第5课时：分式的运算1
初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)
第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。
六年级上册数学教案-第3单元：第5课时 列方程解答分数的简单实际问题练习-苏教版
六年级上册数学教案第3单元：第5课时列方程解答分数的简单实际问题练习苏教版教案：六年级上册数学教案第3单元：第5课时列方程解答分数的简单实际问题练习苏教版一、教学内容本节课的教学内容为苏教版六年级上册第3单元分数的简单实际问题练习。
本节课主要让学生通过解决实际问题，掌握列方程解答分数问题的方法，提高学生的数学应用能力。
二、教学目标1. 让学生掌握列方程解答分数问题的基本方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：掌握列方程解答分数问题的方法。
难点：如何将实际问题转化为方程，求解分数问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体课件学具：练习本、笔五、教学过程1. 实践情景引入教师出示情景：小明有2/3的苹果，小红有3/4的苹果，两人一共有多少苹果？学生思考，引导学生在黑板上画出苹果的示意图，并提出问题：如何求两人一共有多少苹果？2. 例题讲解教师出示例题：小明有2/3的苹果，小红有3/4的苹果，两人一共有多少苹果？教师引导学生将问题转化为方程，并讲解方程的解法。
步骤1：设两人一共有x个苹果。
步骤2：根据题意，列出方程2/3x + 3/4x = x。
步骤3：解方程，求出x的值。
3. 随堂练习教师出示随堂练习题：小华有1/5的糖果，小明有2/7的糖果，两人一共有多少糖果？学生独立完成练习题，教师巡回指导。
4. 学生自主练习教师出示自主练习题：请你选取一个分数实际问题，列方程解答。
学生自主练习，教师巡回指导。
5. 板书设计板书题目：小明有2/3的苹果，小红有3/4的苹果，两人一共有多少苹果？板书解题步骤：步骤1：设两人一共有x个苹果。
步骤2：列出方程2/3x + 3/4x = x。
步骤3：解方程，求出x的值。
六、作业设计（1）小华有1/5的糖果，小明有2/7的糖果，两人一共有多少糖果？答案：14/35（2）小明的成绩是全班的2/5，小红的成绩是全班的3/8，小明比小红多几分之几？答案：1/242. 课后反思及拓展延伸本节课学生掌握了列方程解答分数实际问题的方法，但在解方程的过程中，部分学生对分数的运算仍存在困难。
第4课 分式及其运算
x －3 －3 时，分式 (2)当x＝________ 的值为0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故x＝－3. (3)若分式 A．1
x－2 的值为0，则x的值为( D ) 2 x －1 B．－1 C．±1 D．2
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：a ＝－ a ＝ －a ＝－ －a ， b －b －b b － a ＝ a ＝ －a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝ 同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝ 异分母加减法： a c ac .
x－2 的值为0. x＋2 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
2 时，分式 (2)(2011· 泉州)当x＝_______
知能迁移1
x 有意义的x的取值范围是________． x≠2 2x－4 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
(1)使分式
故x的取值范围是x≠2.
A．x＝－2 C．x＝1
2x－5 3 ＝ 的解是( C ) 2－x x－2 B．x＝2
D．x＝1或x＝2
1－5＝ －3＝3， 解析：当x＝1时，方程左边＝ 2× 1－2 －1 右边＝ 3 ＝3，∴x＝1是原方程的解. 2－1
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围 1 【例1】 (1)当x＝_______ 时，分式 2 无意义； x－1 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性
《5.1认识分式--分式的基本性质》教案
一、教学内容
《5.1认识分式-分式的基本性质》教案，本节课将围绕以下内容展开：
1.分式的定义：根据教材，引导学生理解分式的概念，明确分子和分母的关系。
2.分式的性质：
（1）分式中的分子与分母同乘（或除以源自一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母互换，分式的值不变。
（3）分式的乘方与开方：对于分式的乘方和开方运算，学生可能会忽略分子分母分别进行运算。
-举例：分式(2/3)^3，学生可能会直接将2^3和3^3相除，得到8/27，而实际上应为8/27×(1/9)。
（4）分式在实际问题中的应用：学生可能难以将实际问题转化为分式问题，无法正确运用所学知识解决问题。
-举例：在速度、比例等问题中，学生可能不理解如何将问题转化为分式形式进行解答。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式的基本概念。分式是由两个整式构成的数学表达式，其中上面的整式称为分子，下面的整式称为分母。分式是表达比例关系的重要工具，它在数学和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有3个苹果要平均分给4个小朋友，我们可以用分式3/4来表示每个小朋友能得到的苹果数量。这个案例展示了分式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、基本性质以及它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
初中数学《分式的运算》单元教学设计以及思维导图
分式的运算适用年八年级级所需时课内3课时间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 《分式》是继“整式”之后研究的另一类代数式，引入了一种新的代数式，就要研究它的运算，《分式的运算》一单元是在学习了分式的概念，基本性质，以及通分约分之后要研究的一部分内容。
本单元分为三个专题：专题一分式的乘除，专题二分式的加减，专题三整数指数幂。
它们都是分式运算的重要组成部分，其中整数指数幂将指数的讨论范围从正整数扩大到全体正整数，给运算带来便利。
本单元学习的重点是讨论分式的四则运算法则，并进行分式的四则混合运算；难点是分式的混合运算。
本单元主要的学习方式是类比的方法，引领学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程。
分式的四则运算法则是对分数的四则运算法则的抽象，两者本质不同，教学中可以从回顾分数运算法则的角度，引申到分式的运算法则，让学生温故而知新，体现由数到式的数、从具体到抽象的过程。
整数指数幂的学习，指数的范围被扩大，使原来的性质得到更广泛的应用，并且可以用科学计数法表示比1小的数。
通过本单元的学习，学生可以熟练地掌握分式的四则运算法则并能进行简单的分式加、减、乘、除运算．将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质；能用科学记数法表示小于1的正数．主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1.历届并掌握分式的加、减、乘、除运算，会进行简单的分式的加、减、乘、除运算.2.会运用法则解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的代数化归能力.3.会用同底数幂的除法性质进行运算，理解整数指数幂与负整数指数幂的意义并熟练的运用其进行计算，会用科学记数法表示绝对值小于1的数.过程与方法：1.经历探索分式的乘、除运算法则的过程，体会因式分解在分式乘除运算中的作用，发挥有条理的思考与语言表达能力.2.经历探索分式的加减运算法则的过程，进一步运用类比的数学思想学习分式的加减法法则，理解其算理.3.在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和表达能力，能熟练灵活的运用法则进行同底数幂的除法运算，培养学生的抽象思维能力.情感态度与价值观：1.渗透类比转化的的思想，培养学生的观察、类比、归纳能力和小组交流合作的情感，进一步体会数学的实际价值.2.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的良好学习习惯，培养学生“用数学”的意识和能力.3.渗透公式正向运用与逆向运用的辩证统一的数学思维观点，通过由特殊到一般，再由一般到特殊的认识活动，对学生渗透辩证唯物主义观点，感受数学的应用价值，体会数学与社会生活的联系，提高数学素养.对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）知识与技能：类比分数的学习，探究分式的四则运算法则，掌握四则运算法则，并能进行简单的加、减、乘、除混合运算，能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
1. 5 分式的运算 课件(华东师大版八年级下)
2 2 2 a x ay 3 y 6 y 7 b 8 a （ 7） ; （ 8） ; （ 9） ； 2 2 2 10 x 5 x 6 a 2 7b 2 by b x
ab 3a b （10） 2 ; 2c 4cd 2 6y 2 （12） ； 3xy x
2 2 2
a 2 xy a 2 yz （11） 2 2 2 2 ; b z b x
思考：你能用字母表示上述运算法则吗？
分数的乘除法则：
a c a d ad b d b c bc
你会用语言叙述一下吗？
a c ac b d bd
这里abcd都 是整数， bcd都不为 零
分母的积做积的分母；
如果让这里的整数换 成整式，这个结论还 分数乘分数，用分子的积做积的分子， 成立吗？
课
2015-1-7
2
复习： 1、如何进行分式的约分？请举例说明。 2、如何进行分式的通分？请举例说明。 3、请将下列各分式进行约分：
4a b (1) 2 6ab
2
3a b( x y) (2) 3 9ab ( y x)
2
a 3 (3) 2 a 6a 9
a 4 (4) 2 a 4a 4
2 2
注意1：
8n （13） ; 4mn m 16 xy 3b 2 ( 8 xy ) 。 （14） ; （15） 2ab a 5 a
1、整式与分式运算时，可以把整式看作分母是 1 的式 子。 2、分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是： ①把分式除法运算变成分式乘法运算； ②求积的分式； ③确定积的符号； ④约分。
2
4、完成下列运算,你想到了什么?说出来与同学们分享.
