第三章 回归预测法
第三章 回归分析预测法
(3)46
步骤：
(3)47
(3)48
(3)49
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X
1i 2 1i
X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 0 1 1 ˆ X 11 X 12 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k1 X k 2
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
5160.3 5425.1 5854.0 6280.0 6859.6 7702.8 8472.2
46.6 44.7 42.1 39.4 38.2 37.7 37.1
(3)20
(3)21
(3)22
三、一元线性回归模型的检验
进行预测是建立回归模型的目的， 只有当所建立的回归模型是正确的、显 著有效的时，才可以利用它来进行经济 预测
(3)7
• 回归分析(regression analysis)是研究一个变量 关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算 方法和理论。 • 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计 和（或）预测前者的（总体）均值。
• 两类变量；
–被解释变量（Explained Variable）或应变量 （Dependent Variable）。
上式称为样本回归方程又称为经验方程315二一元线性回归模型参数的估计316317根据微积分中求极值的原理对上式中的求偏导并令其为零得到如下方319例31以我国城市居民家庭人均可支配收入和恩格尔系数的关系为例说明回归模型参数的估计方法资料见下表320年份人均可支配收入xi恩格尔系数yi年份人均可支配收入xi恩格尔系数yi198913739545199751603466199015102542199854251447199117006538199958540421199220266530200062800394199325774503200168596382199434962500200277028377199542830501200384722371199648389488321322323进行预测是建立回归模型的目的只有当所建立的回归模型是正确的显著有效的时才可以利用它来进行经济预测324经济检验是检验估计出来的参数的符号大小是否与经济理论和实际经验相符合即是否具有经济意义
回归预测
回归预测法回归预测法回归预测法是指根据预测的相关性原则，找出影响预测目标的各因素，并用数学方法找出这些因素与预测目标之间的函数关系的近似表达，再利用样本数据对其模型估计参数及对模型进行误差检验，一旦模型确定，就可利用模型，根据因素的变化值进行预测。
回归预测法一元线性回归预测法(最小二乘法)公式：Y = a + b XX----自变量Y----因变量或预测量a,b----回归系数根据已有的历史数据Xi Yi i = 1,2,3,...n ( n 为实际数据点数目)，求出回归系数 a , b为了简化计算，令 ( X1 + X2 + ... + Xn ) = 0，可以得出a , b 的计算公式如下：a = ( Y1 + Y2 +... + Yn ) / nb = ( X1 Y1 + X2 Y2 + ... + Xn Yn ) / ( X12 + X22 + ... + Xn2 )回归分析预测法的概念回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系，因此，回归分析预测法是一种重要的市场预测方法，当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响市场预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。
它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预测方法。
回归分析预测法的分类回归分析预测法有多种类型。
依据相关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。
在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。
依据自变量和因变量之间的相关关系不同，可分为线性回归预测和非线性回归预测。
回归分析预测法的步骤1．根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
多元回归分析讲解和分析预测法
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消除多重共线性的常用方法：
