《条件概率》

尚
探究：3张奖券中只有1张能一中般奖地，，现我分们别用由来3名同学
无放回地抽取，问最后一名同表学示抽所到有中基奖本奖事券件的的概率是
否比其他同学小？
集合，叫做基本事件
分析：
空间（或样本空间）
若 抽 到 中 奖 奖 券 用 " Y " 表 示 ， 没 有 抽 到 用 " N " 表 示 ，
那 么 所 有 可 能 的 抽 取 情 况 为 { Y N N ,N Y N ,N N Y }
若知道了第一名同学的抽奖结果，则样本空间变成
A{N YN,N N Y}
但因为最后一名中奖的情况只有一种{NNY} 故概率会发生变化
尚
分析：求P(B|A)的一般思想
因为已经知道事件A必然发生，所以只需在A发生 的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A。
因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事 件A和事件B同时发生，即AB发生。
P(AB)n(AB) 6 3 n() 20 10
尚
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题
的概率。 （3）解法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题
就按对的概率。
解 ： 设 第 i次 按 对 密 码 为 事 件 A i(i 1 ， 2 ) 则 A A 1 (A 1 A 2 )表 示 不 超 过 2 次 就 按 对 密 码 。
（ 2 ） 用 B 表 示 最 后 一 位 按 偶 数 的 事 件 ， 则
P (A B ) P (A 1B ) P (A 1 A 2B ) 15
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n()A52 20 根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 ， n ( A ) A 3 1 A 4 1 1 2
n(A) 12 3 P(A)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。
注意：
（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则
P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A)
（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率 与一般概率问题的关键尚 。
故其条件概率为
P(B| A) n(AB) n( A)
为了把条件概率推广到一般情形，不妨记原来的 样本空间为，则有
n(AB)/n( ) P(AB)
P(B|A)

n(A)/n( ) P(A)
尚
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P(B A) P(AB) P(A)
用 B 表 示 最 后 一 名 同 学 抽 到 中 奖 奖 券 的 事 件 ，
则 B {N N Y }
由 古 典 概 型 可 知 ， 最 后 一 名 同 学 一事抽 般件到 地A包中 ，含n奖 (的A奖 )基表券 本示的
概 率 为 ： P(B)n(B)1 n( ) 尚3
事件的个数
思考：如果已经知道第一名同你学知没道有第抽一到名中同奖学奖券，
n() 20 尚5
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； 解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（ 2）n(AB)A3 26
练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％ 和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？
解：设A={甲地为雨天}， B={乙地为雨天}， 则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%， ∵{甲乙两市至少一市下雨}=A∪B 而P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =20%+18%-12% =26% ∴甲乙两市至少一市下雨的概率为26%
那么最后一名抽到中奖奖券的概的率抽又奖是结多果少为？什么
分析：
会影响最后一名同
学的抽奖结果吗？
若 抽 到 中 奖 奖 券 用 " Y " 表 示 ， 没 有 抽 到 用 " N " 表 示 ，
不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A，
则 A{N YN,N N Y}
用 B 表 示 最 后 一 名 同 学 抽 到 中 奖 奖 券 的 事 件 ， 则 B {N N Y }
则 A A 1 (A 1 A 2 )表 示 不 超 过 2 次 就 按 对 密 码 。 （ 1 ） 因 为 事 件 A i 与 事 件 A 1 A 2 互 斥 ， 由 概 率 的 加 法 公 式 得
P(A )P(A 1)P(A 1A 2)
1 10

91 109

1 5
尚
例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，
（ 1） 乙 地 为 雨 天 时 甲 地 也 为 雨 天 的 概 率 是
P(AB)P(AB)12%2 P(B) 18% 3
（ 2） 甲 地 为 雨 天 时 乙 地 也 为 雨 天 的 概 率 是
P(AB) 12% 3 P(BA) P(A) 尚20%5
尚
例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
就按对的概率。
解 ： 设 第 i次 按 对 密 码 为 事 件 A i(i 1 ， 2 )
的条件下，第二次抽到理科题的概率为
3
P(B
A)

P(AB) P(A)

10 3

1 2
5
尚
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题
的概率。
最 后 一 名 同 学 抽 到 奖 券 的 概 率 为 P (B |A ) n (B ) 1 n (A ) 2
注：P(B|A)表示在事件A发尚生的条件下B发生的概率
思考：你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响
最后一名同学的抽奖结果吗？
分析： 若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为、
{Y N N ,N Y N ,N N Y }
2.2.1《二项分布及其应 用》 -------条件概率
尚
教学目标
• 知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件 概率的定义。
• 过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。 • 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进
行简单的应用。 • 教学重点：条件概率定义的理解 • 教学难点：概率计算公式的应用 • 授课类型：新授课 课时安排：1课时
概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 联系：事件A，B都发生了 区别：
样本空间不同： 在P(B|A)中，事件A成为样本空间； 在P(AB)中，样本空间仍为。
尚
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
1 是次品的概率是______尚___；2 0
小结：
1、条件概率的定义： 设A，B为两个事件，则在事件A发生的条件下，
事件B发生的概率就叫做的条件概率 2、条件概率的计算公式
P(B A) n(AB) P ( A B ) n(A) P ( A )
尚
解法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
P(BA)n(AB)61 n(A) 12 2
解法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题 故第二次抽到理尚科题的概率为1/2
练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％ 和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设A={甲地为雨天}， B={乙地为雨天}，

41 54

2 5
尚
练习1：一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品
结构如下表：
数量 厂别 等级
合格品
次品
合计
甲厂
475 25 500
乙厂
644 56 700
合计
1 119 81
1 200
（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是
次品的概率是_________；4 2 0 7 0 （2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好