) m,n1
t(i) m,n1
2tm(i,)n
]
(x)2
(y)2
t (i1) m,n
Fox
(t (i) m1,n
t (i) m1,n
)
Foy
(t (i) m,n1
t (i) m,n
1
)
[1 2(Fox Foy )]tm(i,)n
Fox
a (x)2
5．非稳态导热采用显式格式计算时会出现不稳定性，试述不稳定性的物理含义。如何 防止这种不稳定性？
答：（1）不稳定性的物理含义是指在显式格式离散方程中，后一时刻的温度取决于前 一时刻的温度，同一节点温度前的系数有出现负值的可能性。如果出现负值，就意味着该点 温度在前一时刻温度越高，则后一时刻温度将越低，甚至会出现比周围节点温度还要低的现 象，这违背了热力学第二定律。
3．用高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛的解？不能得出收敛的 解时是否因为初场的假设不合适而造成？
答：（1）高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时不一定能得到收敛的解。 （2）不一定能得到收敛的解其原因不是因为初场的假设不合适，而是由于迭代方式不 合适。
4．什么是显式格式？什么是显式格式计算中的稳定性问题？
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求解导热问题的三种基本方法： (1)实验法; (2)理论分析法；(3)数值计算法 三种方法的特点 实验法: 是传热学的基本研究方法。
a 适应性不好； b 费用昂贵 分析法:
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数 值计算提供比较依据；b 局限性很大，对复杂的 问题无法求解；c 分析解具有普遍性，各种情况 的影响清晰可见
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括 为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值，该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理 量的数值解。
标号 m ， n 表示。
N
( m,
n)
相邻两节点间的距离 n
称步长。
y
y
x
x
m
M
基本概念：网格线、节点、界面线、步长、
控制容积
N
(m,n)
二维矩形
域内稳态
n
无内热源，
常物性的
导热问题 y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）
节点上物理量的代数方程称离散方程。 • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，
有：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
（4） 设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭
代解法，传热问题的有限差分法中主要采用 迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温 度场预先设定一个解，这个解称为初场，并 在求解过程中不断改进。
第4章 导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立 §4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 §4-4 非稳态导热问题的数值解法
1 、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立 节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。
（5）求解代数方程组
本例中除 m=1 的左边界上
各节点的温度已知外，其余 N
( m,
n)
(M-1)N 个节点均需建立离散 n
方程，共有 (M-1)N 个方程， y
则构成一个封闭的代数方程 y
组。
x
x
m
M
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不再变化；
1!
2!
n!
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
tm1,n
tm,n
x
t x
m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
3t x3
m,n
x4 24
4t x4
L
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的 温度tm-1,n
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm,n
1 4
(tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1)
一阶ห้องสมุดไป่ตู้
4.2.2热平衡法 (控制容积平衡法)
分析解法与数值解法的异同点：
• 相同点：根本目的是相同的，即确定： ① t=f(x,y,z) ； ②热流量。
• 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标 系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解 法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散 点的数值。
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 基本思想
（1）建立控制方程及定解条件
控制方程（即导热微分方程） y h3t f
2t 2t 0
t0
x2 y2
h1t f
h2t f
x
（2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域
划分成若干个子区域，用网格线的交点作为
需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结
点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的
因此，对于数值分析计算所得的温度场及其 它物理量应作详细分析，以获得定性或定量 上的结论。
4.2 内节点离散方程的建立方法
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 控制容积平衡法(热平衡法)
4.2.1 泰勒级数展开法
f (x x) f (x) f (x) x f (x) x2 L f (n) (x) xn L
4.1.2 物理问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
2 例题条件
以二维矩形域内稳态、无内热
y
源、常物性的导热问题为例
h3t f
t0
h2t f
h1t f
x
（a）
二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问 题采用数值解法的步骤：
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 L m,n
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n
x2
2t x2
x4 4t 12 x4 L
m,n
将上式改写成 2t 的表达式，有
x2 m,n
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
数值计算法 有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近 似方法。在很大程度上弥补了分析法的缺点，适 应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低。
数值解法： 有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-lement） 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）
x2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
2t y 2
0
得
tm1,n
2tm,n x2
tm1,n
tm,n1
2tm,n y2
tm,n1
0
若 △x=△y 则有
2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不断更新。 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是 否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计 算所得之解的偏差是否小于允许值。
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布， 根据温度场应进一步计算通过的热流量，热 应力及热变形等。