人教版八年级数学上册第十五章《分式》教案
第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.2.在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.3.进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入，初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020v v+-，这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与10060 2020v v+-，有什么共同点？谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB 叫做分式.问题2（1）使分式11x-有意义，则x的取值有什么要求？（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.三、典例精析，掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式：【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.例2填空：（1）当x时，分式23x有意义？（2）当b时，分式153b-有意义？（3）当x ，y 满足关系 时，分式x y x y +-有意义？ （4）当x 时，分式231x x + 有意义？ 解：（1）由题意有：3x ≠0，故x ≠0，所以当x ≠0时，分式23x 有意义；（2）由题意有：5-3b ≠0，故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时，分式153b -有意义；（3）由题意有x-y ≠0，故x ≠y ，所以当x ≠y 时，分式x y x y+-有意义；（4）由题意有x 2+1≠0，因为x 2≥0，x 2+1≥1，故x 为任何数时，分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下，下列分式的值为0？（1）1x x - ；（2）23m n m n-+ ；（3）()236x x x x --- . 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x ≠0，所以当x=1时，分式1x x-的值为0； （2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n ，∴m+n=52n ，又m+n ≠0，即52n ≠0，∴n ≠0，从而在m=32n ≠0时，分式23m n m n-+的值为0； （3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x 2-x-6=-6≠0，当x=3时，x 2-x-6=9-3-6=0，故使分式()236x x x x ---的值为0时，x 的值为x=0. 【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.四、师生互动，课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.15.1.2分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.3.进一步增强学生的创新思维能力.【教学重点】理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.【教学难点】在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.一、情境导入，初步认识分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.思考下列从左到右的变形成立吗？为什么？【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知（一）分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即··A A C A A CB BC B B C÷==÷，（A、B、C均为整式，且C≠0）试一试【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.（二）分式的约分分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由2122x x x x =--，就是分式的约分. 最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.试一试4.约分：【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.（三）分式的通分思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？试一试5.将下列分式通分：【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.三、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c=.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入，初步认识问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时，其过程如下：原式=xy÷1=xy，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.试一试计算：【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析，掌握新知例计算：（1）参见教材P139例5第（2）小题；（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.四、运用新知，深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算：（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；（2）参见教材P146第3题第（4）小题.【教学说明】学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.五、师生互动，课堂小结本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1.理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.2.经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.3.进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】分式的加减法运算方法.【教学难点】异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.一、情境导入，初步认识问题1参见教材P139“问题3”.问题2参见教材P139“问题4”.【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为11)3(n n ++ 和322121()s s s s s s --- ，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P140“思考”.【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.三、典例精析，掌握新知例 参见教材P140例6.解：参见教材P140例6“解”部分.四、运用新知，深化理解参见教材P141“练习”.【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：如（1）中的最简公分母；（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将22a a b- 化为()()a a b a b +- ，再通分等.五、师生互动，课堂小结1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.第2课时分式的混合运算1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.3.在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.4.进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入，初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.四、运用新知，深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多。
第5课时：分式及分式方程
第5课：分式的运算、分式方程及应用主备：蔡文娟 审核：羊淑霞一、中考要求：1.了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．2.理解分式方程的概念，会解分式方程；3.会用分式方程解决实际问题。
二、知识要点： 1．分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说：①当____________时分式有意义。
②当____________时分式没有意义。
③同时满足___________________________条件时，分式的值是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的___________ 。
2.分式方程的定义：___________________的方程，叫做分式方程.3.解分式方程步骤：1.去分母，转化成整式方程：方程两边同乘最简公分母;2.解整式方程；3.检验（检查求出的根是否是增根）。
4．分式方程的增根：分式方程的增根是原分式方程去分母后转化为整式方程的根，它使得最简公分母为0，所以原分式方程无解或者说分式方程有增根、四、典型例题：1. 在2221123,0,,13,,,,323x y x x x x x x y π+--中，整式有_____个，分式有_____个。
2. 分式x x 312-与922-x 的最简公分母是 。
3. 当x 取何值时，分式（1）21xx x ++； （2）3221x x -+； （3）24x -有意义。
4. 当x 取何时，分式（1）221x x x --+； （2）33x x -+的值为零。
第5课时 一元一次方程和分式方程
知识点1：一元一次方程的解的概念
1.若x=1是方程mx-3m+2=0的解，则m的值为（ C ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
知识点2：解一元一次方程
2. 解方程：5x=3（x-4）
解：5x=3x-12 5x-3x=-12 2x=-12 x=-6
知识点2：解一元一次方程
3. 解方程：3x 1 2x 1ຫໍສະໝຸດ 1 x2 4
1
解：x(x+2)-1=x2-4
x2+2x-1=x2-4
2x=-3
x3 2
经检验x 3 是原方程的解 2
原方程的解为x 3 2
知识小结
1.如果一个数是方程的解，那么这个数就能直接代入到方 程的未知数中. 2.去分母时不要漏乘没有分母的项. 3.解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个 整式，约去分母，•把分式方程转化为整式方程来解，所乘 的整式取方程中出现的各分式的最简公分母. 4.检验是解分式方程的重要步骤，不能遗漏.
