复变函数笔记
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1 是比如我们取点(0, 1)和(x, sin x ), ∀x = 0， 我们无法用一个有限长度的、 处处可微分的曲线将这两 1 点连起来，因为sin x 在x = 0处不连续。因此点集E 不是道路连通的。
单 连 通： 如 果 对 于 区 域D中 的 任 意 简 单 闭 曲 线L， 都 存 在D中 的 有 界 区 域D， 使 得L = ∂ D， 则 区 域D是单连通的。简单的例子是：圆环{z |r < |z | < R}就不是单连通的，因为没法找到一个圆环使得 一条闭曲线既是它内半径的边界又是它外半径的边界。
wk
2
−
k ≤j
∗ ∗ z k wj − Biblioteka Baidu j wk
2
进而推出Cauchy不等式：
n 2 n n
z k wk
k=1
≤
k=1
zk
2 k=1
wk
2
提示：可以用数学归纳法进行证明，也可以直接展开。
3
4. 利用Euler公式证明Lagrante三角恒等式： 1 + cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ = )θ] 1 sin[(n + 1 2 + θ 2 2 sin 2
• 紧集（compact set） 我们有一个Bolzano-Weierstrass定理：有界的序列必存在一个子序列，这个 子序列收敛。这个定理对于C如何改进呢？我们先定义覆盖的概念： 覆盖(open cover)： 有一些 （可以是无限个） 开集Uα , α = 1, 2, 3 . . . ， 如果一个集合K 满足K ⊂
复变函数导数的意义
对一个解析函数， 它一定是可微的。 所以在某一点x0 极近的附近， 有： |f (z ) − f (z0 )| = |f (z0 )||z − z0 |.解析函数把定义域内的一个小邻域（圆盘）{z ||z − z0 | < r}映成了复平面内的一个大圆盘{z ||z − z0 | < |f (z0 )|r}。所以映射f (z )对应区域面积之比为|f (z0 )|2 ，这肯定是这个函数的Jacobi行列式。 （其实就是个 变换，联想二重积分中坐标变换也是个映射，而那里的面积比率也是变换的Jacobi行列式） Theorem 2.4. 设f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )在区域D上解析，z0 = x0 + iy0 ∈ D，则|f (z0 )|2 是映射(x, y ) → (u(x, y ), v (x, y ))在(x0 , y0 )处的Jacobi行列式。 Proof: 由Jacobi行列式的定义，
复数运算习题
1. 证明：|Re(z )| ≤ |z |, |Im(z )| ≤ |z |. 2. 证明三角不等式 ||z | − |z || ≤ |z + z | ≤ |z | + |z |. 提示：使用上题结论。 3. 证明Lagrange恒等式：
n 2 n n n
z k wk
k=1
=
k=1
zk
2 k=1
复变函数笔记
李嘉轩
1 复数与复数域上的拓扑
• 关于开集和闭集： 1) 空集∅是开集也是闭集，C既是开集也是闭集。 2) 若干闭集的交集是闭集，若干闭集的并集是闭集。 3) 若干开集的交集是开集，若干开集的并集是开集。 • 设f : C → C是一个复变函数，那么下列命题等价： i. f 是连续函数。 ii. 闭集的原像是闭集。 iii. 开集的原像是开集。 • 一个集合A ⊂ C， A的一个子集B如果满足B = A ∩ U ， 其中U是一个开集， 那么称B是相对于A开 的；如果A的一个子集B满足B = A ∩ F ，其中F是一个闭集，那么称B是相对于A闭的。 • 道路连通与连通： 我们在直观上看C上的两个点集时，对于连通这个意思有两种理解。正面的理解是： “这个集合中的 任意两个点都可以被一条线给连起来” ， 反面的理解是： “这个集合不能被直观的看成两部分” 。由 此我们有了如下概念： 道路连通(path-connected)：一个集合C中的任意两个点a, b之间可以用一条折线连接起来，且这条 折线的每个点都属于集合C。