弹性力学平面问题
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平 面 应 力 问 题 模 型
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
• 平面应力问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出：
z = zx = zy = 0 ( z 0)
（非独立） ❖应力分量：
x , y , xy ——x,y的函数
❖应变分量：
x , y , xy ——x,y的函数
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
一、弹性力学的任务 • 弹性力学是固体力学的分支学科，研究一般弹性体在外部因素 （力、温度变化等）作用下产生的应力、变形；并为机械零件、 工程结构的强度、刚度、稳定性分析提供理论工具。
• 弹性力学与材料力学和结构力学的比较： ❖ 1）基本任务相同 ❖ 2）研究对象和范围有所区别
3个正应变： x , y , z
3个剪应变： xy, yz , zx
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念 ❖ 位移
弹性体受力变形后任意一点都产生位置的变化，形成一个位移 矢量，其在坐标轴上的投影（位移分量）用 u，v，w 表示。 • 一般情况下，各点的应力、应变、位移分量是其空间坐标的函数。
❖位移分量：
u = u(x, y)
v = v(x, y)
平面应变问题的例子
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
三、平面问题基本方程和边界条件
• 平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3 个应变分量、2个位移分量。
• 要求解这些未知力学量，需要研究平面弹性体的平衡、几何、 物理关系得到足够的方程。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
材料力学：研究杆状构件 结构力学：研究杆件系统 弹性力学：研究一般弹性体的一般行为。如二、三维实体，板壳
结构，应力集中体，无限、半无限体等。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
二、弹性力学的基本假设
• 为什么要作基本假设？ ❖ 对实际研究对象根据所研究的层次和范围，进行科学抽象和假设，
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
三、弹性力学的研究方法
• 与材料力学研究方法的比较： ❖ 材料力学：除了引入“基本假设”，还根据不同对象引入补充假
设，如：直梁弯曲的“平面假设”，“纵向纤维无挤压”假设； 扭转理论中的“刚性平面”假设等。
❖ 弹性力学：除了必要的基本假设外，不再引入补充假设，而是严 格按照静力学、几何学、物理学三方面的条件建立基本方程和边 界条件，求得精确结果。因而弹性力学可以对材料力学的理论和 解答进行验证考核。
在弹性力学中体力、面力均为空间坐标的函数。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
❖ 应力
弹性体中某一点的应力状态用9个应力分量表示：
x , xy , xz y , yz , yx z , zx, zy
其中由于剪应力互等，只有6个独立分量。
❖ 应变
空间问题的一点应变分量包括：
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y
l，m为边界外法线方向余弦
t
x，t
为边界上面力分量
❖位移分量：
u = u(x, y) v = v(x, y)
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
二、平面应变问题 •平面应变问题的基本特征： 1）几何特征 ❖ 一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无 限长等截面柱体；或任何横截面可以看作对称面：z方向无位移。 2）受力特征 ❖ 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。
3 弹性力学平面问题
3.1
弹性力学 基本概念
3.2
弹性力学 平面问题基础
弹性力学的基本任务有哪些？ 弹性力学的基本假设？ 弹性力学的研究方法如何？ 弹性力学中的基本量有哪些？
平面问题的分类？ 平面应力问题的基本特征和分量 平面应变问题的基本特征和分量 平面问题的基本方程（几何方程、 物理方程、平衡方程）和边界条件
可以确定弹性体中的位移场、应力场、应变场。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学问题的求解策略 1）解析法—精确解
a. 应力解法 b. 位移解法
2）能量法（变分法）—近似解
3）数值法—近似解 a.有限差分法 b.有限元法 c.边界元法
第三章 弹性力学平面问题有限元法
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
三）平面问题的平衡方程 通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：
x
x
+
xy
y
+
fx
=
0
xy
x
+
y
y
+
fy
=
0
f
x，f
为体力分量。
y
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
四）平面问题边界条件
❖平面弹性体的边界分为位移边界 Su 和应力边界 St
突出主要矛盾，以建立可用的模型。 1) 连续性假设 ❖ 假设物体所占的空间被组成该物体的介质所充满，不留任何空隙。
不考虑介质的微观物质结构。物体内的物理量就能用空间坐标的连 续函数来描述。 2) 均匀性假设 ❖ 认为物体由同一种材料组成，内部的物理性质处处完全相同。 3）各向同性假设 ❖ 假设物体内每一点沿不同方向的物理性质相同，如弹性常数，导 热系数等。
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
