一元一次方程和一次方程组
一元一次方程与二元一次方程组
6．(2013 年浙江绍兴)我国古代数学名著《孙子算经》中有 这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各 几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只．现在小敏将此 题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各 几何？则此时的答案是：鸡有__2_2___只，兔有__1_1___只．
问 A、B 两种树苗每株分别是多少元？
解：设 A 种树苗每株 x 元，B 中树苗每株 y 元，
由题意，得
x－y＝2， x＋2y＝20，
解得
x＝8， y＝6.
答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元．
4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且未知数的项的 次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个_一__次___方程所 组成的一组方程． (3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 _公__共__解___．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)_去__分__母___；(2)去括号；(3)___移__项____；(4)_合__并__同__类__项___； (5)未知数的系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法． 解二元一次方程组的关键是消元，有 __代__入____ 消元法和 __加__减__消元法两种．
一元一次方程与二元一次方程 组
第1讲 方程与方程组
第 1 课时 一元一次方程与二元一次方程组
1．能够根据具体问题中的数量关系列出方程． 2．会解一元一次方程及简单的二元一次方程组． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1 方程(组)的有关概念 1．等式的基本性质． (1)若a＝b，则a±m＝b±___m___(m为代数式)．(2)m为实数，
一次方程与方程组
一元一次一元二次方程及应用考点一 等式及方程的有关概念1．等式及其性质用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式，叫做方程．(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫做根)．(3)求方程解的过程，叫做解方程． 考点二 一元一次方程 1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．ax ＋b ＝0(a ≠0)是一元一次方程的标准形式．2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法1．二元一次方程组几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组； 2．解二元一次方程组的基本思路：消元3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法； 考点四 列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答 2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．一元二次方程及应用考点一 一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．考点二 一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，则x 1＝a ，x 2＝－ a. 2．配方法3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b±b 2－4ac 2a.4．因式分解法考点三 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．考点四 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac.1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则x 1,2＝－b±b 2－4ac2a；2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a ；3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根；考点五 一元二次方程根与系数之间的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝c a经典例题例一(1)已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝8nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2 C.2 D ．±2(2)已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．3例二(1)解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1. (2)解方程组：⎩⎨⎧3x ＋4y ＝19，x －y ＝4.(2)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.例三如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC 边的长．考点训练题 一、选择题1．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝12x －y ＝5的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝－1y ＝2B.⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝3C.⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1D.⎩⎨⎧x ＝2y ＝－12、方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝03．以方程组⎩⎨⎧y ＝－x ＋2y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若|3a ＋b ＋5|＋(2a －2b －2)2＝0，则2a 2－3ab 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－45、．已知⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1和⎩⎨⎧x ＝1y ＝1是方程y ＝kx ＋b 的解，则k 、b 的值分别是( )A ．k ＝－2，b ＝1B ．k ＝2，b ＝3C ．k ＝－2，b ＝－1D ．k ＝2，b ＝－16．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别是x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－67．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A ．168(1＋a%)2＝128B ．168(1－a%)2＝128C ．168(1－2a%)＝128D ．168(1－a 2%)＝1288．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝99．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a<1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠010．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸要制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．x 2＋130x －1 400＝0B ．x 2＋65x －350＝0C ．x 2－130x －1 400＝0D ．x 2－65x －350＝011．若方程组⎩⎨⎧ 2m －3n ＝133m ＋5n ＝30.9的解是⎩⎨⎧ m ＝8.3n ＝1.2，则方程组⎩⎨⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝133(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝8.3y ＝1.2B.⎩⎨⎧ x ＝10.3y ＝2.2C.⎩⎨⎧ x ＝6.3y ＝2.2D.⎩⎨⎧x ＝10.3y ＝0.212．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43 二、填空题13．1．方程(x －1)2＝4的解是__________14．方程x 2－3x ＋1＝0的解是__________．15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．16．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__________．17．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 21＋3x 1x 2＋x 22的值为________18、已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则m ＝________，方程的另一根为________．