即对于集合C中的任意两个点a, b，有一个连续映射γ : [0, 1] → C, γ (0) = a, γ (1) = b. 对于另一个定义，一个集合C ⊂ C，若存在开集U, V 并满足下列条件，则称C 连通(connected)的： 1) C ⊂ U ∪ V 2) C ∩ U = ∅ and C ∩ V = ∅ 3) U ∩ V = ∅ 即连通集C 不能用两个不相交非空开集将其一分为二。 ♣ Proposition 1：一个道路连通的集合（无论是开集还是闭集）一定是连通的。 一个连通的集合不一定是道路连通的，但这句话对于开集是成立的。事实上，连通的开集中道路还 有性质。 ♣ Proposition 2：一个连通的开集一定是道路连通的，且连接任意两个点的道路γ 都是可微的。道 路γ 可微的意思是γ 的两个x分量函数与y 分量函数都是可微的。 可见，连通的开集的性质是如此好。对于连通的开集，连通和道路连通画上了等号，而且道路还是 可微的。所以我们把连通的开集叫做区域(region). 1
α
Uα ，我们就称Uα 是K 的一个开覆盖，简称覆盖。
有时候，大量的覆盖有些浪费，我们可以精简一些，试图用少一点的面积去覆盖一个东西，引出子 覆盖： 子 覆 盖(subcover)： 在 覆 盖Uα 中 挑 选 一个 指 标 集A = α1 , α2 , . . . , αn ， 使 得K ⊂ 称UA 是K 的一个子覆盖。如果A是有限的，称为有限子覆盖。 紧集（compact set） ：如果集合K 的任意一个开覆盖都存在有限的子覆盖，那么K 是紧集。也就是 说，如果找到一个覆盖，这个覆盖没有有限的子覆盖，那么这个集合肯定不是紧集。
A
Uαi ， 我 们 就
♣ Proposition 4：K ⊂ C，下列命题循环等价： i. K 是有界闭区域。 ii. K 中的任何一个序列（点构成的序列）都有收敛的子序列，且收敛在K 中的点上。 iii. K 是个紧集。
2
有几个例子很不错。如果K 不是有界的，我们可以取一个序列，|z1 | = 1, |z2 | > |z1 | + 1, . . . , |zn | > |zn−1 | + 1，这个序列就没有收敛的子序列，而且我们不妨取覆盖为D(0; n), n = 1, 2, 3 . . . ，这个覆 盖也没有有限子覆盖。 如果K 不是个闭集， 我们可以取序列z1 , z2 , . . . 收敛于点w ∈ \K ， 我们取覆 盖{z | |z − w| > 1/n, n = 1, 2, 3 . . . }，这个覆盖也没有有限子覆盖。 ♣ Proposition 5：K 是一个紧集，连续函数f 定义在K 上，那么f (K )也是紧集。即f 把紧集映为紧 集。 ♣ 最值定理：K 是一个紧集，连续函数f 定义在K 上，则f 有界，并且|f |在K 上达到最大最小值。 （因 为f (K )是紧集，也就是有限闭区域） • Cauchy序列： C is R2 with extra structure of complex multiplication. Cauchy序列：如果一个实序 列{xi }对于任意的 > 0，存在一个N，使得于有 |xn − xm | < ，其中n N 同时 m N ，我们称这 个序列为Cauchy序列。在实数域R上，每个Cauchy序列必收敛，这等价于实数域的完备性。 普通的连续性是针对一个点的领域而言的，是一个局部性质。如果函数f 在点x0 处连续，则f 在x0 附 近肯定是有界的。即使f 处处连续，但无法保证f 在整个区间有界（当然在闭区间上连续函数肯定是 有界的） 。所以我们要发明一个全局性的连续概念，我们叫它一致连续。 一致连续 （uniformly continuous） ： 函数f : A → C一致连续， 如果∀ > 0, ∃δ > 0, s.t. |f (s) − f (t)| < f or ∀s, t ∈ A, and |s − t| < δ .一致连续是一个δ 对区域里所有位置都适用，所以把连续性 提升为全局性质。 ♣ Proposition 6：定义在紧集上的连续函数是一致连续的。 Proof: 设f 是 定 义 在 紧 集K 上 的 连 续 函 数， 设 > 0. 对 于K上 的 每 一 点t， 只 要|s − t| < δ (t)， 都 存在一个δ (t)使得|f (t) − f (s)| < /2. 