（一）删除不重要的自变量 自变量之间存在共线性，说明自变量所提供的信息是重叠的，可以 删除不重要的自变量减少重复信息。 （二）追加样本信息 由于资料收集及调查的困难，追加样本信息在实践中并不容易。 （三）利用非样本先验信息 非样本先验信息主要来自经济理论分析和经验认识。 （四）改变解释变量的形式 改变解释变量的形式是解决多重共线性的一种简易方法，例如对于 横截面数据采用相对数变量，对于时间序列数据采用增量型变量。 （五）逐步回归法
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参考流程图
Hale Waihona Puke 2021/3/1052
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传统机械按键结构层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型， 尽量选择平头类的按键，以 防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计 间隙建议留0.05~0.1mm，以 防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计 算累积公差，以防按键手感 不良。
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3．模型检验
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t检验的基本步骤： 首先，通过公式计算t统计量
最后，进行判断
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4．多重共性分析
在预测分析中，若两个解释变量之间存在者较强的相关，则 认为回归分析中存在多重共线性。
多重共线性可能引起以下后果： （1）参数估计的精度较低； （2）回归参数的估计值对样本容量非常敏感，不稳定； （3）不能正确判断各解释变量对y的影响是否显著。 通过计算自变量之间的相关系数矩阵和经验直觉，来判断分 析自变量之间是否存在多重共线性。
回归分析预测法
14
这样，通过研究相关系数R，可作出两个因素之 间是否具有线性相关关系，且能判其相关程度。
相关程度的显著与不显著（即使相关性强，但某 因素对另一因素的影响不大，即不显著，那么这种因 素也是不重要的）有一个具体界限，这是R检验。
31
一. 指数曲线 y = a bx ( b>0) 取自然对数 ㏑y = ㏑a + x ㏑b 令 Y = ㏑y,A = ㏑a,B = ㏑b 则 Y = A + Bx 就构成一元线性方程。
利用原始数据 xi 及yi 求出 ㏑yi ，根据一元线性
回归公式，可以得到回归系数A，B。 同时考虑到A = ㏑a，a = eA
2
2.回归分析 研究变量之间的互相关系，把其中一些因素作为 控制的变量，而把另一些随机变量作为因变量，利用 适当的数学模型尽可能趋向于趋势变化的均值描述它 们的关系的分析，称为回归分析。 即假定 y 与 x 相关，应有 y = f ( x )
若 x1,x2, ‥‥‥ xn个变量影响y，应有 y = f (x1,x2, ‥‥‥xn)
27
2.若当日股价沿移动平均值前进，则BIAS在0值附近， 股价运行轨道不变，---------考虑继续持仓或减仓操作，
3.BIAS的数值表明了股价与市场平均成本的盈利或亏
损的百分比，即大多数投资者所据有的盈利或亏损空 间。
投资策略：
短线BIAS(5)
-3 ～ -5 +3 ～ +5
为买入时机 为卖出时机
5
二.方法分类 线性
一元 非线性
第三章 回归预测法
03第三章 回归分析预测法
ˆ ˆ x )2 ˆi ) 2 ( yi Q ei2 ( yi y 0 1 i
第三章>>第一节
二、一元线性回归模型参数的估计
根据微分学求极值的原理，对上式求偏导，并令其为 零 得方程组:
yi n 0 1 xi 2 xi yi 0 xi 1 xi
即哪个或哪些是被解释变量哪个或哪些是解释变量将影响研究对象的最主要的定量的经常发生作用的有数据支持的因素作为解释变量纳入模型之中并确定解释变量和被解释变量之间的变动方向解释变量之间相关性研究建模用于经济结构分析时选用恰当的统计指标慎重使用虚拟变量4确定模型的数学形式依据数理经济理论由散点图相关图趋势图观察样本数据变动模式
随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
2
1
随机误差项 建立的数学模型 的形式不够完善
3
的影响因素
测量误差
5 4
经济变量之间的 合并误差
第三章>>第一节
一、一元线性回归模型的建立
• （二）随机误差项的意义和标准假定
– 随机误差项u是无法直接观测的，为了进行回归分析， 通常设其满足以下标准假定： – 古典线性回归模型（classical linear regression model,CLRM）基本假定： 1. 零均值假定：u i 的期望为0，即：
• 一致性：随着样本量的增大，估计量的 • 值越来越接近被估计的总体参数
ˆ) P(
较大的样本量
B A
较小的样本量
ˆ
最小方差性证明略。
第三章>>第一节
三、一元线性回归模型的检验
• （一）经济检验