2019中考总复习—数学
第二章 方程与不等式
第5课时 一元一次方程和分式方程
考点梳理
1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的 次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 2.解一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项 ；(4) 合并同类项；(5) 系数化为1. 3.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 4. 解分式方程的步骤：(1) 去分母:方程两边都乘以最简公 分母,化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3) 验根: 将整 式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整 式方程的解是原分式方程的解；否则，就不是原分式方程的 解,必须舍去.
八年级三维参考答案
八年级三维参考答案第1课时从分数到分式【基础巩固】1.B2.A 点拨:根据分式的概念知的分母都含有字母,所以它们是分式.故选A.此题易把当作分式,而π是一个常数,不是字母,所以是整式.注意分式定义包含两点:①在中,B中含有字母;②B不能为零.3.B 点拨:分式值为零的条件是:①分子为0,②分母不为0.由分子x2-1=0,得x=±1,由分母x+1≠0,得x ≠-1,∴当x=1时,分式值为零.4.(1)a=0 (2)a=(3)a<且a≠0 (4)a>5.6.解: (1)当x+3≠0,即x≠-3时,分式有意义;(2)当x+3≠0且2x2-18=0,即x=3时,分式的值为零.点拨:求使分式的值等于零的数,可令分子等于零,但是求出的值要代入分母验证,看分母是否为零,使分母为零的值不是原分式方程的解.【能力提升】1.A2.C3.D4.A 点拨:分式的值为正数的条件为分子、分母同号,即1-4x<0,所以x>.5.6.(1)≠3 (2)2 (3)-37.6 点拨:当x=2时,分式无意义,即分母x2-5x+a=0,将x=2代入即可求出a=6.8.解: (1)环;(2)总的盐重为(m+5)克,而溶液的总质量为(m+n+5)克,所以盐水的含盐量为×100%.点拨:在计算平均值时,要谨防出现的错误;在应用题中,部分学生不太注重计算,经常会出现“=m+n”的错误.9.解:因为分式的值为负数,所以或解得.第2课时分式的基本性质【基础巩固】1.B 点拨:分式的符号法则是:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.2.B 点拨:约分是将分子与分母中的公因式约去.约分的方法和步骤包括:①当分子、分母是单项式时,公因式是相同因式的最低次幂与系数的最大公因数的积;②当分子、分母是多项式时,应先将多项式分解因式,约去公因式.3.B4.(1)10a2b2c (2)xy2(a-b) (3)3x(x+2)(x-2)5.解:6.解:点拨:分式约分时要注意分子、分母是多项式时一定要分解因式,转化为整式乘积的形式,这样才能确定公因式.确定公因式的方法:①找分子、分母的系数的最大公因数;②找分子、分母中相同的字母或因式(是多项式时一定要分解因式);③相同的字母或因式取次数最低的.此外,在约分的过程中还要注意对分子、分母的符号进行处理.7.解: (1)∵最简公分母为24x3y3z2,(2)∵2-2x=2(1-x)=-2(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,∴最简公分母是2(x-1)2,点拨:通分的关键是确定最简公分母,最简公分母确定的方法:①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数;②最简公分母的字母因式,取各分母所有不同字母及因式的最高次幂的积.【能力提升】1.B2.C3.D4.C5.C6.A7.D 点拨:因为,所以,所以|a|=-a,所以a<0且a-1≠0,所以a<0. 8.9.解: (1)原式=,当x=5时,原式=9;(2)原式=,当x=110,y=10时,原式=.10.解:分两种情况讨论:当a=±3时,分母a2-9=0,所以分式无意义.当a≠±3时,要使分式的值为正整数,3-a应为6的正因数,所以3-a=1或3-a=2或3-a=3或3-a=6.所以a=2或a=1或a=0或a=-3.由于a≠-3,所以a=2或a=1或a=0.点拨:此题需经过约分化简之后再求满足条件的a的值,要注意所求的a的值要满足使分式有意义.11.解:显然x≠0,则第3课时分式的乘除【基础巩固】1.C2.B3.4.1.55.6.解:当m=6时,原式=.点拨:注意本题所选取的m的值应该使原式有意义.如m的值不能选取-1、1、-2.7.解: (1)当x=2时,原式=1;(2)当x=-3时,原式=1.【能力提升】1.B2.C3.C4.C 点拨:5.6.点拨:7.x≠3且x≠4且x≠-2 点拨:需考虑分式化简前后分式有意义的条件.8.-4021 点拨:应先进行分式化简再代入.9.解: (1)(2)10.解:与x的值无关(除0和±1外).∴当x=2010或2001时,原式的值都为0.11.解:设则x=2k,y=3k,z=4k,第4课时分式的乘方及乘除混合运算【基础巩固】1.D2.C3.±14.解:点拨:分式的乘方应对分式的分子、分母中每个因式分别乘方,包括系数.特别地,当系数为负数时,计算时先确定结果的符号.乘方与乘除法的混合运算中,应先算乘方,后算乘除.5.解:由,得解得【能力提升】1.B2.A3.C4.5.9 点拨:先对进行化简.6.7.解:第5课时分式的加减【基础巩固】1.D2.B3.B4.C5.1 点拨:6.x(x+2)(x-2)7.8.解:点拨:异分母分式的加减法一定要先通分,再加减.分母是多项式的异分母分式相加减,要先将分母分解因式,确定最简公分母再通分.【能力提升】1.A2.A3.(1)-1 (2)14.(1)B (2)不正确漏掉了分母(3)5.解:6.解:当a=2011,b=2012时,原式=4b=8048.7.解:解不等式组得-5≤x<6.当x=-4时,原式=.(选取的数不为5,-5即可,答案不唯一)第6课时分式的混合运算【基础巩固】1.B2.D3.解:4.解:,当x=3时,原式=4.点拨:这是一道分式混合运算的题,首先算括号里的,即通分;再进行分式的除法运算;最后代入使原式有意义的x的值,再求值.5.解:当6.解:又由x+4>0解得x>-4,由2x+5<1解得x<-2,∴不等式组的解集为-4<x<-2,其整数解为x=-3.【能力提升】1.B2.D3.B4.B 点拨:5.a6.a-17.8.9.解:∵x是整数,∴x=3.当x=3时,原式=;∵，且x为整数,∴若使分式有意义,x只能取-1和1.当x=1时,原式=.当x=-1时,原式=1.第7课时整数指数幂【基础巩固】1.A 点拨:2.C3.A4.8×10-8m 点拨:根据把一个小于1的数用科学记数法表示的规定可得.5.点拨:6.解:(3)原式=3-1+4-1=5.7.解:光纤的横截面积为1×π×÷(400×103)=4π×10-9(平方米),∴10-4÷(4π×10-9)≈7.962×103.答:1平方厘米是这种光纤横截面积的7.962×103倍.【能力提升】1.D2.D3.9.63×10-54.(1)2 (2)2 (3)-15.解:左边=(52)2m÷52m-1=54m÷52m-1=52m+1,右边=53,∴52m+1=53,解得m=1.6.解:根据题意,得a+b=0,cd=1,x=±1,y=±2,∴(±1)0=1,(±2)2=4,∴原式=1+(-1)1999-4=-4.精彩一题(2)解:方法一:∵(x+x-1)2=x2+x-2+2=9,∴x2+x-2=7,∴x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2)-(x+x-1)=3×7-3=18,∴x5+x-5=(x2+x-2)(x3+x-3)-(x+x-1)=7×18-3=123.方法二:∵(x+x-1)2=x2+x-2+2=9,∴x2+x-2=7,∴x3+x-3=(x+x-1)·(x2+x-2)-(x+x-1)=3×7-3=18,∴x4+x-4=(x2+x-2)2-2=49-2=47,∴x5+x-5=(x+x-1)·(x4+x-4)-(x3+x-3)=123.第8课时分式方程【基础巩固】1.D2.B 点拨:根据分式方程的定义可知,是分式方程的有3.D4.x=2 点拨:去分母,得x=2x-2.解得x=2.经检验可知x=2是原方程的解.5.-2 点拨:去分母,解方程,得x=5+m.∵原方程无解,∴x=5+m不是原分式方程的解,∴m+5=3,∴m=-2.6.解:(1)方程两边都乘最简公分母(2x-1)(x-2),得2x(x-2)+x(2x-1)=2(2x-1)(x-2).