而K的一个覆盖为D(t; δ (t)/2)， 根据K的紧性， 存在有限个 数t1 , t2 , . . . , tN ， 使得Dk = D(tk ; δ (tk )/2)覆盖了K。 设δk = δ (tk )/2, δ = min{δ1 , δ2 , . . . , δN }. 如 果|s − t| < δ ， 那 么t肯 定 在 某 个 圆 盘Dk 中， 所 以|t − tk | < δk . 因 此|f (t) − f (tk ) < /2. 同 时， |s − tk | = |s − t + t − tk | ≤ |s − t| + |t − tk | ≤ δ + δk ≤ δ (tk )， 所以同样的有|f (s) − f (tk )| ≤ /2. |f (s) − f (t)| = |f (s) − f (tk ) + f (tk ) − f (t)| ≤ |f (s) − f (tk )| + |f (tk ) − f (t)| < /2 + /2 = . 我们已 经对于一个δ 证明了结论，所以f 在整个K上一致连续。
1 练习：说明点集E = {iy | |y | ≤ 1} ∪ {x + isin x | 0 < x ≤ 1}是连通但不道路连通的
注意：
Solution: 这就是表情“吓得我都震荡了”的那个图。只不过这里补充定义了x = 0时，取y 轴的一段 作为点集的一部分。 显然我们无法用两个不相交的开集把这个图分为两部分， 所以E 是连通的。 但
2 解析函数
我们先列出几个定理。请自己给出证明。 Theorem 2.1. 设f (z )是区域D上的实值函数，则f (z )在D上解析的充分必要条件是f (z )在D上恒为常数。 Definition 1. 设u(x, y )是区域D上给定的一个调和函数，D上的调和函数v (x, y )如果与u(x, y )满足C-R方 程，则称v (x, y )是u(x, y )的共轭调和函数。这时f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )就是D上的解析函数。 Theorem 2.2. 设D是C中的单连通区域，则D上任意的调和函数u(x, y )必存在共轭调和函数v (x, y )，且v (x, y )可 以由u(x, y )唯一决定，只不过相差一个常数。 注意： 这里D是C中 的 单 连 通 区 域 的条件是必要的。 如u(x, y ) = ln(x2 + y 2 )， 它是C\{0}上的调和函数， 但它没有共轭调和函数，因为lnz 具有多值性。 注意： 对于∀x0 ∈ D， 总存在一个邻域D0 ⊂ D ， 这个邻域是单连通的， 也就一定有对应的共轭调和函 数v (x, y )。所以说调和函数局部总是一个解析函数的实部。 Lemma 2.1. 由于(x, y ), (z, z ∗ )都是相互独立的量，所以偏导符号之间有一些关系： ∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ = ( − i ), = ( +i ) ∗ ∂z 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y 因此对于Laplace算子有： ∇2 = 4 用以上的一些结论可以得到： Theorem 2.3 (Cauchy-Riemann Equation). 设f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )，其中u(x, y ), v (x, y ) ∈ C ∞ 都定 义在区域D上，则f (z )在区域D上解析的充要条件是 ∂f (z ) =0 (1) ∂z ∗ 这个定理说明了如果f (z )在区域D上解析，则它的表达式一定与z ∗ 无关，也就是不显含z ∗ 。因此我们 可以让z ∗ 取一些简单的值，然后得到f (z )的表达式（具体见课本） 。 ∂2 ∂z∂z ∗
♣ Proposition 3： 如果f 是一个定义在连通集合C 上的一个连续函数， 那么像集f (C )也是连通的。 这说明了连续函数把连通的集合映为连通的集合。 至此，我们发现连续函数把连通的映为连通的；开集的原像是开集，闭集的原像是闭集。 Proposition 3的逆命题不成立！ 一个连续函数的像是连通的，并不意味着定义域是连通的！