回归分析预测方法简介
研究某一随机变量（因变量）与其他一个或几个普通变量（自变量）之
间的数量变动关系，并据此对因变量进行估计和预测的分析方法。由回
归分析求出的关系式，称为回归模型
回归分析与相关分析的联系是，它们是研究客观事物之间相互依存
关系的两个不可分割的方面。在实际工作中，一般先进行相关分析，由
相关系数的大小决定是否需要进行回归分析。在相关分析的基础上建立
对上两等式联立求解，可得回归参数的估计值为：
2. OLS (Ordinary Least Square）估计
回归参数的估计值为：
n
n
n
n
xi yi
xi
yi
b
i 1 n
i1 i1 n
n xi2 ( xi )2
y a bx u
式中，x 代表影响因素，我们往往认为它是可以控制或预先给定的，故称之为自变 量；u 表示“非主要因素”的影响、随机变化、观测误差和模型数学形式设定偏差 等各种因素对 y 的影响的总和，通常称为随机扰动项；因变量 y 就是我们的预测对 象；常数 a, b 是待定的参数。 给定（x，y）的 n 对观测值（xi，yi），i 1,2,, n ，代入上式得
图 国内生产总值y与固定资产投资完成额x间关系的散点图
3.1 引言
（３）回归分析与相关分析的关系
相关分析是以相关关系为对象，研究两个或两个以上随机变量之间线
性依存关系的紧密程度。通常用相关系数表示，多元相关时用复相关系 数表示。
回归分析是对具有相关关系的变量之间的数量变化规律进行测定，
回归模型，以便进行推算、预测，同时相关系数还是检验回归分析效果
的标准。相关分析需要回归分析来表明客观事物数量关系的具体形式，
经济预测与决策之回归分析预测法
双变量线性回归模型的最小二乘估计
由最小二乘准则：ei2min 有：
e
2 i
ˆ 0
(Yi
ˆ 0 ˆ 1X i ) 2 ˆ 0
0
e
2 i
ˆ 1
(Yi
ˆ 0 ˆ 1X i ) 2 ˆ 1
0
2 (Yi ˆ 0 ˆ 1Xi ) 0 2 (Yi ˆ 0 ˆ 1Xi )Xi 0
8 2200 1400 500 290 250000 841ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 145000 4840000
9 2400 1550 700 440 490000 193600 308000 5760000
10 2600 1500 900 390 810000 152100 351000 6760000
合计 17000 11100 0 0 3300000 8890000 1680000 32200000
ei 0 eiXi 0
双变量线性回归模型的最小二乘估计式
ˆ 1
NXi Yi XiYi
NX
2 i
(X i
)2
ˆ 0
Yi N
ˆ 1
X i N
(3- 5) (3- 6)
双变量线性回归模型的最小二乘估计式
ˆ 1
(Xi X)(Yi (Xi X)2
Y)
ˆ 0 Y ˆ 1X
(3- 7) (3- 8)
经济预测与决策
之三 回归分析预测法
本章学习目的与要求
通过本章的学习，了解回 归分析预测法的概念；掌握回 归分析中各系数的计算方法及 回归预测方法。
本章学习重点和难点
重点是一元线性回归预 测法。
难点是区间估计。
第三章 回归预测法
残差正态性检验
用标准化残差图直观地判断误差项是否服从正态分布， 若残差正态分布成立，标准化残差也应服从正态分布； 在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2 到+2之间
标准化残差图
(例题分析)
销售收入与广告费用回归的标准化残差图
标准化残差的直方图和正态概率图 (例题分析)
销售收入与广告费用回归标准化残的直方图和正态概率图
则回归系数显著。
回本章目录
➢回归模型的显著性检验
检验假设： H0 : 回归方程不显著
H1 : 回归方程显著
检验统计量：
F
Hale Waihona Puke yyˆ yˆ2
y
2
n 2
~
F 1, n 2
检验规则：给定显著性水平 ，若 F F 1,n 2
则回归方程显著。
回本章目录
➢德宾—沃森统计量（D—W）
检验 ui 之间是否存在自相关关系。
1 n
(x0 x)2 (x x)2
0.898 0.0134 75 2.4476 0.0734
1 8
(75 28158
472 / 8)2 4722 / 8
(1.728,2.078)
回本章目录
• 例2 为研究销售收入与广告费用支出之间的关系，某医 药管理部门随机抽取20家药品生产企业，得到它们的 年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如下。绘制 散点图描述销售收入与广告费用之间的关系
进行回归
参数的最小二乘估计 (SPSS输出结果)
参数的最小二乘估计 (例题分析)
yˆ 274.5502 5.1309x
利用回归方程进行预测
对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程 得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型
