电势及其计算
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§8.5 静电场的保守性
描述电场状态
E电力线
U 等势面
b
一、静电场的保守性（保守力场）
（1）点电荷电场
rb L
dr
设点电荷q 固定于某处，另一点
电荷 q0 在 q产生的电场中从点 a 经任
意路径 小位移
Ldl移，动该到处点场b强,在为 LE上，任则取电微场
力对 q0 所作的元功为
r dr
q
r
dl
说明：
• 电势能是属于系统的，为场源电荷与试验电荷所共有。是试 验电荷与电场之间的相互作用能。
• 电势能的量值与电势能零点的选择有关是相对量。 对有限的带电体，通常选无穷远处为静电势能的零点，在实际 问题中有时选择地球表面为零势能。
• 当 Aab 0 时，电场力作正功，Wa Wb ，电势能减少； 当 Aab 0
？ 无限大带
电平面的零 势点如何选
R
r l
此时无法描述空间各点电势的差异！！
rl
E
对无限长均匀带电直线，通常取何处为电势零点？
12
二、电势叠加法
1. 对点电荷系，场强满足场强叠加原理，即 所以点电荷系电场中任一点的电势为
n
E Ei i 1
U
E dl
P
n n
P Ei dl
电荷所作的功，只取决与试验电荷及其始末位置， 与路径无关。
2
（2）静止的点电荷系、电荷连续分布带电体
b
点电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有 •
b
Aab q0 a E dl Aab1 Aab2
n i 1
qi q0
4 0
1 ria
1 rib
L a•
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有 关，与所通过的路径无关.静电场的这一特性称静电场
离点电荷越远电势越低；在负电荷场中，离点电荷越
远电势越高。 9
例二 求均匀带电球面电场中任一点 P 处的电 势。设球面半径为 R ，总带电量为 q 。
解：由高斯定理求得均匀 带电球面的场强分布为
q
E 4 0r 2
rR
0
rR
R
O
qU
4 0R
选无限远为电势零点 U 0
OR
r
10
沿径向积分，得
电势定义法（线积分法）：
Ua
E dl ,
a
b
Ua
E dl
a
电势叠加法：
dq
U dU 4 0r
n
U
qi
i1 4 0 ri
一、电势定义法（线积分法）
场源分布
E分布
令Ub 0
Ua
选择积分路径
8
例一 求点电荷 q 电场中电势分布。
解：取无限远处作为电r 2
r R时，U
E dl
r
r
q
4 0r 2 dr
q
4 0r
与点电荷电势相同。
r R时，U
R r E内 dl
R E外 dl
0
q
dr
q
R 4 0r 2
4 0 R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
由图，在 r R的球壳处，电势是连续 变化的， 而场强却存在跃变。且 在E 0处，U 0常数。 11
运动电荷的电场不是保守场，为有源有旋场。
4
§8.5 电势能、电势和电势差
一、电势能
静电场是保守场，可引进静电势能的概念。用试验电荷 q0 在静电场中从 a 点移止 b 点电场力作功 Aab ，作为试验电荷 q0 在 a 、b 两点处电势能改变的量度。即
Wa Wb Wb Wa Aab
b a q0E dl
Wa、Wb为q0在a、b两点的电势能。
当场源电荷为有限带电体时，通常选取无限远处为电势能
零点。取 b 点为无限远处，则
Wb W 0
试验电荷 q0在a点处的电势能为
Wa Aa
a q0E dl
5
即试验电荷q0在电场中某处的电势能值，等于将q0由该处移止 无限远处(势能零点)电场力所作的功。
E
ra a
1
dA F dl q0 E dl q0 Edl cos dl
移动有限路程L 时，总功为
E
Aab
q0
Edl cos
L
q0
q
L 4 0r 2
dl cos
qq0
4 0
rb dr r ra 2
qq0
4 0
1 ra
1 rb
式中 dr = dl cosθ。在点电荷电场中q，0 电场力对试验
rˆ
由电势定义式，取dl沿r方向径向积分，
dl
r P
E
与点电荷相距为r的P点的电势为
q
U P
E dl
rP
q
rˆ dl
rP 4 0 r 2
q dr q
r 4 0r 2
4 0r
r 0
（1）电势值与电荷正负有关。q0,U 0; q0,U 0.