单 连 通： 如 果 对 于 区 域D中 的 任 意 简 单 闭 曲 线L， 都 存 在D中 的 有 界 区 域D， 使 得L = ∂ D， 则 区 域D是单连通的。简单的例子是：圆环{z |r < |z | < R}就不是单连通的，因为没法找到一个圆环使得 一条闭曲线既是它内半径的边界又是它外半径的边界。
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−
k ≤j
∗ ∗ z k wj − Biblioteka Baidu j wk
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进而推出Cauchy不等式：
n 2 n n
z k wk
k=1
≤
k=1
zk
2 k=1
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提示：可以用数学归纳法进行证明，也可以直接展开。
3
4. 利用Euler公式证明Lagrante三角恒等式： 1 + cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ = )θ] 1 sin[(n + 1 2 + θ 2 2 sin 2
• 紧集（compact set） 我们有一个Bolzano-Weierstrass定理：有界的序列必存在一个子序列，这个 子序列收敛。这个定理对于C如何改进呢？我们先定义覆盖的概念： 覆盖(open cover)： 有一些 （可以是无限个） 开集Uα , α = 1, 2, 3 . . . ， 如果一个集合K 满足K ⊂
复变函数导数的意义
对一个解析函数， 它一定是可微的。 所以在某一点x0 极近的附近， 有： |f (z ) − f (z0 )| = |f (z0 )||z − z0 |.解析函数把定义域内的一个小邻域（圆盘）{z ||z − z0 | < r}映成了复平面内的一个大圆盘{z ||z − z0 | < |f (z0 )|r}。所以映射f (z )对应区域面积之比为|f (z0 )|2 ，这肯定是这个函数的Jacobi行列式。 （其实就是个 变换，联想二重积分中坐标变换也是个映射，而那里的面积比率也是变换的Jacobi行列式） Theorem 2.4. 设f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )在区域D上解析，z0 = x0 + iy0 ∈ D，则|f (z0 )|2 是映射(x, y ) → (u(x, y ), v (x, y ))在(x0 , y0 )处的Jacobi行列式。 Proof: 由Jacobi行列式的定义，
复数运算习题
1. 证明：|Re(z )| ≤ |z |, |Im(z )| ≤ |z |. 2. 证明三角不等式 ||z | − |z || ≤ |z + z | ≤ |z | + |z |. 提示：使用上题结论。 3. 证明Lagrange恒等式：
n 2 n n n
z k wk
k=1
=
k=1
zk
2 k=1
复变函数笔记
李嘉轩
1 复数与复数域上的拓扑
• 关于开集和闭集： 1) 空集∅是开集也是闭集，C既是开集也是闭集。 2) 若干闭集的交集是闭集，若干闭集的并集是闭集。 3) 若干开集的交集是开集，若干开集的并集是开集。 • 设f : C → C是一个复变函数，那么下列命题等价： i. f 是连续函数。 ii. 闭集的原像是闭集。 iii. 开集的原像是开集。 • 一个集合A ⊂ C， A的一个子集B如果满足B = A ∩ U ， 其中U是一个开集， 那么称B是相对于A开 的；如果A的一个子集B满足B = A ∩ F ，其中F是一个闭集，那么称B是相对于A闭的。 • 道路连通与连通： 我们在直观上看C上的两个点集时，对于连通这个意思有两种理解。正面的理解是： “这个集合中的 任意两个点都可以被一条线给连起来” ， 反面的理解是： “这个集合不能被直观的看成两部分” 。由 此我们有了如下概念： 道路连通(path-connected)：一个集合C中的任意两个点a, b之间可以用一条折线连接起来，且这条 折线的每个点都属于集合C。即对于集合C中的任意两个点a, b，有一个连续映射γ : [0, 1] → C, γ (0) = a, γ (1) = b. 