中级宏观经济学：无限期界与代际交叠模型

(5 28)
C2t 1 1 rt 1 （5-29） C1 1 t

C2t 1 1 rt 1 （5-30） C1t 1
1/
这个条件与预算约束描述了家庭中个人的行为。式(5-30)与拉 姆齐模型中的欧拉方程类似，它意味着个人消费是否随着时间的变 化递增或递减---这取决于实际报酬大于还是小于贴现率【即权重】。 公式中的θ决定了个人如何对r和ρ之间的差异作出反应，这种反 应直接造成了消费行为的变化。
第三节 代际交叠中的两期寿命
戴蒙德模型的设计（续）
设C1t与C2t代表年轻与年老两代人在t时期的消费。这样，在t 时期出生的人的效用依存于C1t与C2t+1【指t+1时期年老者的消费，不是2乘以t+1】。 再次假设不变相对风险厌恶效用函数为：
1 1 C1 C 1 2t 1 Ut t （5-25） 1 1 1
戴蒙德模型的设定（续）
对厂商来说，生产的假设与前面相同。一个社会中存在着众多 厂商，每个厂商具有生产函数Yt=F(Kt,AtLt)。F(•)具有不变的规模 报酬并满足稻田(Inada)条件，并且A再次以外生速率g增长。市场是 竞争性的，因此劳动与资本可获得其边际产出，厂商获得零利润。 不存在折旧。真实利率与每单位有效劳动的工资由rt f ' kt 和 wt f kt kt f ' kt 确定。最后，存在一些初始的资本存量k0，它们由 一切老年个人均等地持有。 在初始时期内，由老年人拥有的资本与年轻人供给的劳动被结 合起来生产产出。老年人消费其资本收入与现存财富，然后他们在 模型中消失。年轻人则把他们的劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。 他们把其储蓄带入下一时期，因此在t+1时期内资本存量Kt+1等于t时 期年轻人的数量Lt乘以这些个人的储蓄wtAt- C1t。这种资本与下一代 的年轻人供给的劳动相结合，这个过程不断延续。
第三节 代际交叠中的两期寿命
方式二：拉格朗日函数
构造拉格朗日函数去求解这个的最大化问题：
1 1 C1 1 C2 1 t t 1 = wt At C1t C2t 1 （5-31） 1 1 1 1 rt 1
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。设
ΔC趋于零，变动的边际成本就趋于 Ct C ，并且效用收益接近
。当个人正在进行最优化时，它们是相等的。因此， C t ( rt ) C
最优化要求：
1 C2 t 1 (1 rt 1 ) C 1 两边同时消去ΔC可得：
C1 t C
第三节 代际交叠中的两期寿命
方式一：欧拉方程
由于戴蒙德模型是关于离散时间的，因此欧拉方程的推导较之 拉姆齐模型更为容易。设想如果个人将消费C1t减少了较小的数量ΔC，
接着利用新增的储蓄与资本收入把C2t+1提高了(1+rt+1)ΔC。这种改变
并不影响个人终生消费流的现值【即新增部分的贴现值等于当前减少值】。因此，
1 C1t C2t 1 wt At （5-27） 1 rt 1
这个条件表明，终生消费的现值等于其初始财富(为零)加上终 生劳动收入的现值(即wtAt)【模型开始时刻有初始财富，以使老年者有消费能力(更符合 实际)，其后任意时刻t没有初始财富，老年者的消费能力来自自己年轻时的储蓄】。 在式(5-27)的预算约束下，个人按式(5-25)最大化其效用。求 解这个最大化问题有两种方式：第一种方式是沿用拉姆齐模型中的 欧拉方程式进行推导。第二种方式是构造拉格朗日函数求解最大化 问题。
如果个人正在进行最优化，效用成本与变动的收益必定是相等的。如
果成本小于收益，个人会通过作出改变而增加其终生效用；如果成本 大于收益，个人则通过作出相反的改变而增加效用。
第三节 代际交叠中的两期寿命
方式一：欧拉方程（续）
t
C1t与C2t+1对终生效用的边际贡献分别是 C 与
C t
第三节 代际交叠中的两期寿命
家庭行为
根据上述假设，可以分析戴蒙德模型中的家庭行为。可知 在t时刻出生的人的第二期消费如下列公式所示：
C2t 1 1 rt 1 wt At C1t （5-26）
当上式的两边同时除以(1+rt+1)并把C1t移到左边，可以得到 如下的预算约束：
无限期界与代际交叠模型
第一节 拉姆齐问题 第二节 拉姆齐模型的动态分析 第三节 代际交叠中的两期寿命 第四节 戴蒙德模型的动态分析
第三节 代际交叠中的两期寿命
戴蒙德模型的设计
戴蒙德模型也称为代际交叠模型，它与拉姆齐模型一起被称为是 以微观为基础的两个宏观经济学基本模型。这是戴蒙德(Damond， 1965)在阿莱(Allais，1947)和萨缪尔森(Sanuelson，1958)早期研究 成果基础上建立的。戴蒙德模型与拉姆齐-卡斯-库普曼模型之间的主 要差异是存在着人口的新老交替，而不是一个数量固定的永久性生存 的家庭【他们的效用函数也是相同的】。在这一模型中，新的人口不断出生，老 的人口不断消亡。 为了简化分析，模型假设每个人只活两期，即年轻期与老年期。 Lt代表t时期出生的人。如果人口以速率n增长，则Lt＝(1+n)Lt-1 。由 于个人只生活两个时期，因此在t时期，存在Lt个正处在他们生命第 一时期的个人，并且存在 Lt 1 Lt 个正处在其生命的第二时期 1 n 的个人。每个人在其年轻时供给一单位的劳动，并且将所得到的劳动 收入在第一期的消费与储蓄之间进行分配。在第二时期，个人只是简 单地消费其获得的储蓄与利息。
这个函数是为了平衡增长所需要的。由于生命是有限的，不再
假设ρ>n+(1-θ)g以确保终生效用不再发散。ρ代表权重【分析上的意
义相当于贴现率】，如果ρ>0，则个人给第一时期的权重大于第二消费
时期，如果ρ<0，则情形相反。同时需要假设ρ>-1 ，以确保第二
消费时期的权数为正。
第三节 代际交叠中的两期寿命