（2）电势值与该点距场源的距离有关。在正电荷场中，
点处电场力所作的功。
电势的 10.Ua客观反映了静电场力作功的性质，与q0无关。 性质： 20.Ua是标量，但有“+”，“一”
Ｕa的“+”、“一”，决定于场电荷q的“+”、“一 ”， 而与q0的正、负无关。
30.Ua具有相对性：电势零点的选取。
7
§8.6 电势的计算
已知场源分布，求空间的电势分布。方法有二：
i 1
i 1
P Ei dl
n
Ui
i 1
n i 1
qi
4 0ri
点电荷系场中任一点的电势等于各个点电荷电场在同一场
点的电势的代数和。—电势叠加原理
2. 对电荷连续分布的带电体,有
U
dU
dq
4 0r
（1）积分对场源电荷所在空间进行；
的保守性。静电场是保守场。
3
二、场强环流定理
单位正试验电荷沿闭合路径a cbf a 移动回到出发
点时，电场力所作的功为
b
E dl E dl E dl 0
acbfa
acb
bfa
L1
静止电荷的电场： LE dl 0
L2
静电场是保守场，为有源无旋场。 a
运动电荷的电场：
LE dl 0
[例3]（8-23）无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上的 电量为。计算此圆柱面内、外任一点的电势。
解： 设柱面上电势为零
λ
r<R：E内=0
R
U内 r E内 dr 0 为等势区！
r>R :
E外
2 0r
U外
R
E dr
r外
2 0
ln
R r
若选无限远处为零势点
U外 r E外 dr 20 ln r
时，电场力作负功，Wa Wb，电势能增加。
6
Wa Wb Wb Wa Aab
b a q0E dl
二、电势
比值Wa q0与q0 无关，可以描述a点处场的性质，
称为a点电势，以U a 表示。
Ua
Wa q0
E dl
a
即电场中 a 点的电势，在量值上等于单位正电荷在该点具 有的电势能；或等于单位正电荷从 a 点沿任意路径移到电势零
描述电场状态
E电力线
U 等势面
b
一、静电场的保守性（保守力场）
（1）点电荷电场
rb L
dr
设点电荷q 固定于某处，另一点
电荷 q0 在 q产生的电场中从点 a 经任
意路径 小位移
Ldl移，动该到处点场b强,在为 LE上，任则取电微场
力对 q0 所作的元功为
r dr
q
r
dl
说明：
• 电势能是属于系统的，为场源电荷与试验电荷所共有。是试 验电荷与电场之间的相互作用能。
• 电势能的量值与电势能零点的选择有关是相对量。 对有限的带电体，通常选无穷远处为静电势能的零点，在实际 问题中有时选择地球表面为零势能。
• 当 Aab 0 时，电场力作正功，Wa Wb ，电势能减少； 当 Aab 0
？ 无限大带
电平面的零 势点如何选
R
r l
此时无法描述空间各点电势的差异！！
rl
E
对无限长均匀带电直线，通常取何处为电势零点？
12
二、电势叠加法
1. 对点电荷系，场强满足场强叠加原理，即 所以点电荷系电场中任一点的电势为
n
E Ei i 1
U
E dl
P
n n
P Ei dl
电荷所作的功，只取决与试验电荷及其始末位置， 与路径无关。
2
（2）静止的点电荷系、电荷连续分布带电体
b
点电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有 •
b
Aab q0 a E dl Aab1 Aab2
n i 1
qi q0
4 0
1 ria
1 rib
L a•
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有 关，与所通过的路径无关.静电场的这一特性称静电场
离点电荷越远电势越低；在负电荷场中，离点电荷越
远电势越高。 9
例二 求均匀带电球面电场中任一点 P 处的电 势。设球面半径为 R ，总带电量为 q 。
解：由高斯定理求得均匀 带电球面的场强分布为
q
E 4 0r 2
rR
0
rR
R
O
qU
4 0R
选无限远为电势零点 U 0
OR
r
10
沿径向积分，得
电势定义法（线积分法）：
Ua
E dl ,
a
b
Ua
E dl
a
电势叠加法：
dq
U dU 4 0r
n
U
qi
i1 4 0 ri
一、电势定义法（线积分法）
场源分布
E分布
令Ub 0
Ua
选择积分路径
8
例一 求点电荷 q 电场中电势分布。