解得x=.检验:把x=代入最简公分母(2x-1)(x-2)=≠0,∴x=是原方程的解;(2)原方程变形得.方程两边都乘x(x+1)(x-1),得7(x-1)+3(x+1)=6x,解得x=1.检验:把x=1代入最简公分母x(x-1)(x+1)=0.∴原方程无解.7.解:方程两边同乘(x-4)(x+k),得3(x+k)=4(x-4),解得x=3k+16.∵方程有正根,且x≠4,x≠-k,解得k>且k≠-4.【能力提升】1.D2.C 点拨:去分母,得3(x-1)=2x,解得x=3.经检验x=3是原方程的解.3.B 点拨:去分母,得x-1=m,∴x=m+1.∵分式方程无解,∴m+1=4,∴m=3.4.B5.6.57.18.m>2且m≠3 点拨:原分式方程两边都乘(x-1)得m-3=x-1,即x=m-2.因为x>0且x≠1,所以m-2>0且m-2≠1,即m>2且m≠3.9.解: (1)x=1; (2)方程两边同乘(x-1)(x+1),得2(x-1)-x=0,解得 x=2.检验:当x=2时,(x-1)(x+1)≠0,∴x=2是原方程的根; (3)方程两边同乘x(x+3)(x-1),得5(x-1)-(x+3)=0,解得 x=2.检验:当x=2时,x(x+3)(x-1)≠0,∴x=2是原方程的解.10.解:根据题意得,解得x=1,经检验,x=1是原方程的根,所以当x=1时,分式的值比分式的值大3.11.解:解分式方程得x=-m-2.∵x≠±2,∴-m-2≠±2,∴m≠-4且m≠0.解不等式组得x≤-2,∴-m-2≤-2,∴m≥0.∵m≠0,∴m>0.第9课时分式方程的应用【基础巩固】1.C2.C3.点拨:轮船顺水航行40千米所需要的时间为小时,逆水航行30千米所需要的时间为小时.4.解:设原计划x天完成任务,根据题意,得.解得x=14.经检验:x=14是原方程的解.答:原计划14天完成任务.5.解:设B车间每天能加工x件,则A车间每天能加工1.2x件,由题意,得解得x=320.经检验x=320是原分式方程的解.∴1.2×320=384(件).答:A车间每天能加工384件,B车间每天能加工320件.点拨:此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,再列出方程.列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答,必须严格按照这5步进行解题,规范解题步骤,另外还要注意完整性.由题意可得等量关系:A、B车间生产4400件所用的时间+B车间生产4400件所用的时间=20天,由等量关系可列出方程.6.解:(1)设第一批购进书包的单价是x元,则,解得x=80.经检验,x=80是原方程的解. 答:第一批购进书包的单价是80元;(2)×(120-80)+×(120-84)=1000+2700=3700(元).答:商店共盈利3700元.【能力提升】1.A2.A3.B4.5.点拨:乙每天的工作效率为,甲每天的工作效率为,根据“工作量=工作效率×工作时间”列方程.6.67.解:设甲车间每天加工零件x个,则乙车间每天加工零件1.5x个.根据题意,得经检验,x=60是方程的解,符合题意.1.5x=90.答:甲、乙两车间每天加工零件分别为60个、90个.8.解:设乙同学的速度为x米/秒,则甲同学的速度为1.2x米/秒,根据题意,得,解得 x=2.5.经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意.∴甲同学所用时间为+6=26(秒).乙同学所用时间为=24(秒).∵26>24,∴乙同学获胜.9.解: (1)设第一次每个书包的进价是x元.根据题意,得解得x=50.经检验,x=50是原方程的根.答:第一次每个书包的进价是50元;(2)设最低可打m折,则解得m≥8.答:最低可打8折.10.解: (1)设甲种玩具的进价为x元/件,则乙种玩具的进价为(40-x)元/件.根据题意,得,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴40-x=40-15=25.答:甲、乙两种玩具的进价分别为15元/件、25元/件;(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(48-y)件.根据题意,得解得20≤y<24.∵y是整数,∴y取20、21、22、23.答:商场共有4种进货方案.精彩一题解: (1)设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要天.根据题意,得解得x=90.经检验:x=90是原方程的解.∴90=60.∴甲、乙两队单独完成这项工程分别需要60天和90天;(2)甲、乙两队合作完成这项工程需要的天数为1÷=36(天).需要施工费用:36×(0.84+0.56)=50.4(万元).∵50.4>50,∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.第10课时复习课【综合复习】1.C2.D3.D4.B5.3.5×10-56.x≠0且x≠17.18.13 点拨:分式无意义,则2x-a=0;分式的值为0,则5x+3b=0且2x-a≠0.拨:10.解:去分母,得1=3x-1+4,解得.经检验:是原方程的解.11.解:=(a-2)(a+1)=a2-a-2.由a2-a=0,得原式=0-2=-2.12.解:化简原式=0, 因此只要保证x能使原式有意义,结果均正确.13.解:设甲单独用x天完成任务,乙单独用y天完成任务.根据题意,得解得所以即甲单独用18天完成任务,乙单独用9天完成任务.14.解:(1)设货物总量为单位“1”,由题意可得甲每次运吨,乙每次运吨.∵,∴乙车每次运的货物量是甲车每次运的货物量的2倍;(2)设货物共有x吨,那么甲每次运吨,乙每次运吨,甲运180吨时运了(次),乙运270吨时运了270÷=(次).由题意,得(x-180)÷=(x-270)÷,∵a≠0,x≠0,∴,解得x=540.∵甲车运180吨时,丙车运540-180=360(吨),∴丙车每次的运货量也是甲车运货量的2倍.所以甲车主应得运费:540×20×=2160(元),乙、丙两车主各得运费:2160×2=4320(元).即甲车主应得运费2160元,乙、丙两车主各得运费4320元.【聚焦中考】1.A2.A 点拨:A.,故本选项错误;B.,故本选项正确;C.,故本选项正确;D.,故本选项正确.3.C 点拨:方程的两边同乘(x+3)(x-3),得12-2(x+3)=x-3,解得x=3.检验:把x=3代入(x+3)(x-3)=0,即x=3不是原分式方程的解.故原方程无解.4.x+5 点拨:5.3 点拨:由题意,得-1=0,解得x=3,经检验,x=3是原方程的根.6.点拨:7.点拨:8.解:9.解: (1)去分母,得3(5x-4)+x-3=6x+5,解得x=2.检验:当x=2时,3(x-3)≠0,∴原方程的解为x=2;(2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得x(x+2)-(x+2)(x-2)=8.解得x=2.检验:当x=2时,(x+2)(x-2)=0,∴原分式方程无解.10.解:∵a=1,-3<b<且b为整数,∴b=-2或0.∴当a=1,b=-2时,原式=1-(-2)=3;当a=1,b=0时,原式=1-0=1;∵x2-1≠0且x2-x≠0且x2-2x+1≠0,∴x≠±1且x≠0.又∵-1≤x≤3,且x为整数,∴x=2或3.当x=2时,原式=;当x=3时,原式=.11.解: (1)设第一次每支铅笔进价为x元,根据题意,得解得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解.答:第一次每支铅笔的进价为4元;(2)设每支铅笔的售价为y元,根据题意,得解得y≥6.答:每支铅笔的售价至少是6元.12.解: (1)设李明步行的速度为x米/分,则骑自行车的速度为3x米/分,根据题意,得解得x=70.经检验,x=70是原方程的解.答:李明步行的速度是70米/分;(2)李明总共需要的时间为∴李明能在联欢会开始前赶到.13.解: (1)由题意,得,解得x=4.∴x2-1=16-1=15.答:乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时;(2)不能相同.理由如下:若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同,由题意,得解得x=1.经检验x=1不是原方程的解,∴原方程无解.答:乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不能相同.。
第5课时 分式
【解析】 由题意，知当x＝2时，分式无意义，
