第七章：平行线的证明
第七章： 平行线的证明 7.1 为什么要证明
要点梳理：
1、实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不准确，因此要判定一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 .
2、检验数学结论是否正确，常用的方法有： 、 、 .
随堂练习
1.下列说法正确的是( )．
A ．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B . 推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系
C ．对于自然数n ，32
++n n 一定是质数
D ．有10个人定了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2 2、如果线段a 与线段b 垂直，那么线段a 与b （ ）
A . 一定相交
B . 一定不相交
C . 可能相交也可能不相交
D .必在同一平面内
3、当n =1,2,3,4时代数式22)55(+-n n 的值都是1，因此得出结论：对于所有非零自然数n ，
代数式22)55(+-n n 的值恒等于1，请判断这一结论是 的（填“正确”或“不正确”）.
4、先观察，再验证：
(1)如图①，两条线段a 与b 哪一条更长? (2)如图②，两个圆哪个更大?
同步作业
一、精心选一选，你一定会开心
1、一根单线从纽扣的4个孔中穿过(每个孔只穿过一次)，其正面情况如右
图所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是 ( )
2、如下图，在可以比较∠A、∠B大小方法中，正确的有 ( )．
①用量角器测出∠A、∠B的大小，并进行比较；
②只要顶点A,B重合即可比较；
的位置来比较；
③将顶点A,B重合，AN与BQ重合，看BP落在NAM
④用直尺测出∠A、∠B两边的长短，即可比较.
A．1种B．2种C．3种D．4种
3、有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且
（1）红箱子上写着：“苹果在这个箱子里.”
（2）黄箱子上写着：“苹果不在这个箱子里.”
（3）蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里.”
已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，则苹果应在（）
A．红箱子B．黄箱子C．蓝箱子D．不能确定
4.来如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的平面图形一定是（）
A、正三角形
B、正方形
C、正五边形
D、正六边形
二、精心填一填，你一定会去轻松
5、观察下图：
图l中的两图中间的线段你认为一样长吗？用直尺量一量，结果是 . 图2中你感觉两图中间的圆一样大吗？量一量，结果是 .
做完这两个观察实验，你有什么体会？ .
6.观察下列等式9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为.
7、如图，物体从A点出发，按照A→B（第一步）C→D→A→E→F→G→A→B…
的顺序循环运动，则第2015步的到达点处．
8．下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成．依此规律，第5个图案中小正方形的个数为__________．
三、精心做一做，你一定会成功
9、先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？ （2）图（2）中两条线a 与b 哪一条更长？ （3）图（3）中的直线AB 与直线CD 平行吗？
10．小明在计算代数式2n -n +11的值时，分别把n =1,2,3,4,5,6代入，求出它们的值，小明发现，这些值全是质数（除了1和本身外，没有其它约数的正整数称为质数），于是小明判断，不任n 取任何自然数，代数式2n -n +11一定是质数，你认为小明的判断正确吗？为什么？
11． 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？
（1）
（2）
（3）
12. 学校数学兴趣小组的同学正在研究“22b a +与ab 2的关系”，他们已经验证
了下列式子都是成立的：
2221+＞2×1×2，2232+＞2×2×3,2243+＞2×3×4，部分同学还在继续验算下去，这时小明同学说：不用算了，这两个式子的关系式“22b a +＞ab 2”，你同意小明同学的看法吗?为什么？
三、更上一层楼，你一定有勇气
13．某篮球队有1号、3号、4号、6号、9号、10号、11号和12
号8名主力队员，在长期的训练比赛中，教练对这几位队员之间的最佳配合总结出以下几条：
（1）要是4号上场，6号也要上场； （2）只要1号不上场，则6号上场； （3）要么3号上场，要么6号上场；
（4）若9号和12号上场，则4号也必须上场．
现在需要1号和12号同时上场，请你判断9号是否必须上场？上场的是哪些队员？
参考答案
要点梳理：1、 证明.2、 实验验证，举出反例，推理证明.
随堂练习: 1、D .2、C .3、不正确.4、（1）一样长（2）一样大.
一、精心选一选，你一定会开心 1、A .2、B .3、B .4、D 二、精心填一填，你一定会去轻松
5、一样大，一样大，视觉有时会出现误差，精确的观察需要一定的工具.
6、)1(4)2(22+=-+n n n .
7、G 处.
8、41.
三、精心做一做，你一定会成功
9、观察可能得出的结论是（1）中的实线是弯曲的；（2）a 更长一些；（3）AB 与CD 不平行.而我们用科学的方法验证可发现：（1）中的实线是直的；（2）a 与b 一样长；（3）AB 与CD 平行. 10、解：不正确； 因为2n -n +11=n (n -1)+11
当n 取11时，多项式211n n -+=11（11-1）+11=112，此时不是质数 所以判断不正确
11、分析：注意①与③互相矛盾，两件矛盾的事，不能都是真的，又不能都是假的，必有一真，这样问题就解决了．
解：经分析得①③中有一句是真话，一句是假话，而已知真话只有一句，所以②必是假话，从而可知苹果在黄箱子里．
点技巧 巧用排除法
判断数学结论正确与否，可选择“排除法”
12、解：我不同意小明同学的看法，因为当a ，b 相等的时候，22b a +=ab 2.为了验证结论的正确性，可作以下推理：因为222)(2b a ab b a -=-+，2)(b a -≥0， 所以ab b a 222-+≥0，所以22b a +≥ab 2.
四、 更上一层楼，你一定有勇
13、分析：（1）假设9号上场，由“若9号和12号上场，则4号也必须上场”可知4号也在场上，
因此由“要是4号上场，6号也要上场”可知此时6号也在场上，这与“只要1号不上场，则6号上场”矛盾， 因此9号一定不上场；
（2）9号不上场，则4号也就不上场，由条件“要是4号上场，6号也要上场”可知6号不上场，
则剩下的五名队员即为上场队员，为1号、3号、10号、11号、12号.答案:9号不上场；上场的是1号、3号、10号、11号、12号.
7 .2 定义与命题 7.2.1定义与命题
要点梳理
1、对名称或术语的含义作出明确规定的句子叫 .
