第二篇第3讲函数的奇偶性

第3讲 函数的奇偶性

A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x

－1，则f (log 1

26)等于

( )．

A ．－5

B ．－6

C ．－5

6 D ．－12

解析 f (log 1

26)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)． ∵log 26－2＝log 232∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛

⎭⎪⎫log 232＝12，

∴f (log 126)＝－1

2.

答案 D

2．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于

( )．

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3. 答案 A

3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是

( )．

A ．f ⎝ ⎛

⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3

B ．f (sin 1)

C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6

⎪⎫cos π6

D ．f (cos 2)>f (sin 2)

解析 当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，

显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π

3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f

⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛

⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A

4．(2013·连云港一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

1－2－

x ，x ≥0，

2x －1，x <0，

则该函数是 ( )．

A ．偶函数，且单调递增

B ．偶函数，且单调递减

C ．奇函数，且单调递增

D ．奇函数，且单调递减

解析 当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数． 答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

解析 由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 0

6．(2012·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.

解析 因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案 －1 三、解答题(共25分)

7．(12分)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )． (1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性．

解 (1)因为对定义域内任意x ，y ，f (x )满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )，所以令x ＝y ＝1，得f (1)＝0，令x ＝y ＝－1，得f (－1)＝0.

(2)令y ＝－1，有f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)，代入f (－1)＝0得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数．

8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )

解 由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，

因此f (1－m )

－2≤1－m ≤2，

－2≤m ≤2，

|1－m |<|m |.

解得：1

2

因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦

⎥⎤

12，2.

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )．

A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是奇函数

C ．f (x )＝f (x ＋2)

D ．f (x ＋3)是奇函数

解析 由已知条件，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)．由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，得f (－x ＋2)＝－f (x )；由f (－x －1)＝－f (x －1)，得f (－x －2)＝－f (x )．则f (－x ＋2)＝f (－x －2)，即f (x ＋2)＝f (x －2)，由此可得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即函数f (x ＋3)