∴分母＝x2－5x＋a＝22－5×2＋a＝－6＋a＝0，∴a＝6； 当x2－5x＋a＝0时，Δ＝52－4a＝25－4a， ∵a＜6，∴Δ＝25－4a＞0， 故当a＜6时，方程有两个不相等的实数根， 即使分式无意义的x的值共有2个． 故答案为6，2. 【点悟】 (1)分式有意义的条件是分母不为0；(2)分式的值为
关系；②整体代入；③拆项变形或拆分变形等．
易错警示
谨防分式问题陷阱
x2 － 1 [2013· 淄博]如果分式 的值为 0，则 x 的值是( 2x＋2 A．1 B．0 )
C．－1
D．±1
【错解】 因为分式的值为0，所以分子为0，即x2－1
＝0，解得x＝±1，选择D.
【错因】 由分式的值为零的条件，得x2－1＝0，2x ＋2≠0， 由x2－1＝0，得x＝±1， 由2x＋2≠0，得x≠－1， 综上，得x＝1. 【正解】 A
【错因】 忽视分母不能为零这个条件．
x （x＋1）（x－1） 【正解】 原式＝ · ＝x－1， x x＋1 当 x＝4 时， 原式＝3.(x 可以取 1， 或－1 以外的任何值)
课时作业
第5课时
分式
考点管理
分母不为零 ． 1．分式有意义的条件是______________ 乘方 ， 2．混合运算：在分式的混合运算中，应先算________ 再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运 算，遇到括号，要先算括号里面的． 注意：(1)如果分式的分子与分母是多项式，应先将多 项式因式分解； (2)实数的各种运算律也适合分式的运算； (3)分式运算的结果要化成最简分式．
1 1． [2012· 湖州]要使分式x有意义， x 的取值应满足( B )
人教版八年级上册数学教案15.2 分式的运算(5课时)
15．2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除一、基本目标 【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算． 【过程与方法】经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．二、重难点目标 【教学重点】 分式的乘除法法则． 【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d.2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y 7x ÷⎝⎛⎭⎫－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？ 【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2abc ＝abc .(2)原式＝y 7x ·⎝⎛⎭⎫－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1a ，结果正确的是( D )A.12 B ．a ＋1a ＋2C ．a ＋1aD ．a a ＋12．计算： (1)x 2y x 3·⎝⎛⎭⎫－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1x.(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b3b .(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x4－x.(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 235(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a的值． 【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.4a 2－ab16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝24a －b. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时 分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标 【知识与技能】理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序． 【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．二、重难点目标 【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序． 【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．教材第138页“思考”：⎝⎛⎭⎫a b 2＝a 2b 2；⎝⎛⎭⎫a b 3＝a 3b 3；⎝⎛⎭⎫a b 10＝a10b 10.2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x. 【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算． 【解答】原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)－(x －3)＝－2x －2【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－2b 2a 33； (2)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2·⎝⎛⎭⎫c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知⎝⎛⎭⎫x 3y 22÷⎝⎛⎭⎫－x y 32＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．32．计算：(1)3ab 22x 3y ·⎝⎛⎭⎫－8xy 9a 2b ÷3x (－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2÷⎝⎛⎭⎫a c 4； (4)⎝⎛⎭⎫a －b ab 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －a 3·(a 2－b 2)． 解：(1)16b 29ax 3.(2)(x －y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系． 【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2＝1.∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．故小明的发现是正确的．【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.2 分式的加减 第3课时 分式的加减一、基本目标 【知识与技能】1．理解分式的加减法法则，并能正确计算分式加减法． 2．掌握异分母分式加减法的计算步骤，并能正确计算． 【过程与方法】经历思考、类比、归纳的过程，理解分式的加减法法则，在掌握分式通分的基础上，掌握异分母分式加减法的计算方法．【情感态度与价值观】类比分数的加减法法则理解分式的加减法法则，养成类比思考的习惯，通过运用分式的加减法法则进行加减法运算，提高运算能力．二、重难点目标 【教学重点】 分式的加减法法则． 【教学难点】异分母分式的加减法的计算步骤．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P139～P140的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．观察填空： (1)15＋25＝35； (2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56； (4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减． 2．类比分数的加减，你能说出分式的加减法则吗？ (1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用字母表示为a c ±b c ＝a ±bc.(2)异分母分式相加减，先先通分，变为同分母的分式，再加减. 用字母表示为a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bcbd .