2、 的句子，叫做命题.一般地，每个命题都由 和 组成. 是已知的事项， 由已知事项推出的事项.命题可以写成 的形式，其中“如果”引出的部分是 ，“那么”引出部分是 .
3、命题可以分为真命题和假命题， 的命题称为真命题， 的命题称为假命题，要证明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的 ，二不具备命题的 ，这种例子叫做 .
随堂练习
1、下面给出的定义正确的是（ ）
A. 永不相交的两直线叫做平行线
B.从直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C.有理数和无理数统称实数
D.有公共点的两条射线线组成的图象叫做角. 2、下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．若ac ab =，则c b =
B ．若22b a =，则b a =
C ．若022=+b a ，则0==b a D.b a =，d c =，则c a =
3、把命题“等角的补交相等”改写成“如果……”，“那么……”的形式是：如果 ，那么 .
4、指出下列命题的题设和结论，并判断命题是真命题还是假命题. （1）相等的角是对顶角；
（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；
（3）两个二元一次方程组合在一起就构成了一个二元一次方程组.
同步作业
一、精心选一选，你一定会开心
1、下列句子是命题的是（ ）
A.作线段AB ∥CD
B. 今天下雨吗？
C. 连接M 、N 两点
D. 直角都相等
2．命题“三边对应相等的两个三角形全等”的题设是（ ） A ．三条边 B ．三条边对应相等
C ．两个三角形
D ．三条边对应相等的两个三角形
3.已知下列语句：①天是蓝的；②两点之间线段的长度，叫做两点间的距离；③ π是无理数；④对顶角相等，其中是定义的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．下列命题是假命题的是（ ）
A ．互补的两个角不能都是锐角
B ．若b a ⊥，c a ⊥，则c b ⊥
C ．乘积为1的两个数互为倒数
D ．全等三角形的对应角相等
二、精心填一填，你一定会去轻松
5.把“相交成直角的两条直线互相垂直”改写成“如果……，那么……”的形式是 .
6.填空使之成为一个完整的命题. （1）若b a ⊥，c b ∥，则 .
（2）若 ，则这两个角互补.
7.命题“直角都相等”的条件是 ，结论 .
8．定义新运算22b a b a -=*，则（)5()23(-**= .
三、 精心做一做，你一定会成功
9、把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出命题的条件和结论.
（1）对顶角相等； （2）等角的余角相等；
（3）平行同一条直线的两条直线互相平行； （4）两直线相交只有一个交点.
10．判断下列命题是真命题，还是假命题. （1）花一定是红色的； （2）如果2a =a ，那么a ＞0； （3）如果x ＞y ，那么x ＞0，y ＜0；
（4）若???-==3
1
y x 是方程1=-y ax 的解，则2-=a .
11、判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由. （1）两个锐角的和是钝角；
（2）点P 到B A ,两点的距离相等，则点P 是线段AB 的中点； （3）不相等的角不是对顶角；
（4）若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1=∠3.
四、更上一层楼，你一定有勇气
12、举出反例说明下列命题是假命题. （1）如果|x |=|y |，那么y x =； （2）如果a ＞b ，那么；ac ＞bc
（3）能被3整除的数，一定能被6整除.
参考答案
要点梳理：1、定义.2、判断一件事情，条件，结论，条件，结论，“如果……”，“那么……”，条件，结论.3、正确，不正确，反例.
随堂练习:1、C. 2、C. 3、如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等. 4、解：（1）题设：两个角相等.结论：它们是对顶角.假命题。（2）题设：一个三角形有两个锐角.结论：这个三角形是锐角三角形.假命题.（3）题设：两个二元一次方程组合在一起的方程组.结论：这个方程组是二元一次方程组.假命题
同步作业
一、精心选一选，你一定会开心
1、D.
2、D.
3、A.
4、B.
二、精心填一填，你一定会去轻松
a ，（2）
5、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直.
6、（1）c
两个角的平分线互相垂直. 7、几个角是直角，这些角都相等. 8、-21
三、精心做一做，你一定会成功
9、解：（1）原命题改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个相等”，条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等.
（2）原命题改写为“如果两个角相等，那么这两个角的余角相等”.条件：两个角相等，结论：两个角的余角相等.
（3）原命题改写为“如果两条直线都平行同一条直线，那么这两条直线互相平行”.条件：两条直线都平行同一条直线，结论：这两条直线互相平行.
（4）原命题改写为“如果两条直线相交，那么它们只有一个交点”.条件：两条直线相交，结论：只有一个交点.
10、解：（1）假命题（2）假命题（3）假命题（4）真命题
11、解：（1）假命题，两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，如40°+20°=60°.
（2）假命题，点P到线段AB两点的距离相等，只能得到点P在线段AB的垂直平分线上.
（3）真命题，因为对顶角是相等的，如果两个角不相等，那么一定不是对顶角；（4）真命题，因为同角的余角相等.
四、更上一层楼，你一定有勇气
12、解：（1）当2-=x ，2=y 时，|x |=|y |，但y x ≠. （2）当c ≤0时，ac ≤bc .（3）9能被3整除，但不能被6整除.
7.2.2公理、定理及命题的证明
要点梳理
1、公认的真命题称为 .演绎推理的过程称为 ，经过证明的真命题称为 . 2.证明的一般步骤：
（1）审题，分清命题的 ， ； （2）画图，结合图形写出 ， ；
（3）分析因果关系，找出 ； （4）有条理地写出 .
随堂练习
1、下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（ ）
A.从李庄到赵庄走直线最近
B.在正常情况下，射击是要保证瞄准的一只眼睛在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标.
C.向远方延伸的铁路给我们一条直线的印象
D. 数轴是一条特殊的直线
2、 下列说法正确的是（ ）
① 公理是经过证明为正确的，是真命题；②证明一个命题只要求证明一步就可以了；③判断一个命题是真命题，只要举一个例子，它适合命题的题设，也满足命题的结论就可以了；④“相等的角是对顶角”是假命题. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3、工人师傅在砌砖时总是先在两端拉上一条线，这样做的依据是 .
4.证明“若22b a ＞，则b a ＞”是假命题.