预测与决策-回归分析预测法
一般值
|r|≥0.8，高度相关 0.8﹥|r|≥0.５，中度相关 0.5﹥|r|≥0.3，低度相关 0.３﹥|r|，不相关
注意事项
①r值很小，说明X与Y之间没有线性相 关关系，但并不意味着X与Y之间没有其 它关系，如很强的非线性关系。 如y=-x2+12x+4
②直线相关系数一般只适用于测定变量 间的线性相关关系，若要衡量非线性相 关时，一般应采用相关指数R。
xy nx y
x2 n(x)2
y2 n( y)2
xy x y (其中xy= xy )
x y
n
14
题目
15
编号 X
Y
X2
1 2 3 ……
合计
9 10 12 ……
339
1000 1100 1050 ……
30800
81 100 144 ……
6029
Y2
1000000 1210000 1102500 ……
社会的生产量与消费量，这时对何者为自变 量，何者为因变量就要根据研究目的来决定。 如果希望研究生产量的变化怎样影响消费量 的变化，则可将生产量定为自变量，消费量 定为因变量，反之亦然。
“你的头发怎么一天比一天少？”
“因为我天天都有忧虑的事。”
“你每天都忧虑什么呢？”
36
“我忧虑我的头发一天比一天少！”
R2 SR ST SE 1 SE
ST
ST
ST
R2 (YC Y )2 1 (Y YC )2
(Y Y )2
(Y Y )2
47
四、回归模型显著性检验
在上面的分析中，为了求得回归方程，我们曾假定x与y之 间存在着线性关系。在求得回归方程后，我们必须对这一 假定进行检验，以确定x与y是否的确存在线性关系。 经济理论检验 统计检验
回归预测方法
1988
655
232
151960
53824
429025
1989
704
202
42208
40804
495616
合计
4720
1167
600566
175661
2190104
试配合适当的回归模型并进行显著性检验；若1990年该省回定资产投资完成额 为249亿元，当显著性水平α＝0.05时，试估计1990年国内生产总值的预测区间。
合计
2746
2964
1735
885986 301765 51682 821058 478
经济预测与决策方法
用接线性相关拟合回归预测模型。如果次年该所经费预算定为380万元， 科技人员增加到200人，预测其收入可能达到多少？
根据题意要求，此二元线性回归预测模型为：
Yˆ b0 b1 b2 X 2
7
289
311
178
96721 31684 55358 89879 51441
8
298
318
181
101124 32761 57558 94764 5393
9
304
327
184
106929 33856 60168 99408 559
10
310
341
ห้องสมุดไป่ตู้187
116281 34969 63767 108438 594
( yi yˆi )2
n2
经济预测与决策方法
实例
一元线性回归模型计算表
年份
国内生产总值y
固定资产投资完成额x
xy
单位亿元
x2
y2
第3章回归预测法
第三章 回归预测法 第一节 一元线性回归预测法一元线性回归预测法是指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋势时，采用适当的计算方法，找到两者之间特定的经验公式，即一元线性回归模型，然后根据自变量的变化，来预测因变量发展变化的方法。
一、建立模型一元线性回归模型可表述为：i i i u x b b y ++=10，n i ,,1 =。
其中0b 、1b 是未知参数；i u 为剩余残差（或随机扰动）二、估计参数 三、进行检验 一元线性回归模型：⎩⎨⎧=++=.),0(...;,,1,210σN d i i u n i u x b b y ii i i 诸 ㈠标准误差∑=∧--=-==n i ii y y n n SSE MSE SE 12)(212 ㈡可决系数SSTSSESST SSR y yy y y y x x y y x x R ni ini ini i n i i n i i i -==--=--⎪⎭⎫⎝⎛--=∑∑∑∑∑==∧===1)()()()())((12121212212 ㈢相关系数∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr 12121)()())((说明：可查《概率论与数理统计教程》中的相关系数的临界值表。
㈣回归系数显著性检验0H ：01=b vs 1H ：01≠b ，由于，)2(~)2()2(112211---=--∧∧n t l n SSEb b n SSEl b b xxxxσσ，所以当0H 为真时，统计量)2(~)2(1--=∧n t l n SSEb t xx。
㈤F 检验（用于对回归模型作检验）0H ：回归方程不显著 vs 1H ：回归方程显著统计量)2,1(~)2()(1)(1212-=---=∑∑=∧=∧n F MSEMSRn y yy y F ni i ini i㈥德宾－沃森统计量（W D -）（用于检验i u 之间是否存在自相关关系） 如前所述，回归模型的剩余项i u 之间应该是相互独立的。
回归预测法.