对于另一个定义，一个集合C ⊂ C，若存在开集U, V 并满足下列条件，则称C 连通(connected)的： 1) C ⊂ U ∪ V 2) C ∩ U = ∅ and C ∩ V = ∅ 3) U ∩ V = ∅ 即连通集C 不能用两个不相交非空开集将其一分为二。 ♣ Proposition 1：一个道路连通的集合（无论是开集还是闭集）一定是连通的。 一个连通的集合不一定是道路连通的，但这句话对于开集是成立的。事实上，连通的开集中道路还 有性质。 ♣ Proposition 2：一个连通的开集一定是道路连通的，且连接任意两个点的道路γ 都是可微的。道 路γ 可微的意思是γ 的两个x分量函数与y 分量函数都是可微的。 可见，连通的开集的性质是如此好。对于连通的开集，连通和道路连通画上了等号，而且道路还是 可微的。所以我们把连通的开集叫做区域(region). 1
α
Uα ，我们就称Uα 是K 的一个开覆盖，简称覆盖。
有时候，大量的覆盖有些浪费，我们可以精简一些，试图用少一点的面积去覆盖一个东西，引出子 覆盖： 子 覆 盖(subcover)： 在 覆 盖Uα 中 挑 选 一个 指 标 集A = α1 , α2 , . . . , αn ， 使 得K ⊂ 称UA 是K 的一个子覆盖。如果A是有限的，称为有限子覆盖。 紧集（compact set） ：如果集合K 的任意一个开覆盖都存在有限的子覆盖，那么K 是紧集。也就是 说，如果找到一个覆盖，这个覆盖没有有限的子覆盖，那么这个集合肯定不是紧集。
A
Uαi ， 我 们 就
♣ Proposition 4：K ⊂ C，下列命题循环等价： i. K 是有界闭区域。 ii. K 中的任何一个序列（点构成的序列）都有收敛的子序列，且收敛在K 中的点上。 iii. K 是个紧集。
2
有几个例子很不错。如果K 不是有界的，我们可以取一个序列，|z1 | = 1, |z2 | > |z1 | + 1, . . . , |zn | > |zn−1 | + 1，这个序列就没有收敛的子序列，而且我们不妨取覆盖为D(0; n), n = 1, 2, 3 . . . ，这个覆 盖也没有有限子覆盖。 如果K 不是个闭集， 我们可以取序列z1 , z2 , . . . 收敛于点w ∈ \K ， 我们取覆 盖{z | |z − w| > 1/n, n = 1, 2, 3 . . . }，这个覆盖也没有有限子覆盖。 ♣ Proposition 5：K 是一个紧集，连续函数f 定义在K 上，那么f (K )也是紧集。即f 把紧集映为紧 集。 ♣ 最值定理：K 是一个紧集，连续函数f 定义在K 上，则f 有界，并且|f |在K 上达到最大最小值。 （因 为f (K )是紧集，也就是有限闭区域） • Cauchy序列： C is R2 with extra structure of complex multiplication. Cauchy序列：如果一个实序 列{xi }对于任意的 > 0，存在一个N，使得于有 |xn − xm | < ，其中n N 同时 m N ，我们称这 个序列为Cauchy序列。在实数域R上，每个Cauchy序列必收敛，这等价于实数域的完备性。 普通的连续性是针对一个点的领域而言的，是一个局部性质。如果函数f 在点x0 处连续，则f 在x0 附 近肯定是有界的。即使f 处处连续，但无法保证f 在整个区间有界（当然在闭区间上连续函数肯定是 有界的） 。所以我们要发明一个全局性的连续概念，我们叫它一致连续。 一致连续 （uniformly continuous） ： 函数f : A → C一致连续， 如果∀ > 0, ∃δ > 0, s.t. |f (s) − f (t)| < f or ∀s, t ∈ A, and |s − t| < δ .一致连续是一个δ 对区域里所有位置都适用，所以把连续性 提升为全局性质。 ♣ Proposition 6：定义在紧集上的连续函数是一致连续的。 Proof: 设f 是 定 义 在 紧 集K 上 的 连 续 函 数， 设 > 0. 对 于K上 的 每 一 点t， 只 要|s − t| < δ (t)， 都 存在一个δ (t)使得|f (t) − f (s)| < /2. 