同步作业
一、精心选一选，你一定会开心
1、下列语句是公理的是（ ）
A.全等三角形面积相等
B.两点确定一条直线
C. 数学在生活实际中应用广泛
D. 同角（等角）的补角相等 2、下列语句中是定理的有( )． ①同位角相等，两直线平行；②三角形两边之和大于第三边；③连接AB ；④同角（等角）的余角相等；⑤两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
A ．①②
B ．①⑤
C ．② ④
D ．③④ 3、下列说法错误的是（ ）
A.所有的定义都是命题
B.所有的定理都是命题
C.所有的公理都是命题
D.所有的命题都是公理
4、用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，如图所示，则能说明
BOC AOC ∠=∠的依据是（ ）
A. SSS
B.ASA
C. AAS
D. 角平分线上的点到角的两边的距离相等
二、 精心填一填，你一定会去轻松
5.在ABC ?中，?
=∠90C 25=AB ,7=AC ,则=BC ，根据
是 .
6.下列命题能作为定理的是 （只填序号）. ①对顶角相等；②两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等；③同位角相等；④两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等；⑤直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
7.在雅安地区抗震救灾中，某部队从A 地出发到B 地进行救灾，共有三条路可走，如图所示，那么部队应选择第 条路，用数学知识解释为 .
8.在括号内填上每步的依据.
证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（已知）
∴∠3=90°-∠1，∠4=901°-∠2（）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（）
上述证明所得的结论是 .
三、精心做一做，你一定会成功
9.证明定理：内错角相等，两直线平行.
10．判断命题的真假，再进行证明.
2；
（1）若a是正有理数，则a
a＞
（2）一个角的补角比它的余角大90°；
AB∥. 11．如图，已知直线AB,CD被直线EF,GH所截，且∠1=∠2，求证：CD
四、 更上一层楼，你一定有勇气
12.在四边形ABCD 中，给出下列论断：①DC AB ∥；②BC AD =；③C A ∠=∠,以其中两个作为条件,另外一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题，画图并给予证明.
参考答案
要点梳理：1、公理，证明，定理.2、（1）题设，结论；（2）已知，求证（3）证明途径（4）证明过程.
随堂练习: 1、B .2、B .3、过两点有且只有一条直线 .4、证明：不妨设
,5-=a 3=b ，则2)5(-＞23，即2a ＞2b ，但是-5＜3，即a ＜b ，∴此命题是假
命题.
同步作业
一、精心选一选，你一定会开心 1、B 2、C .3、D .4、A
二、精心填一填，你一定会去轻松
5、24，勾股定理.
6、①②⑤.
7、②，两点之间线段最短.
8、等式的性质，等量代换，同角的余角相等.
三、精心做一做，你一定会成功
9、已知：如图，∠1=∠2，求证：b a ∥
证明：∵∠1=∠3（对顶角相等）， 又∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠3（等量代换），
∴b a ∥（同位角相等，两直线平行）
10、解：（1）假命题.证明：当1.0=a 时，a 为正有理数，但2a ＜a ，故此命题为假命题
（2）真命题.证明：设这个角为α，则它的补角为α-?180，它的余角为α-?90， ∴它的补角比余角大（α-?180）-（α-?90）=?=+?--?9090180αα，即此命题为真命题.
11、证明：∵∠1=∠AMH ，（对顶角相等）又∵∠1=∠2（已知），∴2∠=∠AMH (等量代换）∴CD AB ∥（同位角相等，两直线平行）.
12、解：如图，
如果①③，那么②.证明：连接BD . ∵DC AB ∥（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）在CBD
ADB ??和中，???
??=∠=∠∠=∠DB BD C A 21∴ADB ?≌CBD ?.(AAS )∴BC AD =.（全等三角形的对应边相
等）
7 .3 平行线的判定
要点梳理
平行线判定定理：
(1).平行线
.判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角 ，两直线平行。
(2).平行线判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角 ，两直线平行。
(3).平行线判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内补角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角 ，两直线平行
随堂练习
1、如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )
A.∠3=∠4
B.∠1=∠5
C.∠1+∠4=180°
D.∠3=∠5
2、如图，下列推理正确的是( )
A.∵∠A=∠BCE，∴AD∥CE
B.∵∠DCE=∠CEB，∴AD∥CE
C.∵∠A+∠C=180°，∴AD∥CE
D.∵∠DAE+∠CEA=180°，∴AD ∥CE
3、如图所示直线AB，CD被直线EF所截，
(1)量得∠1=80°，∠2=80°，则判定AB∥CD，根据是_____；
(2)量得∠3=100°，∠4=100°，也判定AB∥CD，根据是_____．
4、如图，填空并在括号内注明理由．
(1)若∠A=∠3，则_____∥_____；
(2)若∠2=∠E，则_____∥_____；
(3)若∠A+∠ABE=180゜，则_____∥_____．
同步作业
一、精心选一选，你一定会开心
1、如图，下列条件中，一定能判断AB∥CD的是( )
A.∠2=∠3
B.∠1=∠2
C.∠4=∠5
D.∠3=∠4
2、已知：如图所示，∠1=∠B，则下列说法正确的是( )
A.AB与CD平行
B.AC与DE平行
C.AB与CD平行，AC与DE也平行
D.以上说法都不正确
3 、如图，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1=∠2
B.∠3=∠4
C.∠BAD+∠ABC=180°
D.∠ABD=∠BDC
4、如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是( )
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
二、精心填一填，你一定会轻松
5、如图是一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD 的关系是_____，这是因为_____．
6、两条平行直线被第三条直线所截，则：
①一对同位角的角平分线互相平行；
②一对内错角的角平分线互相平行；
③一对同旁内角的角平分线互相平行；
④一对同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的结论是_____．(注：请把你认为所有正确的结论的序号都填上)
7、如图，请写一个适当的条件：，使得CE∥AB.．
8、如图所示，已知∠ABC=∠DCB，∠1=∠2，说明：BE∥CF．
解答：∵∠ABC=∠DCB(已知)，∠1=∠2(已知)．
又∵∠EBC=∠ABC-∠1，∠BCF=∠DCB-∠2(角的和差)，
∴∠EBC=_____．
∴BE∥_____．
阅读完成上述填空．
三、精心做一做，你一定会成功
9、如图所示，根据题意可识别哪两直线平行．
(1)如果∠1=∠2，那么根据内错角相等，两直线平行，可得_____．
(2)如果∠3=∠4，那么根据_____，可得_____．
(3)如果∠6=∠7，那么根据_____，可得_____．
(4)若∠DAB+∠ADC=180°，那么根据_____，可得_____．
(5)若∠ABC+∠BCD=180°，那么根据_____，可得_____．
10、如图，E、F分别是AB、CD上一点，∠2=∠D，∠1与∠C互余，EC⊥AF，试证明AB∥CD．证明：∵
∠2=∠D∴AF∥_____ ∵EC⊥AF∴EC⊥_____ ∴∠C与∠D_____ ∵∠1与∠C互余∴∠
1=_____所以AB∥_____．
11、如图，潜望镜中的两个镜片都是与水平
面成45°角放置的，这样的设计就可以保证下面人的视线和上面的光线是平行的，请解释说明其中的道理．
12、已知：如图，∠DAB=∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠F C B=∠CEB．试说明：AF∥CE．解：因为
∠DAB=∠DCB(_____)，又因为AF平分∠DAB，所以
