初三数学圆知识点复习专题

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文案大全圆—苑老师

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内?dr??点C在圆内；

2、点在圆上?dr??点B在圆上；

3、点在圆外?dr??点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离?dr??无交点；

2、直线与圆相切?dr??有一个交点；

3、直线与圆相交?dr??有两个交点；

d

r d=r rd

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）?无交点?dRr??；

外切（图2）?有一个交点?dRr??；

相交（图3）?有两个交点?RrdRr????；

内切（图4）?有一个交点?dRr??；rddCBAO．

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文案大全内含（图5）?无交点?dRr??；

图1rRd图3rRd

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②ABCD?③CEDE?④弧BC?弧BD⑤弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD

∴弧AC?弧BD

例题1、基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直

于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心

C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧图2rR

d图4rR

d图5rR

CB CDAB．

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文案大全例题2、垂径定理

1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果

油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O中，弦CDAB?，且CDAB?，垂足为H，ABOE?于E，CDOF?于F.

（1）求证：四边形OEHF是正方形.

（2）若3?CH，9?DH，求圆心O到弦AB和CD的距离.

4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=21BF.

例题3、度数问题

1、已知：在⊙O中，弦cm12?AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：

AOB?的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径1?OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC?的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

A

B D

C

E

O

O DEFC．

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例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD???.

例题7、平行与相似

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE?E，CDBF?于F.求证：FDEC?.

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOBDOE???；②ABDE?；

③OCOF?；④弧BA?弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB?和ACB?是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2AOBACB???

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C?、D?都是所对的圆周角

∴CD???

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C???

∴90C???∴AB是直径

FEDCBA

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