回归预测法，是分析因变量与自变量之间相互关系，用回归方程表示，根据自变量的数值变化，去预测因变量数值变化的方法。
在经济预测中，人们把预测对象当作因变量，把那些与预测对象有关的因素当作自变量，收集自变量的充分数据，应用相关分析和回归分析求得回归方程，并利用回归方程进行预测。
回归预测法中的自变量，与时间序列预测法中的自变量不相同。
后者的自变量是时间本身，而前者的自变量不是时间本身，而是其他的变量。
回归预测法中的自变量与因变量之间，有的属于因果关系，有的屑于伴随关系。
不能认为只有因果关系才能进行回归预测，实际上伴随关系也是一种相关关系，只要收集大量的足够的资料，也可以用回归预测法进行预测。
在回归预测法中，自变量不是随机的或者是给定的，这与相关分析中自变量有所区别。
相关分析中的自变量是随机的。
二、回归预测法的条件在作回归预测时必须注意下列几个问题，这些问题是提高预测准确度的条件。
(1)经济现象之间，即作为因变量与自变量之间必须有关系。
怎样剖析两者有相关关系呢？从根本上说，只有通过马克思主义政治经济学的理论分析，才能正确作出判断，正确认识经济现象之间的内在的必然联系和外部的偶然联系，不为假相关所迷惑。
因此，切不可轻视理论分析而草率运用回归预测法。
(2)因变量与自变量之间的关系必须密切，要有强相关，而自变量与另一个自变量之间的关系，必须不密切，要求弱相关或零相关。
判断相关关系密切程度的方法，可以通过绘制相关图和计算相关系数。
根据历史资料绘制的相关图能判断相关的类型。
相关图的类型如有以下几种。
①零相关图。
当自变量x与因变量y没有相关关系，称为零相关，如图10-1。
②强正相关图。
当自变量x增大时，因变量y亦随之增大，点子的分布集中，呈直线形。
故两者有强相关。
如图10-2。
③弱正相关图。
当自变量x的数值增大时，y的数值也增大，但点子的分布不集中，两者之间仅有一定相关关系，称弱正相关。
如图10-3。
④强负相关图。
当自变量x增大时，因变量y亦随之减少，点子的分布集中呈直线形，两者之间有强烈的相关关系，称强负相关。
第三章 回归分析预测法 《统计预测与决策》PPT课件
残差分析; 异方差及自相关检验(DW)
24
拟合优度
• 拟合优度是指样本回归直线对观测数据 拟合的优劣程度。
• 如果全部观测值都在回归直线上，我们 就获得“完全的”拟合，但这是罕见的 情况，通常都存在一些正ei或负ei。我们 所希望的就是围绕回归直线的剩余尽可 能的小。
(基本假定)
1) 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值
为E ( y ) =b 0+ b 1 x
2) 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同
3) 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且 相互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
a. 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应 的ε与其他 x 值所对应的ε不相关
y
(xn ,yn)
yˆ bˆ0 + bˆ1x
(x2 ,y2)
｝
ei = yi＾-yi
(x1 ,y1) (xi , yi)
17
x
最小二乘估计式
• 根据最小二乘准则建立样本回归函数的 过程为最小二乘估计，简记OLS估计。
• 由此得到的估计值得计算式称为最小二 乘估计式。
18
双变量线性回归模型的最小二乘估计
36
▪ 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系
所解释的变异性
多元回归模型
(基本假定)
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即
E()=0 2. 对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，的
方差2都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，