_____=∠DAB(_____)．又因为CE平分∠DCB，所以∠FCE=_____(_____)．所以∠FAE=∠FCE．因为∠FCE=∠CEB，所以
_____=_____．
所以AF∥CE(_____)．
四、更上一层楼，你一定有勇气
13、你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，(如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？
参考答案
要点梳理：(1)、相等.(2)、相等(3)、互补
随堂练习: 1、D . 2、D .3、同位角相等，两直线平行 内错角相等，两
直线平行.4、AD BE DB EC AD BE 同步作业
二、精心选一选，你一定会开心 1、B .2、A .3、D .4、A
二、精心填一填，你一定会去轻松 5、平行； 内错角相等，两直线平行.6、①②④. 7、（答案不唯一，如A
DCE ∠=∠或B BCE ∠=∠或?=∠+∠180ACE A ) .8、FBC ∠ FC . 三、精心做一做，你一定会成功
9、解：（1）如果∠1=∠2，那么根据内错角相等，两直线平行，可得AD ∥BC ． （2）如果∠3=∠4，那么根据内错角相等两直线平行，可得AB ∥CD ． （3）如果∠6=∠7，那么根据同位角相等两直线平行，可得BD ∥CF ． （4）若∠DAB +∠ADC =180°，那么根据同旁内角互补两直线平行，可得AB ∥CD ．
（5）若∠ABC +∠BDC =180°，那么根据同旁内角互补两直线平行，可得AB ∥
CD
10、答案：DE , ED , 互余 , ∠D , CD
11、证明：如图，根据光的入射角等于反射角，知∠1=45°，∠2=45°， ∴∠3=∠4=90°， ∴a ∥b ．
12、答案为：已知；∠FAE ，角平分线的性质；2
1
∠DCB ，角平分线的性质；
∠FAE ，∠CEB ；同位角相等，两直线平行．
四、更上一层楼，你一定有勇气
平行线的性质教学设计
平行线的性质（一）教学设计 一、教学内容解析 《相交线与平行线》是人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》七年级下册的第一章，是初一学生在学习了《图形认识初步》后第二次学习几何。它包括五大块内容：一是相交线；二是平行线及其判定；三是平行线的性质；四是平移。前三节主要讨论平面内两条直线的位置关系，第四节是有关平移变换的内容。本章内容都是从实际问题出发，引导学生自己多观察、多动手、勤思考，结合当地特点的一些问题，抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题，引入本章要学习的相关内容。通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题，体现具体——抽象——具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。 本堂课是在学生学习和掌握了平行线的判定的基础上，研究平行线的性质，它既包含了相交线的内容又包含了平行线的内容。平行线的性质和判定既有联系也有区别，联系在于它们研究的对象都是平行线和角的关系，区别在于它们的题设和结论刚好交换，是一个互逆的命题，这种结构关系也为我们将来学习其它几何图形的性质和判定提供了范例，包括一些特殊三角形的性质与判定，平行四边形的性质和判定等等。因此，平行线的性质既是平行线的判定的逆用, 又是将来学习几何图形性质与判定的重要基础，在本章中具有举足轻重的地位和作用。另外，平行线的性质与现实世界中的联系也很紧密，如本节课例题“梯形残片”的问题等，通过学习可以把所学知识和实际联系起来，更好地为实现生产实际服务。 这节课以学生为主体，通过学生自己的观察、建模、操作、讨论得到平行线的性质，并加以说明和验证.锻炼学生的观察能力，动手能力和思维能力，提高学生的分析能力，增强学习数学的兴趣。 二、教学目标设置 本节课内容的数学本质是平行线性质的探究与应用。依据课程标准的要求和我所任教班级学生的实际情况，我制定了一下教学目标： （一）、知识目标：
平行线证明教学设计
第七章 平行线的证明 导学案 1、为什么要证明 一、读一读 学习目标： 1、对由观察、归纳等过程所得的结论进行思考、质疑，认识证明的必要性，培养推理意识； 2、体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。 二、试一试 自学指导： 1、大胆猜想: 如教材P162提出的问题 2、某学习小组发现，当n=0,1,2,3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n, n 2-n+11的值都是质数。你认为呢？ 由此可知：要判断一个数学结论是否正确，仅靠经验、观察或实验是不够的， 必须有根有据地进行推理。 三、练一练 A1、请在教材上完成P163随堂练习1、2；P164数学理解1 A2、当n 为正整数时，132++n n 的值一定是质数吗？ n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 是否是质数
A3、八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n 的取值（n=1，2，3，…39）代入式子412++n n ，结果发现式子412++n n 的值都是质数，于是 他们猜想：“对于所有的自然数，式子412++n n 的值都是质数。”你认为这个 猜想正确吗？验证一下n=40的情形。 B1、给出教材P164数学理解3问题的结论，你能用理由肯定自己的结论吗？ B2、阅读P163“读一读” 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价 2 定义与命题（1） 一、读一读 学习目标：了解定义、命题的含义；会判断某些语句是不是命题。 二、试一试 自学指导： 1、研读教材P165-166完成下列问题： （1）什么是定义？ 定义： 。 （2）如右图某地的一个灌溉系统 如果B 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染； 如果C 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染； 如果D 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；
相交线与平行线全章教案
第五章相交线与平行线 5.1.1相交线 教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认． 2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程． 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力． 重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 教学过程 一、创设情境，引入课题 先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题． 学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的． 教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题． 二、探究新知，讲授新课 1．对顶角和邻补角的概念 学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书． 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角． 学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？ 学生口答：∠2和∠4再也是对顶角． 紧扣对顶角定义强调以下两点： （1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角． 2．对顶角的性质 提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？ 学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义）， ∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．
北师版八年级上第七章平行线的证明知识点总结及习题
八年级上册第七章平行线的证明 【要点梳理】 要点一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.要点诠释： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论． （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 要点三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点诠释： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.