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x ＋3y x 2－y 2－x ＋2yx 2－y 2； (2)1a ＋3＋6a 2－9； (3)m ＋2n n －m －n m －n ＋2m n －m ； (4)1x －3＋1－x 6＋2x －6x 2－9. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算，异分母分式相加减时，应该注意什么？【解答】(1)原式＝x ＋3y －(x ＋2y )x 2－y 2＝5yx 2－y 2. (2)原式＝a －3(a ＋3)(a －3)＋6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3(a ＋3)(a －3)＝1a －3. (3)原式＝m ＋2n n －m ＋n n －m ＋2mn －m＝3m ＋3n n －m.(4)原式＝2(x ＋3)2(x ＋3)(x －3)＋(1－x )(x －3)2(x ＋3)(x －3)－122(x ＋3)(x －3)＝－(x 2－6x ＋9)2(x ＋3)(x －3)＝－x －32x ＋6.【互动总结】(学生总结，老师点评)异分母分式相加减时，首先要通分，变为同分母分式再加减．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列运算中正确的是( C ) A.a a －b －b b －a＝1 B ．m a －n b ＝m －n a －bC.a 2a －b －b 2a －b ＝a ＋b D ．b a －b ＋1a ＝1a3．计算： (1)3a ＋2b 5a 2b ＋a ＋b 5a 2b ；(2)b 2a －b ＋a 2b －a； (3)3b －a a 2－b 2－a ＋2b a 2－b 2－3a －4b b 2－a 2； (4)x x －y ＋x x ＋y －x 2x 2－y 2. 解：(1)4a ＋3b5a 2b .(2)－a －b .(3)a －3ba 2－b 2. (4)x 2(x ＋y )(x －y ). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B x ＋1，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．【解答】Ax －2－Bx ＋1＝A (x ＋1)(x ＋1)(x －2)－B (x －2)(x ＋1)(x －2)＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2).因为3x ＋4x 2－x －2＝Ax －2－Bx ＋1＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝3，A ＋2B ＝4.解得⎩⎨⎧A ＝103，B ＝13.故4A －B ＝4×103－13＝13.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程，求出A 、B 的值，从而求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第4课时 分式的混合运算一、基本目标 【知识与技能】1．明确分式混合运算的运算顺序．2．运用分式的运算法则正确计算分式的混合运算． 【过程与方法】经历计算、对比、归纳的过程，明确分式混合运算的运算顺序，在明确运算顺序的基础上，正确计算分数的混合运算．【情感态度与价值观】类比分数的混合运算的运算顺序得出分式的混合运算顺序，养成类比思考的习惯，通过运用分式的运算法则进行混合运算，提高运算能力．二、重难点目标 【教学重点】分式混合运算的运算顺序．【教学难点】正确计算分式的混合运算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P141～P142的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．2．分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)x x －y ·y 2x ＋y －x 4y x 4－y 4÷x 2x 2＋y 2； (2)⎝⎛⎭⎫2a b 2·1a －b －a b ÷b 4； (3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的混合运算运算顺序计算． 【解答】(1)原式＝xx －y ·y 2x ＋y －x 4y(x 2＋y 2)(x 2－y 2)·x 2＋y 2x2＝xy 2(x －y )(x ＋y )·－x 2yx 2－y 2＝xy (y －x )(x －y )(x ＋y )＝－xy x ＋y .(2)原式＝4a 2b 2·1a －b －a b ÷b 4＝4a 2b 2(a －b )－4a b2＝4a 2－4a (a －b )b 2(a －b ) ＝4abb 2(a －b )＝4ab (a －b ).(3)原式＝[x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2]·x －(x －4) ＝[(x ＋2)(x －2)x (x －2)2－x (x －1)x (x －2)2]·x －(x －4)＝x 2－4－x 2＋x x (x －2)2·x －(x －4)＝－1x 2－4x ＋4.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，注意结果化成最简分式或整式．活动2 巩固练习(学生独学)1．若代数式⎝⎛⎭⎫A －3a －1·2a －2a ＋2的化简结果为2a －4，则整式A ＝( A ) A ．a ＋1 B ．a －1 C ．－a －1 D ．－a ＋12．计算：(1)⎝⎛⎭⎫x 2x －2＋42－x ÷x ＋22x ； (2)⎝⎛⎭⎫a a －b －b b －a ÷⎝⎛⎭⎫1a －1b ； (3)⎝⎛⎭⎫1＋y x －y ⎝⎛⎭⎫1－xx ＋y ；(4)⎝⎛⎭⎫x 2y 2·y 2x －x y 2·2y 2x.解：(1)2x . (2)－ab (a ＋b )(a －b )2. (3)xy x 2－y 2. (4)x －16y 8y.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】先化简⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1，再从不等式2x －1<6的正整数解中选择一个适当的数代入求值．【互动探索】先化简代数式→解一元一次不等式→从解集中选择一个数代入求值． 【解答】原式＝x －2x －1÷(x －2)2(x ＋1)(x －1)＝x ＋1x －2.由2x －1<6，得x <72.故不等式的正整数解为1,2,3.当x ＝3时，原式＝x ＋1x －2＝3＋13－2＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)选择x 的值时，要使每个分式都有意义． 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.3 整数指数幂(第5课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质．2．掌握利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数． 【过程与方法】经历思考、计算、对比的过程，理解负整数指数幂的意义，在此基础上，将正整数指数幂的性质推广到任意整数，从而掌握整数指数幂的性质．【情感态度与价值观】类比正整数幂的性质，结合负整数指数幂的意义，推导出整数指数幂的性质，养成类比思考的习惯，通过运用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数，提高运用所学知识的能力．二、重难点目标 【教学重点】负整数指数幂的意义，整数指数幂的运算性质． 【教学难点】用科学记数法表示一些小于1的正数．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P142～P145的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 一、负整数指数幂1．正整数指数幂的运算有：(a ≠0，m 、n 为正整数) (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)(ab )n ＝a n b n ； (4)a m ÷a n ＝a m －n ； (5)⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n ； (6)a 0＝1.2．