解：取无限远处作为电r 2
r R时，U
E dl
r
r
q
4 0r 2 dr
q
4 0r
与点电荷电势相同。
r R时，U
R r E内 dl
R E外 dl
0
q
dr
q
R 4 0r 2
4 0 R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
由图，在 r R的球壳处，电势是连续 变化的， 而场强却存在跃变。且 在E 0处，U 0常数。 11
运动电荷的电场不是保守场，为有源有旋场。
4
§8.5 电势能、电势和电势差
一、电势能
静电场是保守场，可引进静电势能的概念。用试验电荷 q0 在静电场中从 a 点移止 b 点电场力作功 Aab ，作为试验电荷 q0 在 a 、b 两点处电势能改变的量度。即
Wa Wb Wb Wa Aab
b a q0E dl
Wa、Wb为q0在a、b两点的电势能。
当场源电荷为有限带电体时，通常选取无限远处为电势能
零点。取 b 点为无限远处，则
Wb W 0
试验电荷 q0在a点处的电势能为
Wa Aa
a q0E dl
5
即试验电荷q0在电场中某处的电势能值，等于将q0由该处移止 无限远处(势能零点)电场力所作的功。
E
ra a
1
dA F dl q0 E dl q0 Edl cos dl
移动有限路程L 时，总功为
E
Aab
q0
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L
q0
q
L 4 0r 2
dl cos
qq0
4 0
rb dr r ra 2
qq0
4 0
1 ra
1 rb
式中 dr = dl cosθ。在点电荷电场中q，0 电场力对试验
rˆ
由电势定义式，取dl沿r方向径向积分，
dl
r P
E
与点电荷相距为r的P点的电势为
q
U P
E dl
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q
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q dr q
r 4 0r 2
4 0r
r 0
（1）电势值与电荷正负有关。q0,U 0; q0,U 0.
（2）电势值与该点距场源的距离有关。在正电荷场中，
点处电场力所作的功。
电势的 10.Ua客观反映了静电场力作功的性质，与q0无关。 性质： 20.Ua是标量，但有“+”，“一”
Ｕa的“+”、“一”，决定于场电荷q的“+”、“一 ”， 而与q0的正、负无关。
30.Ua具有相对性：电势零点的选取。
7
§8.6 电势的计算
已知场源分布，求空间的电势分布。方法有二：
i 1
i 1
P Ei dl
n
Ui
i 1
n i 1
qi
4 0ri
点电荷系场中任一点的电势等于各个点电荷电场在同一场
点的电势的代数和。—电势叠加原理
2. 对电荷连续分布的带电体,有
U
dU
dq
4 0r
（1）积分对场源电荷所在空间进行；
的保守性。静电场是保守场。
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二、场强环流定理
单位正试验电荷沿闭合路径a cbf a 移动回到出发
点时，电场力所作的功为
b
E dl E dl E dl 0
acbfa
acb
bfa
L1
静止电荷的电场： LE dl 0
L2
静电场是保守场，为有源无旋场。 a
运动电荷的电场：
LE dl 0
[例3]（8-23）无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上的 电量为。计算此圆柱面内、外任一点的电势。
解： 设柱面上电势为零
λ
r<R：E内=0
R
U内 r E内 dr 0 为等势区！
r>R :
E外
2 0r
U外
R
E dr
r外
2 0
ln
R r
若选无限远处为零势点
U外 r E外 dr 20 ln r
时，电场力作负功，Wa Wb，电势能增加。
6
Wa Wb Wb Wa Aab
b a q0E dl
二、电势
比值Wa q0与q0 无关，可以描述a点处场的性质，
称为a点电势，以U a 表示。
Ua
Wa q0
E dl
a
即电场中 a 点的电势，在量值上等于单位正电荷在该点具 有的电势能；或等于单位正电荷从 a 点沿任意路径移到电势零