=
x y
xy
=
E
1− 2
1
0
1 0
1
0
0 −
x y
xy
2
= D
D =
E
1
1
0 0
1− 2
0
0
1
−
2
——平面应力弹性矩阵，对称方阵。
❖平面应变问题弹性矩阵可按如下办法得到。
将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换：
E→ E
→
1− 2
1−u
❖因此，对于平面问题的推导和编程， 只按平面应力问题处理。
平面应变问题的例子
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
•平面应变问题的应力、应变、位移分量
由基本特征推出：
z = zy = zx = 0 z 0 ❖（非独立）
❖应变分量：
x , y , xy ——x,y的函数
❖应力分量：
x , y , xy ——x,y的函数
• 这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求， 而分析计算工作量大大减少。
• 大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。 • 平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
一、平面应力问题 • 平面应力问题的基本特征： 1）几何特征 ❖物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。 几何上为均匀薄板。 2）受力特征 ❖薄板上下两个面上无载荷作用； ❖周边侧面上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用； ❖体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。
y
第三章 弹性力学平面问题有限元法
一）平面问题几何方程——应变～位移关系
x
=
u x
y
=
v y
xy
=
u y
+
v x
=
x y
xy
=
x 0
y
0
y
Hale Waihona Puke Baidu
uv
x
❖几何方程对于平面应力和平面应变问题相同
算子矩阵
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
二）平面问题的物理方程——应力～应变关系
❖对于平面应力问题，应用虎克定律可导出应力与应变之间的关系。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
弹性力学平面问题基础
• 任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的 外力一般都是空间力系。
• 在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特 殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题 的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二 维空间内的分量。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
• 平面应力问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出：
z = zx = zy = 0 ( z 0)
（非独立） ❖应力分量：
x , y , xy ——x,y的函数
❖应变分量：
x , y , xy ——x,y的函数
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
一、弹性力学的任务 • 弹性力学是固体力学的分支学科，研究一般弹性体在外部因素 （力、温度变化等）作用下产生的应力、变形；并为机械零件、 工程结构的强度、刚度、稳定性分析提供理论工具。
• 弹性力学与材料力学和结构力学的比较： ❖ 1）基本任务相同 ❖ 2）研究对象和范围有所区别
3个正应变： x , y , z
3个剪应变： xy, yz , zx
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念 ❖ 位移
弹性体受力变形后任意一点都产生位置的变化，形成一个位移 矢量，其在坐标轴上的投影（位移分量）用 u，v，w 表示。 • 一般情况下，各点的应力、应变、位移分量是其空间坐标的函数。
❖位移分量：
u = u(x, y)
v = v(x, y)
平面应变问题的例子
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
三、平面问题基本方程和边界条件
• 平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3 个应变分量、2个位移分量。
• 要求解这些未知力学量，需要研究平面弹性体的平衡、几何、 物理关系得到足够的方程。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
材料力学：研究杆状构件 结构力学：研究杆件系统 弹性力学：研究一般弹性体的一般行为。如二、三维实体，板壳
结构，应力集中体，无限、半无限体等。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
二、弹性力学的基本假设
• 为什么要作基本假设？ ❖ 对实际研究对象根据所研究的层次和范围，进行科学抽象和假设，
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
三、弹性力学的研究方法
• 与材料力学研究方法的比较： ❖ 材料力学：除了引入“基本假设”，还根据不同对象引入补充假
设，如：直梁弯曲的“平面假设”，“纵向纤维无挤压”假设； 扭转理论中的“刚性平面”假设等。
❖ 弹性力学：除了必要的基本假设外，不再引入补充假设，而是严 格按照静力学、几何学、物理学三方面的条件建立基本方程和边 界条件，求得精确结果。因而弹性力学可以对材料力学的理论和 解答进行验证考核。
在弹性力学中体力、面力均为空间坐标的函数。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