负整数幂：一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n(a ≠0)，这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．二、科学记数法1．绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数．n 等于原数的整数数位减去1.(2)用科学记数法表示：100＝102；2000＝2.0×103；33000＝3.3×104.2．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式．(其中n 是正整数，1≤|a |＜10)3．用科学记数法表示：0.01＝1×10－2；0.001＝1×10－3；0.0033＝3.3×10－3. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x 2y －3(x －1y )3；(2)(2ab 2c －3)－2÷(a －2b )3；(3)3a －2b ·(2ab －2)－2；(4)4xy 2z ÷(－2x －2yz －1)．【互动探索】(引发学生思考)利用整数指数幂的运算性质进行计算时应该注意些什么？ 【解答】(1)原式＝x 2y －3x －3y 3＝x －1y 0＝1x .(2)原式＝14a －2b －4c 6÷(a －6b 3)＝14a 4b －7c 6＝a 4c 64b 7.(3)原式＝3a －2b ·14a －2b 4＝34a －4b 5＝3b 54a4.(4)原式＝－2x 3yz 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用整数指数幂的运算性质进行计算，结果负整数指数幂写成分数的形式．【例2】用科学记数法表示下列各数： (1)0.0000001； (2)0.00024； (3)0.0000000035.【互动探索】(引发学生思考)用科学记数法表示小于1的正数，一般形式是怎样的？ 【解答】(1)0.0000001＝1×10－7. (2)0.00024＝2.4×10－4. (3)0.0000000035＝3.5×10－9.【互动总结】(学生总结，老师点评)小于1的正数可以用科学记数法表示为a ×10－n 的形式，其中1≤a <10，n 是正整数．【例3】计算：(1)(2×10－6)2·(3×10－4)；(2)(3×10－5)3÷(10－3)－2.【互动探索】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算应该注意些什么？【解答】(1)(2×10－6)2·(3×10－4)＝(4×10－12)·(3×10－4)＝12×10－16＝1.2×10－15. (2)(3×10－5)3÷(10－3)－2＝(27×10－15)÷106＝27×10－21＝2.7×10－20.【互动总结】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算，结果应符合科学记数法．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算(－π )0÷⎝⎛⎭⎫－13－2的结果是( D ) A ．－16B ．0C ．6D ．192．计算：(1)(m 3n )－2·(2m －2n －3)－2；(2)(2xy －1)2·xy ÷(－2x －2y )；(3)⎝⎛⎭⎫b a －2·⎝⎛⎭⎫a b 2； (4)(2m 2n －1)2÷3m 3n －5.解：(1)n 44m 2.(2)－2x 5y 2.(3)a 4b 4.(4)43mn 3.3．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000021； (2)0.00000034； (3)0.00102. 解：(1)2.1×10－5. (2)3.4×10－7. (3)1.02×10－3.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
第五课分式比例的性质
第五课 分式，比例的性质学习目标：理解分式的基本性质，会用分式的基本性质进行简单恒等变形；理解比例的性质，会应用比例的性质化简。
一、基本概念1. 分式的基本性质分式的分子与分母都同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质．．．．．．．。
用式子表示是B A =())(••B A ； B A =)()(÷÷B A （其中M 是不为零的整式）。
2．（1） 当分子、分母都含有负号时，分子、分母应同乘以-1,使分式的值不变，且分子分母都不含负号。
当分子或分母含有负号时，利用分式的基本性质及有关法则，把分子或分母的符号变为___________的符号。
3．合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。
字母：已知，且有，如果，则有。
推导过程：4．分比性质的表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
字母：已知，且有，如果，则有。
推导过程5. 合分比性质的表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
字母：已知，且有，如果，则有。
推导过程令则6. 等比性质的表达文字：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等字母：已知，且有，如果，则有。
推导过程证法一令，则证法二由合比性质即推论已知，且有，如果，则有7. 更比性质的表达文字：把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例.字母：如果a/b=c/d 那么a/c=b/d （b 、d≠0） 推导过程a/b=c/d 等号两边同乘bd 得 ad=cb 同除dc 得 a/c=b/d8. 外项的积等于内项的积文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
《解一元一次方程》一元一次方程PPT课件(第5课时利用去分母解一元一次方程)
巩固练习
5.解下列方程：
（1） x－5 1＝ 3x；
解:去分母,得3(x－1)=5x. 去括号,得3x－3=5x. 移项,得3x－5x=3.
合并同类项,得－2x=3.
系数化为1,得x=－
3 2
巩固练习
（2）
x－3 2
−
4x＋3 5
=1;
解：去分母，得5(x－3)－2(4x＋1)＝10.
去括号，得5x－15－8x－2＝10.
A. 1－（ x − 1 ）＝1
B. 2－3（ x − 1 ）＝6
C. 2－3（ x − 1 ）＝1
D. 3－2（ x − 1 ）＝6
巩固练习
3.解方程x＋2 1 ＋ x＋3 4＝ 65，为了去分母应将方程两边同乘 （A ）
A. 30
B. 15
C. 10 D. 6
4.将方程2t－3 5 － 3－5 2t＝ 3去分母后所得的结果是 5(2t－5)－3(3－2t)＝45 。
课堂小结
1.去分母的依据和作用. 2.解一元一次方程的步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等. 3.分母是小数时,如何解决?——分数的基本性质. 4.具体方程具体对待,灵活选取步骤.
当堂训练
1.在解方程x－3 1 ＋x＝ 3x＋2 1时，方程两边同时乘以6， 去分母后，正确的是（ B ） A. 2x－1 ＋6x＝3（ 3x＋1 ） B. 2（x－1 ）＋6x＝3（ 3x＋1 ） C. 2（x－1 ）＋x＝3（ 3x＋1 ） D. （x－1 ）＋x＝3（ x＋1 ）
系数化为1，得 x=230.
因此，王家庄距翠湖的路程为230km.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
解方程：3x 1 2 3x 2 2x 3
《分式的运算》ppt课件
底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 n 时， 水面的高度为多少？
问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕 地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍？
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么
（1）b a ；（2）2 b ；（3）ny my .
ac
a 2a
mx nx
课堂练习
练习2 计算a2
3x
（3）12xy 8x2 y； （4）x y y x ．
5a
x y x y
课堂练习
练习3 求出问题1和问题2的计算结果.