即ε~N(0,2)，且相互独立
37
多元回归方程
第三章 回归预测法(含matlab算法)
例 题
饮料销售量 b0 b1气温 b2比分差
ˆ b0 b1x b2 z y
式中，y是因变量，x和z是自变量， b1、b2、b3是回归系数。
回归系数的计算可以通过以下联立方程求得：
y nb b x b z xy b x b x b xz zy b z b xz b z
R
2
ˆ) (y y 1 ( y y)
2 2
2 R 同一元线性回归的情况一样， 0
意味着回归模型没有对y的变差作出 2 R 1 则意味着回归模型 任何解释， 为y的全部变差做出解释。
（三）相关系数：
对于多元回归可决系数而言，多元 相关系数不提供任何新的信息，仅 仅是可决系数的平方根。
自相关和多重共线性问题
（二）多重共线性检
多重共线性是多元回归中出现的问题，简单回归不存在此问 题。任何两个自变量x和z之间的相关系数为：
rxz
( x x )(z z ) (x x ) (z z)
2
2
（一）点估计
ˆ b0 b1x0 b2 z 0 y
x0和z0分别为自变量的估计值
y 0 1 x1 ... p x p
b=regress( Y, X )
ˆ 0 ˆ 1 b ... ˆ p
Y1 Y Y 2 ... Yn
1 x11 1 x 21 X ... ... 1 x n1
0
x
对数函数的增长方式常被形象地称为能量渐失，因此在价格与利 润，收入与成本等问题有广泛应用
26
4．S 型曲线：
1 y a be x
第三章回归分析预测方法课件
简单线性回归方程的形式为 y b0 b1x e ,
也称为直线回归方程。其中， b0是回归直线在y轴上的截距； b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位 时，y的平均变动值。
x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
-1
0
1
2
x
(c)
-2
-1
0
1
2
x
(d)
y 02468
y -2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
(a)
y -2 -1 0 1 2
不相关
-3
-2
-1
0
1
2
x
(c)
y -2 -1 0 1 2
(b)
正相关
-2
-1
0
1
2
x
(d)
y 02468
y -2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
负相关
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上， 德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道， 但迟至1809年才正式发表。
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第三章 回归预测法
基本内容
一、一元线性回归预测法
是指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋势时，运用合适的参数估计方法，求出一元线性回归模型，然后根据自变量与因变量之间的关系，预测因变量的趋势。
由于很多社会经济现象之间都存在相关关系，因此，一元线性回归预测具有很广泛的应用。
进行一元线性回归预测时，必须选用合适的统计方法估计模型参数，并对模型及其参数进行统计检验。
1、建立模型
一元线性回归模型： i i i x b b y μ++=10
其中，0b ，1b 是未知参数，i μ为剩余残差项或称随机扰动项。
2、用最小二乘法进行参数的估计时，要求i μ满足一定的假设条件： ①i μ是一个随机变量；
②i μ的均值为零，即()0=i E μ；
③在每一个时期中，i μ的方差为常量，即()2
σμ=i D ；
④各个i μ相互独立； ⑤i μ与自变量无关； 3、参数估计
用最小二乘法进行参数估计，得到的0b ，1b 的公式为： ()()()
∑∑---=
2
1
x x y y x x b x b y b 10-=
4、进行检验
①标准误差：估计值与因变量值间的平均平方误差。