而K的一个覆盖为D(t; δ (t)/2)， 根据K的紧性， 存在有限个 数t1 , t2 , . . . , tN ， 使得Dk = D(tk ; δ (tk )/2)覆盖了K。 设δk = δ (tk )/2, δ = min{δ1 , δ2 , . . . , δN }. 如 果|s − t| < δ ， 那 么t肯 定 在 某 个 圆 盘Dk 中， 所 以|t − tk | < δk . 因 此|f (t) − f (tk ) < /2. 同 时， |s − tk | = |s − t + t − tk | ≤ |s − t| + |t − tk | ≤ δ + δk ≤ δ (tk )， 所以同样的有|f (s) − f (tk )| ≤ /2. |f (s) − f (t)| = |f (s) − f (tk ) + f (tk ) − f (t)| ≤ |f (s) − f (tk )| + |f (tk ) − f (t)| < /2 + /2 = . 我们已 经对于一个δ 证明了结论，所以f 在整个K上一致连续。
1 练习：说明点集E = {iy | |y | ≤ 1} ∪ {x + isin x | 0 < x ≤ 1}是连通但不道路连通的
注意：
Solution: 这就是表情“吓得我都震荡了”的那个图。只不过这里补充定义了x = 0时，取y 轴的一段 作为点集的一部分。 显然我们无法用两个不相交的开集把这个图分为两部分， 所以E 是连通的。 但
2 解析函数
我们先列出几个定理。请自己给出证明。 Theorem 2.1. 设f (z )是区域D上的实值函数，则f (z )在D上解析的充分必要条件是f (z )在D上恒为常数。 Definition 1. 设u(x, y )是区域D上给定的一个调和函数，D上的调和函数v (x, y )如果与u(x, y )满足C-R方 程，则称v (x, y )是u(x, y )的共轭调和函数。这时f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )就是D上的解析函数。 Theorem 2.2. 设D是C中的单连通区域，则D上任意的调和函数u(x, y )必存在共轭调和函数v (x, y )，且v (x, y )可 以由u(x, y )唯一决定，只不过相差一个常数。 注意： 这里D是C中 的 单 连 通 区 域 的条件是必要的。 如u(x, y ) = ln(x2 + y 2 )， 它是C\{0}上的调和函数， 但它没有共轭调和函数，因为lnz 具有多值性。 注意： 对于∀x0 ∈ D， 总存在一个邻域D0 ⊂ D ， 这个邻域是单连通的， 也就一定有对应的共轭调和函 数v (x, y )。所以说调和函数局部总是一个解析函数的实部。 Lemma 2.1. 由于(x, y ), (z, z ∗ )都是相互独立的量，所以偏导符号之间有一些关系： ∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ = ( − i ), = ( +i ) ∗ ∂z 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y 因此对于Laplace算子有： ∇2 = 4 用以上的一些结论可以得到： Theorem 2.3 (Cauchy-Riemann Equation). 设f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )，其中u(x, y ), v (x, y ) ∈ C ∞ 都定 义在区域D上，则f (z )在区域D上解析的充要条件是 ∂f (z ) =0 (1) ∂z ∗ 这个定理说明了如果f (z )在区域D上解析，则它的表达式一定与z ∗ 无关，也就是不显含z ∗ 。因此我们 可以让z ∗ 取一些简单的值，然后得到f (z )的表达式（具体见课本） 。 ∂2 ∂z∂z ∗
♣ Proposition 3： 如果f 是一个定义在连通集合C 上的一个连续函数， 那么像集f (C )也是连通的。 这说明了连续函数把连通的集合映为连通的集合。 至此，我们发现连续函数把连通的映为连通的；开集的原像是开集，闭集的原像是闭集。 Proposition 3的逆命题不成立！ 一个连续函数的像是连通的，并不意味着定义域是连通的！