第七章平行线的证明全章教案
第七章平行线的证明 1．为什么要证明 一、学生知识状况分析 学生的技能基础：在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础． 学生活动经验基础：在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助． 二、教学任务分析 学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《你能肯定吗》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。因此，本课时的教学目标是： 1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识． 3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等． 三、教学过程分析 本节课的教学思路为：验证活动（1）——猜想并验证活动（2）——猜想并验证活动（3）——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习
第一环节：验证活动（1） 活动内容： 某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于 是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交 流． 参考答案：列表归纳为 活动目的： 对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性）， 从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备． 注意事项： 学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为 n 2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几 个现象轻易肯定某个数学结论的正确性． 第二环节：猜想并验证活动（2） 活动内容： 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围 起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球 形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： )(16.021221m c c ≈=-+π ππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 活动目的： 通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进 而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材．
七年级数学下册第二章相交线与平行线教案(新版)北师大版
相交线与平行线 2.3.1平行线的性质 【教学目标】 知识与技能 1.探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算． 2.能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的综合运用 过程与方法 通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力． 情感、态度与价值观 1.通过推理论证教学，培养学生的分析问题和解决问题的能力 2.培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．【教学重难点】 重点: 平行线性质的研究和发现过程；用平行线性质进行简单的推理和计算. 难点: 正确区分平行线的性质和判定 【导学过程】 【知识回顾】 我们学了哪些判定平行的方法? 【情景导入】 用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b，再画一条截线c与直线a、b相交，标出所形成的八个角． 【新知探究】 探究一、平行线性质 1、探索活动：完成教材52页探究 2、观察思考：教材52页思考 3、归纳性质： 同位角。 两条平行线被第三条直线所截，。 。 ∵a∥b（已知） 同位角。∴∠1＝∠5（两直线平行，同位角相等） ∵a∥b（已知） 简单说成：两直线平行。∴∠3＝∠5（） ∵a∥b（已知） 。∴∠3＋∠6＝180°（） 探究二、证明性质： 1、性质1→性质2：如右图，∵a∥b（已知）
∴∠1＝∠2（） 又∵∠3＝∠1（对顶角相等）。 ∴∠2＝∠3（等量代换）。 2、性质1→性质3：如右图，∵a∥b（已知） ∴∠1＝∠2（） 又∵（）。 ∴。 探究三、例 探究四、比一比:平行线的判定与性质有什么不同? 已知得到 【知识梳理】 本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？ 1．______叫两直线平行。 2．同位角______两直线平行，两直线_____同位角相等。 3．内错角_____两直线平行，两直线_____内错角相等。 4．同内角_____两直线平行，两直线_____同内角平行。 5．平行线的性质和判定方法的关系是_______________。 【随堂练习】 1.教材20页练习1、2 2.如图:已知∠ADE=60·∠B=60·∠AED=40· 求证(1)DE∥BC (2) ∠C的度数 3 . 3.如图:已知∠1=∠2 求证∠BAD+∠D=180· 中国书法艺术说课教案 今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
初中数学《平行线》单元教学设计以及思维导图
平行线主题单元教学设计 适用年级七年级 所需时间课内4课时 主题单元学习概述 “平行线”主题单元结构包括“相关概念”、“探究性质”、“简单应用”三部分，教材的编写顺序是“同位角”、“平行线和它的画法”、“平行线的性质”、“平行线的判定”顺次展开，是先以实例使学生感受现实生活中广泛存在的直线平行形象，通过设置观察、实验与探究等活动，先探究直线平行的性质，再研究直线平行的判定，图文并茂地依次呈现，试图在探索性质和解决问题的过程中，加深对“平行”的理解，以发展学生的空间观念。在学习中首先引入“三线八角”，将两条直线的位置关系——平行与一对角之间的位置关系和数量关系联系在一起。学生在学习完同位角和画平行线后，会发现当一对平行线被第三条直线所截之后，形成同位角、内错角和同旁内角，而且会很自然地发现它们之间关系，并且会根据自己的发现去探索它们之间的关系，在这个过程中通过观察发现并经过简单说理来培养学生的推理意识。本设计将以直观认识为基础，将直观与说理相结合，运用平行的有关结论解决一些简单的实际问题。在以后的学习中经常要用到。这部分内容是后续学习的基础，它们不但为三角形内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也为今后三角形全等、三角形相似等知
识的学习奠定了理论基础，学好这部分内容至关重要 主题单元规划思维导图 主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标） 知识技能： 1、在两条直线被第三条直线所截时，认识同位角、内错角、同旁内角。 2、知道过直线外一点能且只能画出一条直线与已知直线平行，会过直线外一点画这条直线的平行线
3、探索平行线的性质及平行线判定的理解和应用。 4、认识两条平行线之间的距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 5、会用平行线的性质及平行线判定证明几何问题。 过程与方法： 经历观察、操作、想象、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理意识以及有条理的思考和表达能力。 情感态度与价值观： 在解决问题的过程中激发求知欲，引导学生关注社会，感受数学与现实世界的密切关系。 通过小组合作学习，培养主动参与、勇于探究的精神。 对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求） 1、识别同位角、内错角、同旁内角。 2、理解平行线的概念。 3、掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 4、掌握平行线的性质定理，了解平行线性质定理的证明。 5、能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 6、探索并证明平行线的判定定理。 7、会用平行线的性质及平行线判定证明几何问题。 8、了解平行于同一条直线的两条直线平行。
第七章平行线的证明知识点复习
平行线的证明 平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行. 判定定理2:_______________,两直线平行.定理：平行于同一直线的两直线___________. 2、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD 3.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。 4、如图，某湖上风景区有两个观望点A ，C 和两个度假村B ，D ．度假村D 在C 的正西方向，度假村B 在C 的南偏东30°方向，度假村B 到两个观望点的距离都等于2km ． （1）求道路CD 与CB 的夹角； （2）如果度假村D 到C 是直公路，长为1km ，D 到A 是环湖路，度假村B 到两个观望点的总路程等于度假村D 到两个观望点的总路程．求出环湖路的长； （3）根据题目中的条件，能够判定DC ∥AB 吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC ∥AB ． 5．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠A ED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？ 知识点3：平行线的性质 性质定理1:两直线平行,同位角___________. 性质定理2:两直线平行,内错角_________. 性质定理3:两直线平行,同旁内角__________. 练习：6、已知：如图，AB//CD ，BC//DE ，∠B=70°，求∠D 的度数。 专题 与平行线有关的探究题 A B E D C A B E P D C F