其计算公式为：()2
ˆ2
--=
∑n y y SE 。
②可决系数：衡量自变量与因变量关系密切程度的指标，在0与1之间取值。
其计算公式
为：()()()()
()()∑∑∑∑∑---=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡
----=222
2
2
2
ˆ1y y y
y y y x x y y x x R 。
③相关系数；计算公式为：()()()()
∑∑∑----=2
2
y y x x y y x x r 。
④回归系数显著性检验
i 检验假设：0:10=b H ，0:11≠b H 。
ii 检验统计量：b
S b t 1
=
~()2-n t ，其中()
∑-=2
x x SE
S b 。
iii 检验规则：给定显著性水平α，若αt t >，则回归系数显著。
⑤回归模型的显著性检验
i 检验假设：:0H 回归方程不显著 ，:1H 回归方程显著。
ii 检验统计量：()()()
2ˆˆ2
2
---=
∑∑n y
y y y
F ~()2,1-n F 。
iii 检验规则：给定显著性水平α，若()2,1->n F F α，则回归方程显著。
⑥得宾—沃森统计量（D —W ）：检验i μ之间是否存在自相关关系。
()∑∑==--=
-n
i i
n
i i i W D 1
222
1μ
μμ，其中i i i y
y ˆ-=μ。
5、进行预测
小样本情况下,近似的置信区间的常用公式为：置信区间=tSE y
±ˆ。
二、多元线性回归预测法
社会经济现象的变化往往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以上自变量的回归成为多元回归。
多元回归与医院回归类似，可以用最小二乘法估计模型参数。
也需对模型及模型参数进行统计检验。
选择合适的自变量是正确进行多元回归预测的前提之一，多元回归模型自变量的选择可以利用变量之间的相关矩阵来解决。
1、 建立模型—以二元线性回归模型为例
二元线性回归模型：222110i i x b x b b y μ+++=。
类似使用最小二乘法进行参数估计。
2、 拟合优度指标
①标准误差：对y 值与模型估计值之间的离差的一种度量。
其计算公式为：
()3
ˆ2
--=
∑n y y SE
②可决系数：()()
∑∑---
=2
22
ˆ1y y y
y R。
02
=R 意味着回归模型没有对y 的变差做出任
何解释；而12=R 意味着回归模型对y 的全部变差做出解释。
3、 置信范围
置信区间的公式为：置信区间=SE t y
p ±ˆ，其中p t 是自由度为k n -的t 统计量数值表中的数值，n 是观察值的个数，k 是包括因变量在内的变量的个数。
4、自相关和多重共线性问题
①自相关检验：()∑∑==--=
-n i i n
i i i W D 12
2
2
1μμμ，其中i i i y
y ˆ-=μ。
②多重共线性检验
由于各个自变量所提供的是各个不同因素的信息，因此假定各自变量同其他自变量之间是无关的。
但是实际上两个自变量之间可能存在相关关系，这种关系会导致建立错误的回归模型以及得出使人误解的结论。
为了避免这个问题，有必要对自变量之间的相关与否进行检验。
任何两个自变量之间的相关系数为：()()
()()
∑∑∑----=
2
2
y y x x y y x x r ，经验法则认为相
关系数的绝对值小于0.75，或者0.5，这两个自变量之间不存在多重共线性问题。
三、非线性回归预测法 在社会现实经济生活中，很多现象之间的关系并不是线性关系，对这种类型现象的分析预测一般要应用非线性回归预测，通过变量代换，可以将很多的非线性回归转化为线性回归。
因而，可以用线性回归方法解决非线性回归预测问题。
选择合适的曲线类型不是一件轻而易举的工作，主要依靠专业知识和经验。
常用的曲线类型有幂函数，指数函数，抛物线函数，对数函数和S 型函数。
四、应用回归预测法时应注意的问题
应用回归预测法时应首先确定变量之间是否存在相关关系。
如果变量之间不存在相关关系，对这些变量应用回归预测法就会得出错误的结果。
正确应用回归分析预测时应注意：
①用定性分析判断现象之间的依存关系； ②避免回归预测的任意外推； ③应用合适的数据资料；。