❖ 应力
弹性体中某一点的应力状态用9个应力分量表示：
x , xy , xz y , yz , yx z , zx, zy
其中由于剪应力互等，只有6个独立分量。
❖ 应变
空间问题的一点应变分量包括：
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y
l，m为边界外法线方向余弦
t
x，t
为边界上面力分量
❖位移分量：
u = u(x, y) v = v(x, y)
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
二、平面应变问题 •平面应变问题的基本特征： 1）几何特征 ❖ 一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无 限长等截面柱体；或任何横截面可以看作对称面：z方向无位移。 2）受力特征 ❖ 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。
3 弹性力学平面问题
3.1
弹性力学 基本概念
3.2
弹性力学 平面问题基础
弹性力学的基本任务有哪些？ 弹性力学的基本假设？ 弹性力学的研究方法如何？ 弹性力学中的基本量有哪些？
平面问题的分类？ 平面应力问题的基本特征和分量 平面应变问题的基本特征和分量 平面问题的基本方程（几何方程、 物理方程、平衡方程）和边界条件
可以确定弹性体中的位移场、应力场、应变场。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学问题的求解策略 1）解析法—精确解
a. 应力解法 b. 位移解法
2）能量法（变分法）—近似解
3）数值法—近似解 a.有限差分法 b.有限元法 c.边界元法
第三章 弹性力学平面问题有限元法
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
三）平面问题的平衡方程 通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：
x
x
+
xy
y
+
fx
=
0
xy
x
+
y
y
+
fy
=
0
f
x，f
为体力分量。
y
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
四）平面问题边界条件
❖平面弹性体的边界分为位移边界 Su 和应力边界 St
突出主要矛盾，以建立可用的模型。 1) 连续性假设 ❖ 假设物体所占的空间被组成该物体的介质所充满，不留任何空隙。
不考虑介质的微观物质结构。物体内的物理量就能用空间坐标的连 续函数来描述。 2) 均匀性假设 ❖ 认为物体由同一种材料组成，内部的物理性质处处完全相同。 3）各向同性假设 ❖ 假设物体内每一点沿不同方向的物理性质相同，如弹性常数，导 热系数等。
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
=
x y
xy
=
E
1− 2
1
0
1 0
1
0
0 −
x y
xy
2
= D
D =
E
1
1
0 0
1− 2
0
0
1
−
2
——平面应力弹性矩阵，对称方阵。
❖平面应变问题弹性矩阵可按如下办法得到。
将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换：
E→ E
→
1− 2
1−u
❖因此，对于平面问题的推导和编程， 只按平面应力问题处理。
平面应变问题的例子
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
•平面应变问题的应力、应变、位移分量
由基本特征推出：
z = zy = zx = 0 z 0 ❖（非独立）
❖应变分量：
x , y , xy ——x,y的函数
❖应力分量：
x , y , xy ——x,y的函数
• 这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求， 而分析计算工作量大大减少。
• 大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。 • 平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
一、平面应力问题 • 平面应力问题的基本特征： 1）几何特征 ❖物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。 几何上为均匀薄板。 2）受力特征 ❖薄板上下两个面上无载荷作用； ❖周边侧面上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用； ❖体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。
y
第三章 弹性力学平面问题有限元法
一）平面问题几何方程——应变～位移关系
x
=
u x
y
=
v y
xy
=
u y
+
v x
=
x y
xy
=
x 0
y
0
y
Hale Waihona Puke Baidu
uv
x
❖几何方程对于平面应力和平面应变问题相同
算子矩阵
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
二）平面问题的物理方程——应力～应变关系
❖对于平面应力问题，应用虎克定律可导出应力与应变之间的关系。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2 弹性力学平面问题基础
弹性力学平面问题基础
• 任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的 外力一般都是空间力系。
• 在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特 殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题 的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二 维空间内的分量。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，