北师大版第七章《平行线的证明》为什么要证明_教学设计
第七章平行线的证明 §7.1为什么要证明 一、教学内容分析 北师大版第七章《平行线的证明》本章内容是根据一些基本事实推出其他结论的过程，证明平行线的性质及判定的一些有关结论，证明三角形内角和定理，还将讨论三角形的内角与外角的关系．也就是进入几何严谨证明的学习，而作为本章的第一节内容《为什么证明》从内容设置上来说引入思考，而我从内容上重新做出编排由代数到几何从直观的猜测到严格的计算证明，利用教学资源配合学生活动（e-world，几何画板，电子白板，网络资源）重新整合，落实每一个教学目标． 二、学生知识状况分析 学生的技能基础：在七年级时学生学习了与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，本课程的教学对象是八年级学生，学生具备一定数学知识储备，不难掌握基础知识．学生有一定的计算、几何说明基础，形象思维能力强，逻辑思维需发展，所以在本课程中经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会观察、归纳、实验所得未必可靠，初步感受证明必要性，发展学生推理意识．同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础． 学生活动经验基础：在代数方面有一定的计算基础，如整式的运算。在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的讨论、自主探究等活动有很大的帮助． 三、教学任务分析 学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感 受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《为什么要证明》的 教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观 感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性．因此，本课时的教学目标 是： 1．知识与技能：了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等，去明确的说明一个结论的正确与否。 2．过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识．依托网站资
平行线的证明教学设计
第七章 平行线的证明 7．1 为什么要证明 1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确． 2．初步了解数学中推理的重要性，了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．(重点) 阅读课本P162～163的内容，完成预习内容． (一)知识探究 实验、观察、归纳得到的结论不一定正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明． (二)自学反馈 观察右图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下． 解：一样大． 活动1 小组讨论 例1 有人认为，对于所有自然数n ，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数．你怎么看待这个结论？ 同学们试着做一做： (1)当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2 －n ＋11的值是质数还是合数？ (2)是否说明：对于所有自然数n ，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数呢？与同伴讨论交流． 解：(1)当n ＝0时，n 2 －n ＋11＝11； 当n ＝1时，n 2 －n ＋11＝11； 当n ＝2时，n 2－n ＋11＝13；当n ＝3时，n 2 －n ＋11＝17； 当n ＝4时，n 2－n ＋11＝23；当n ＝5时，n 2 －n ＋11＝31. 由此可知：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数． (2)由(1)我们可以得到：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数．但当我们继续往后计算， 计算到n ＝11时，n 2－n ＋11＝121，此时为合数．所以“对于所有自然数n ，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数”这种说法是错误的． 例2 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE.DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗？ 解：通过测量猜想DE ∥BC ，DE ＝1 2BC.通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个 结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明． 活动2 跟踪训练 1．我们知道：2×2＝4，2＋2＝4. 试问：对于任意数a 与b ，是否一定有结论a ×b ＝a ＋b? 解：3×2＝6，而3＋2＝5， 因为6≠5， 所以不是任意数a 与b ，都有结论a ×b ＝a ＋b. 2．已知n 是正整数，你能肯定2n ＋4－2n 一定是30的倍数吗？为什么？ 解：2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝15×2n ，
北师大版数学八年级上册第七章 平行线的证明讲义
第七章 平行线的证明 一、思维导图 ???????????? ??????????????????????????????????????的内角。于任何一个和它不相邻：三角形的一个外角大推论角的和。于和它不相邻的两个内：三角形的一个外角等推论。等于定理：三角形的内角和三角形内角和定理条直线平行。平行于同一条直线的两互补。两直线平行，同旁内角等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同位角相平行线的性质平行。同旁内角互补，两直线行。内错角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平平行线的判定的例子。，而不具有命题的结论反例：具备命题的条件分类：真命题、假命题部分组成。结构：由条件和结论两句子。定义：判断一件事情的命题平行线的证明21180二、考点聚焦 考点1 定义与命题 例1 下列四个命题中，真命题有 （ ） ①任意三角形的内角和为180°。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c 不相交。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1-1：对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例
是（） A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β>∠α B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β<∠α D.两个角互为邻补角。 考点2 平行线的性质和判定 例2 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°， ∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由。 变式2-1：如图，直线 l∥2l，∠A=125°，∠B=85°， 1 则∠1+∠2= （） A.30° B.35° C.36° D.40° 变式2-2：如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数。
第七章 平行线的证明(能力提升)(原卷版)
第七章平行线的证明 能力提升卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ （考试时间：60分钟试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷上。 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题上方的答题表中。 3．回答第II卷时，将答案直接写在试卷上。 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．(本题3分)如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（） A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180°D．∠3+∠4=180° 2．(本题3分)如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（） A．112°B．110°C．108°D．106° 3．(本题3分)已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（）