区别和联系？
布置作业 教材第8页第1题；第8页第2题．
例1 计算：（1）4x y ；（2）ab3 5a2b2 ．
3y 2x3
2c2 4cd
解: （1） 4x y 4xy 2 ； 3y 2x3 6x3y 3x2
（2）
ab3 2c2
5a2b2 4cd
ab3 2c2
4cd 5a2b2
4ab3cd 10a2b2c2
2bd . 5ac
课堂练习
练习1 计算：
创设情境，导入新知
问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕 地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍？
（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？
大拖拉机的工作效率为 a , m
小拖拉机的工作效率为 b . n
创设情境，导入新知
问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕 地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍？
分式的乘除第1课时 教案(表格式)(2024年版)人教版数学八年级上册
15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除课题第1课时分式的乘除授课人教学目标1.理解并掌握分式的乘除法法则,会进行分式的乘除法运算.2.经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程,培养学生类比的探究能力,加深对“从特殊到一般”的数学思想的认识.3.运用分式的乘除法法则进行运算.4.教学中让学生在自主探究、合作交流中渗透类比转化的思想,使学生感受探索的乐趣和成功的体验.教学重点运用分式的乘除法法则进行运算.教学难点分子、分母为多项式的分式乘除运算.授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾约分:(1)3a3b3c12ac2=;(2)(x+y)yxy2=;(3)x2+xy(x+y)2=;(4)x2-y2(x-y)2=.温故知新,为本节课做知识的铺垫.活动【课堂引入】分数的乘除:一:创设情境导入新课23×45=()×()()×();57×29=()×()()×();23÷45=23×()()=2×()3×();57÷29=57×()()=5×()7×().分数的乘法法则:分数乘分数,用作为积的分子,作为积的分母.分数的除法法则:除以一个的数等于这个数的.类比分数的乘除,猜一猜:ba×dc=()×()()×();ba÷dc=ba×()()=()×()()×().分式的乘法法则:分式乘分式,用作为积的分子,作为积的分母.分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母位置后,与被除式.1.从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲.2.使学生经历类比归纳等探索数学规律的思维过程.活动二:探究与应用【探究】1.填空:(1)ba·ac=;(2)2a·b2a=;(3)2a÷b2a=;(4)nymx·-mynx=.2.一个水平放置的长方体容器,其容积为V,底面长为a,宽为b,当容器内的水占容积的mn时,水面的高度为多少?1.使学生经历从特殊到一般再从一般到特殊的数学思维过程.2.由这些具体的实例使学生明确分式乘除法实际存在的意义.[答案] 长方体容器的高为V ab,水面的高度为V ab ·mn.3.大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?解:大拖拉机和小拖拉机的工作效率分别为am 公顷/天、bn 公顷/天,所以大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的a m ÷bn 倍. 【应用举例】1.分子、分母为单项式的分式乘除 例1 计算: (1)4x 3y ·y 2x 3;(2)ab 32c 2÷-5a 2b 24cd.归纳:(1)运算结果应化为最简形式. (2)分式除法应“变除为乘,除式颠倒”.(3)运算中,分式的乘除运算跟整式运算一样,先判断运算符号,再计算结果.2.分子、分母为多项式的分式乘除 例2 计算: (1)a 2-4a+4a 2-2a+1·a−1a 2-4; (2)149−m 2÷1m 2-7m . 归纳:(1)分子、分母为多项式时,通常先将多项式分解因式,以便约分. (2)若运算中遇到整式,可将整式看成分母是1的分式.1.通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法,掌握解决数学问题的基本技能,增强学生解决问题的能力.2.通过例题教学使学生掌握基本的数学语言、规范其解题书写格式.3.通过具体问题,让学生自主探索,教师引导学生比较、探究,并进行充分讨论,最后统一认识,总结归纳出分式乘除法计算的方法.(续表)活动 二: 探究【拓展提升】例3 如果m 3=n2≠0,那么3m−n4m 2-n 2·(2m+n )的值是 .1.通过对分式的化简、变形与求值,培养学会“简化”的意识,进一与应用学生先独立完成对3m−n4m2-n2·(2m+n)的化简,求值,再与同桌或小组讨论解答.例4教材图15.2-1,“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 kg.图15-2-3(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?教师引导学生进行探索,必要时进行适当地启发和提示.注意提示学生:因为a>1,所以(a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1)<0,即(a-1)2<a2-1.步学习对于比例式问题采用引入参数法解答的操作方法.2.利用分式的乘除法解决生活中的实际问题,提高“用数学”的意识.【达标测评】1.化简分式5ab3c·12c25ab2的结果是()A.43B.4cbC.4a3bD.45bac2.化简m−1m÷m−1m2的结果是( )A.mB.1mC.m-1D.1m−13.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图15-2-4所示:图15-2-4当堂检测,及时反馈学习效果.接力中,自己负责的一步出现错误的是 ( )A .只有乙B .甲和丁C .乙和丙D .乙和丁 4.计算:(1)a+2a−2·1a 2+2a ; (2)(xy -x 2)÷x−y xy ;(3)x 3-2x 2+4x x 2-4x+4÷x 2-2x+4x−2.5.已知x 2+x -5=0,求x 2-x -6x−3÷x+3x 2+2x−3的值.活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】1.本节课你学习了什么?2.本节课你有哪些收获?3.通过本节课的学习,你想进一步探究的问题是什么?师生归纳:(1)分式的乘除法法则.(2)若分式的分子、分母是几个因式的积,直接约去分子、分母的最大公因式.(3)若分子、分母含有多项式,先分解因式,再进行约分. (4)最后结果为最简分式或整式. 通过对学习情况进行反思,积累学习经验,帮助学生获得成功的体验.【知识网络】框架图式总结,更容易形成知识网络.【作业布置】教材第146页习题15.2第1,2题.根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.【教学反思】 ①[授课流程反思]课堂导入时教师注意引导学生梳理知识,培养学生的总结归纳能力,使学生对这部分知识有一个清晰的了解. ①[讲授效果反思]教学反思,更进一步提升教师的教学能力.学生在数学活动中,通过积极有效地参与,达到知识和能力、过程和方法、情感态度价值观等目标的全面落实.①[师生互动反思]学生分组讨论,教师参与指导,尤其是分式大小的比较,学生理解困难,此时发挥学生的作用,采取“兵教兵”的方式,培养学生善于合作的意识,也让学生掌握了分式做比较的方法.①[习题反思]好题题号错题题号。
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第17章 分式（第5课时）
姓 名：
学习课题：分式的概念及综合运算
练习目标：
1、巩固分式的概念，判断分式有意义时字母的取值。
2、学生巩固分式的基本性质，熟练进行加减乘除运算。
练习重点：分式的加减乘除及综合运算。
练习难点：需要添、去括号的分式加减乘除运算。
一． 填空：
1、在代数式1-x x ，y x 32+-，2x ，x x 2-，π3a 中，分式是 。
2、当a 时，分式232+-a a 有意义；当a = 时，分式232+-a a 无意义。
当a = 时，分式232+-a a 的值为0；(思考)当x = 时，分式x
x x --21的值为0。
3、(回顾分式基本性质)（1）22)1(1+-x x ＝1+x ； （2）c c 72+＝71+c
4、计算：=22a ab ；=-xyz y x 932 ；=--x x x 62332 ；=-+-222
22y
x y xy x ；=⋅c a a b ； =-3)23(y
x ； 5、分式,21a ab
b 51,212-的最简公分母为 。
6、分式221
b a -，ab a +21的最简公分母 。
7、=+a a 21 ； =+-a b b b a a － ；xy x
322- = 。
8、在分式（1）22)4(1)3(1)2(1y x y x y x y x y x -++----+--中，与分式
y
x -1的值一定相等的是
二．计算： （1）a c a a c a ++- （2）xy z xy 329÷ （3）xy y x xy
y x 234322+÷-
（4）112---x x x （５）323111a a a a ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+- （６）⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅+-b a a b a b a a 2121
三．先化简，再求值： （１）9
62)331(2+-÷-++
x x x x x ，其中33+=x
（２）先化简，再求值：4
)412(222--÷-++m m m m m m ，其中1-=m
（３）先化简，再在选择一个你喜欢的a 的值进行计算：4
)21442(22
2-÷+++--a a a a a a .。