A．80°B．70°C．85°D．75° 4．(本题3分)如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（） A．132°B．134°C．136°D．138° 5．(本题3分)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（） A．40°B．45°C．50°D．55° 6．(本题3分)如图，在△AB C中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC 于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（） A．44°B．40°C．39°D．38° 7．(本题3分)下列说法不正确的是（） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与
第七章《平行线的证明》单元测试(含答案)
第七章平行线的证明单元测试 一、单选题（共10题；共30分） 1、如图,△A BC中，∠A CB=90°, ∠A=30°，A C的中垂线交A C于E.交A B于D，则图中60° 的角共有( ) A、6个 B、5个 C、4个 D、3个 2、下列说法中正确的是( ) A、原命题是真命题,则它的逆命题不一定是真命题 B、原命题是真命题,则它的逆命题不是命题 C、每个定理都有逆定理 D、只有真命题才有逆命题 3、下列命题是假命题的是( ) A、-如果a∥b，b∥c，那么a∥c B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° C、两条直线被第三条直线所截，内错角相等; D、矩形的对角线相等且互相平分 4、如图，在梯形A BCD中，A B∥CD，A D=DC=CB，若，则 A、130° B、125° C、115° D、50° 5、如图，A B∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为（）
A、60° B、65° C、70° D、75° 6、下列条件中，能判定△A BC为直角三角形的是（） A、∠A=2∠B=3∠C B、∠A+∠B=2∠C C、∠A=∠B=30° D、∠A=∠B=∠C 7、下列四个命题，其中真命题有（） （1）有理数乘以无理数一定是无理数； （2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形； （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等； （4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a?sin20°． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合，②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形． 其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 9、下列命题中，真命题是（） A、周长相等的锐角三角形都全等 B、周长相等的直角三角形都全等 C、周长相等的钝角三角形都全等 D、周长相等的等腰直角三角形都全等 10、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）
八年级数学上册第七章平行线的证明4平行线的性质教案(新版)北师大版
八年级数学上册第七章平行线的证明4平行线的性质教案（新 版）北师大版 一、学生知识状况分析 学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的性质已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，特别是上一节课的学习，使学生对简单的证明步骤有了更为清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础． 活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．二、教学任务分析 在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，上一节课安排的《平行线的判定》和本节课安排的《平行线的性质》旨在让学生从简单的几何证明（平行线的判定与性质）入手，逐步形成一个更为清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是： 1.认识平行线的三条性质． 2.能熟练运用这三条性质证明几何题． 3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法． 4.了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程． 5. 进一步发展学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思维能力． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索与应用——反馈练习——反思与 小结 第一环节：情境引入 活动内容： 一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角 ∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？ 说明：这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质． 活动目的： 通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质．
第五章相交线与平行线教案(全章)
第五章 相交线与平行线 第一课时5.1.1 相交线 【学习目标】了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题. 【学习重点】邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用. 【学习难点】理解对顶角相等的性质. 【学习过程】 一、学前准备 各小组对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结．每人写一个总结小报告， 二、探索思考 探索一：完成课本P2页的探究，填在课本上． 你能归纳出“邻补角”的定义吗？ ． “对顶角”的定义呢？ ． 练习一： 1．如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE 的邻补角： __； （3）写出∠BOC 的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD 的对顶角：____ _． 2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由． 请归纳“对顶角的性质”： ． 练习二： 1．如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______ 2．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______ 3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=_____. 三、当堂反馈 1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为 度 图1 b a 4321第1题 F E O D C B A 第2题 F E O D C B A 第3题
第5章相交线与平行线全章教案
A B C D 1 2 3 4 O 5.1相交线 5.1.1 相交线 【教学目标】 1.了解两条直线相交形成四个角; 2.理解对顶角、邻补角的概念; 3.掌握对顶角的性质及它的推导过程; 4.能运用对顶角的性质解决一些问题. 5.培养识图能力. 【教学重点】 1.对顶角、邻补角的概念; 2.对顶角的性质及应用. 【对话设计】 〖探究1〗 两条直线相交所得的角 (1)如图,直线AB 、CD 相交于O,若∠1=140o,你能求出其它3个角的度数吗? (2)两条直线相交所得的四个角之间,有怎样的关系(指位置及大小)? (3)〖结论〗在(1)图中,∠1与∠2是______角,∠1与∠3是____角,∠2的对顶角是______,邻补角是_______________. 〖了解邻补角及对顶角的特征〗(见P5) 〖探究2〗"顾名思义,如果两个角的顶点重合,这两个角是对顶角."这句话对吗?画图说明. 〖探究3〗如图,C 是直线AB 上一点,CD 是射线,图中有几个角?哪两个角互为邻补角? 有两个角互为对顶角吗? 〖结论〗在很多图形中,邻补角还可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角. 〖探究4〗判断下列语句是否正确: (1)互补的两个角一定是邻补角. (2)一个角的邻补角一定和它互补. (3)邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角. 〖补充练习〗 1.如图,D 、E 分别是AB 、AC 上的一点,BE 与CD 交于点G,若∠B=∠C,猜测图中哪些角是相等的. 2.如图,E 是AD 上一点,图中有互补的角吗?有相等的角吗?为什么? (注意:什么叫对顶角?) 3.说明下列语句为什么是错误的: (1)一个锐角和一个钝角一定互补; (2)若两个角互补,则这两个角一定是一个锐角,一个钝角. 〖作业〗 P9.1,2,7,8. 5.1.2 垂线(第一课时) 【教学目标】 1.理解垂线、垂线段的意义; A B C D E G A B C D E A B C D
第5章相交线与平行线全章教案
A B C D 1 2 3 4 O 5.1相交线 5.1.1 相交线 【教学目标】 1.了解两条直线相交形成四个角; 2.理解对顶角、邻补角的概念; 3.掌握对顶角的性质及它的推导过程; 4.能运用对顶角的性质解决一些问题. 5.培养识图能力. 【教学重点】 1.对顶角、邻补角的概念; 2.对顶角的性质及应用. 【对话设计】 〖探究1〗 两条直线相交所得的角 (1)如图,直线AB 、CD 相交于O,若∠1=140o,你能求出其它3个角的度数吗? (2)两条直线相交所得的四个角之间,有怎样的关系(指位置及大小)? (3)〖结论〗在(1)图中,∠1与∠2是______角,∠1与∠3是____角,∠2的对顶角 是______,邻补角是_______________. 〖了解邻补角及对顶角的特征〗(见P5) 〖探究2〗"顾名思义,如果两个角的顶点重合,这两个角是对顶角."这句话对吗?画图说明. 〖探究3〗如图,C 是直线AB 上一点,CD 是射线,图中有几个角?哪两个角互为邻补角? 有两个角互为对顶角吗? 〖结论〗在很多图形中,邻补角还可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角. 〖探究4〗判断下列语句是否正确: (1)互补的两个角一定是邻补角. (2)一个角的邻补角一定和它互补. (3)邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角. 〖补充练习〗 1.如图,D 、E 分别是AB 、AC 上的一点,BE 与CD 交于点G,若∠B=∠C,猜 测图中哪些角是相等的. 2.如图,E 是AD 上一点,图中有互补的角吗?有相等的角吗?为什么? (注意:什么叫对顶角?) 3.说明下列语句为什么是错误的: (1)一个锐角和一个钝角一定互补; (2)若两个角互补,则这两个角一定是一个锐角,一个钝角. 〖作业〗 P9.1,2,7,8. 5.1.2 垂线(第一课时) 【教学目标】 1.理解垂线、垂线段的意义; 2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线; 3.掌握垂线的性质1. 【教学重点】 1.区分垂线和垂线段; 2.用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线; 3.垂线的性质1. 【教学难点】 怎样画一条线段或射线的垂线. 【对话设计】 〖探究1〗 两条直线相交的特殊情况 如图, 直线AB 、CD 相交于O,若∠1=90o,求其它3个角. 〖阅读〗了解垂直、垂线和垂足(见P6). A B C D 1 2 3 4 O A B C D E A B C D E G A B C D
北师大八年级数学上第七章平行线的证明单元测试含答案解析
北师大八年级数学上第七章平行线的证明单元测试 含答案解析 第七章平行线的证明单元测试 一、单选题（共10题；共30分） 1、如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°，AC的中垂线交AC于 E.交AB于D，则图中60°的角共有( ) A、6个 B、5个 C、4个 D、3个2、下列说法中正确的是( ) A、原命题是真命题,则它的逆命题不一定是真命题 B、原命题是真命题,则它的逆命题不是命题 C、每个定理都有逆定理 D、只有真命题才有逆命题3、下列命题是假命题的是( ) A、-如果a∥b，b∥c，那么a∥c B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° C、两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D、矩形的对角线相等且互相平分 4、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，若，则 A、130° B、125° C、115° D、50° 5、如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为（） A、60° B、65° C、70° D、75° 6、下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A、∠A=2∠B=3∠C B、∠A+∠B=2∠C C、∠A=∠B=30° D、∠A=∠B=∠C 7、下列四个命题，其中真命题有（）（1）有理数乘以无理数一定是无理数； （2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等； （4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a?sin20°．A、1个B、2个C、3个D、4个8、下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合，②等腰三角形两腰
上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个9、下列命题中，真命题是（） A、周长相等的锐角三角形都全等 B、周长相等的直角三角形都全等 C、周长相等的钝角三角形都全等 D、周长相等的等腰直角三角形都全等 10、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ A、80 B、50 C、30 D、20 二、填空题（共8题；共26分） ） 11、命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是________，结论________．12、如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于________． 13、已知命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形是旋转对称图形．”，写出它的逆命题是________，该逆命题是________命题（填“真”或“假”）． 14、如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为________． 15、写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：________． 16、已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、 E，若BD+CE=5，则线段DE的长为________． 17、一个三角形的三个外角之比为5：4：3，则这个三角形内角中最大的角是________度．18、如图，在那么
七年级第八章平行线的有关证明教案分析
8.1定义与命题 教学目标： 知识技能目标： 1．让学生了解定义的含义并了解给一些名称下定义的常用方法； 2．让学生了解命题的含义； 3．让学生掌握命题的结构，能够区分命题的条件和结论，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式； 4．让学生了解类比的思维方法； 过程性目标： 5．让学生经历术语定义产生的过程，在通过类比、完成填空的过程中培养自学的能力；6．让学生经历“命题”这个名词的定义产生过程，进一步了解命题的含义。 教学重、难点： 1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”； 2．理解命题的结构，把命题改写成“如果……，那么……”的形式； 3．学生活动的组织. 教学方法与教学手段：发现探究小组合作主体性讲解 教学过程： 一、创设情景、引入新课 创设“赵本山与宋丹丹小品”、“一对父子的谈话”、“笑不笑由你”三个有意思的场景让学生发现有关的数学问题。 在老师的描述中抢答出这是什么数学名词。 师总结：可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行。 （设计说明：用这种形式引入，让学生及早融入课堂，积极思考，也作为本节课的一个贯穿的背景。更重要的是，希望学生初步明白下定义的重要性。） 二、探究一些名词的定义产生过程 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义。 例如: （1）1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“”的定义; （2）“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“”的定义; 学生活动一： 1、考考你（小组活动） 请说出下列名词的定义：（１）无理数（２）直角三角形 2.指出下列句子哪些是定义. (1)两直线平行,内错角相等; (2)两腰相等的梯形叫等腰梯形;
人教版数学七年级下册思维导图
人教版数学七年级下册 思维导图 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
5.1相交线 5.1.1 相交线 1.邻补角（定义：一条公共边，另一边互为反向延长线） 2.对顶角（定义：两边互为反向延长线）性质：对顶角相等（同角的补角相等） 5.1.2 垂线 1.垂线（定义：两条线互相垂直，其中一条直线是直线的垂线） 2.垂足（定义：两条互相垂直的线的交点） 3.定理： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ②垂线段最短：连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短 ③点到直线的距离（定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度） 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 1.同位角（定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角） 2.内错角（定义：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间） 3.同旁内角（定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，） 5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线 1.平行（定义：永不相交） 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 5.2.2 平行线的判定 1.同位角相等，两直线平行 2.内错角相等，两两直线平行直线平行 3.同旁内角互补，两直线平行 2
5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等 2.两直线平行，内错角相等 3.两直线平行，同旁内角互补 5.3.2 命题、定理、证明 1.命题：题设、结论 ①真命题：题设成立，结论一定成立 ②假命题：题设成立，结论不一定成立 2.定理 3.证明 5.4 平移 3