20．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m 2，求道路的宽．21．解方程(组)．(1)当m 取什么值时，代数式5m ＋14与5(m －14)的值互为相反数；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ，2(x ＋1)－y ＝6.(3) x 2－6x －6＝0；（配方法）(4)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.（因式分解法）22、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元23．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1 228台汽车用户共补贴了多少万元？答案1—5 DDADD 6-10ABDBB 11-12CB 13、【答案】120(1－x)2＝10014、【答案】x 1＝3＋52，x 2＝3－5215、【解析】∵x 1、x 2是x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，∴x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10.16、【解析】∵方程有实数根，∴b 2－4ac>0，∴12－4(m －1)≥0,4m ≤5，m ≤54.∵方程是关于x 的一元二次方程，∴m －1≠0，∴m ≠1，∴m ≤54且m ≠1.17、【解析】由题意得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－2，所以x 21＋3x 1x 2＋x 22＝x 21＋2x 1x 2＋x 22＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝33＋(－2)＝9－2＝7. 18、【答案】－4 x ＝519、【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－220、解：设道路的宽为x m ，根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，∴x 2－52x ＋100＝0，∴x 1＝2，x 2＝50(不合题意，舍去)21、解：(1)由题意得5m ＋14＋5(m －14)＝0,5m ＋14＋5m －54＝0, ∴10m ＝1，m ＝110.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ①2(x ＋1)－y ＝6 ②原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－3 ①2x －y ＝4 ②，①×2得2x －6y ＝－6 ③，②－③得5y ＝10，∴y ＝2，把y ＝2代入②，得x ＝3，∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2. 3、【解答】(1)x 2－6x －6＝0 移项，得x 2－6x ＝6，配方，得(x －3)2＝15，∴x －3＝±15. ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. 4、(x －3)2＋4x(x －3)＝0换公因式，得(x －3)(x －3＋4x)＝0，(x －3)(5x － 3)＝0.∴x －3＝0或5x －3＝0.∴x 1＝3，x 2＝35.22、解：(1)设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x 台、y 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝960x (1＋30%)＋y (1＋25%)＝1 228，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝560y ＝400.。
一元一次方程及二元一次方程组
2、(09齐齐哈尔)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种 客房供游客租住, 某旅行团20人准备同时租用这三种客房 共7间,如果每个房间都住满, 租房方案有 ( C ) A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 解:设租二人间x间, 租三人间y间, 则四人间客房7-x-y. 依题意得:
x＝2， 已知 是二元一次方程组 y＝1
mx＋ny＝8， 的解，则 2m－n 的算术平方根为( nx－my＝1
C )
A．±2
B. 2
C．2
D．4
类型之三
一元一次方程的解法
0.3x＋0.5 2x－1 例2：[2011·滨州] 依据下列解方程 ＝ 的过 0.2 3 程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号 内填写变形依据．
14、(09达州) 将一种浓度为15℅的溶液30㎏, 配制成浓度不低于20℅的同种溶液, 则至少 10 ㎏. 需要浓度为35℅的该种溶液______ 解：设35%溶液为x则得：
35%x+30×15%=（x+30）×20% 解得x=10kg，故至少需要35%的溶液 10kg．
练习：P15 第8题 P16 第9题
列方程解应用题：
1.审题 2.设元
3.列方程
4.解方程
5.检验
6.答
一元一次方程应用题的类型：
1.数字问题(包括日历) 2.体积（面积）变化 3.打折销售问题
4.行程问题
5.工程问题
6.储蓄问题
7.和、差、倍、分问题
顺水航行速度=静水速度+水流速度 逆水航行速度=静水速度-水流速度
一次方程与一元一次方程组的解法
一次方程与一元一次方程组的解法一次方程是指变量次数为1的方程，形如ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一次方程的方法有多种，下面将介绍一些常见的解法。
1. 消元法消元法是一种常见的解一次方程的方法。
通过在方程两边进行等式变换，将方程化简为变量的一个解。
下面以一个示例来说明：例题：解方程3x + 5 = 8。
解法：首先将方程化简为x的形式。
由于方程中只有一个变量x，我们可以通过将方程两边同时减去5来消去常数项，得到3x = 3。
随后，再将方程两边同时除以3，即可得到x的解x = 1。
2. 代入法代入法也是解一次方程的一种常用方法。
该方法适用于方程组中的一个方程可以通过解另一个方程来求得。
以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。
解法：首先可以通过第二个方程得到x = y + 1。
随后将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。
通过对方程进行展开和化简，可求得y = 1。
将y的值代回第二个方程中，得到x = 2。
因此，方程组的解为x = 2，y = 1。
3. 图解法对于一元一次方程，我们还可以使用图解法来求解。
这种方法适用于线性方程的解在坐标系中有几何意义的情况。
下面是一个例子：例题：解方程2x - 3 = 0。
解法：将方程化简为x的形式，得x = 3/2。
在坐标系中，画出直线y = 2x - 3。
根据直线和x轴的交点，可得到x = 3/2。
以上是一次方程的解法，接下来将介绍一元一次方程组的解法。
一元一次方程组是指包含两个或更多个一元一次方程的方程组。
解一元一次方程组的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。
1. 代入法代入法也适用于解一元一次方程组。
该方法通过解其中一个方程，将解代入另一个方程中求得其他未知数的值。
以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。
解法：根据第二个方程可得x = y + 1。
将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。
一次方程与方程组知识点总结归纳
一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一般形式：ax + b=0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。
3. 等式的性质。
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c = b±c。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么(a)/(c)=(b)/(c)。
- 利用等式的性质可以求解一元一次方程，例如解方程2x+3 = 0，首先根据等式性质1，两边同时减3得2x=-3，再根据性质2，两边同时除以2得x = - (3)/(2)。
4. 一元一次方程的解法步骤。
- 去分母（若方程中存在分母时）：根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。
例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。
- 去括号：根据乘法分配律将括号去掉。
如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。
- 移项：把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号。
例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。
- 合并同类项：将方程中同类项合并。
如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。
- 系数化为1：根据等式性质2，方程两边同时除以未知数的系数。
如5x = 5两边同时除以5得x = 1。
二、二元一次方程（组）1. 二元一次方程。
一元一次方程组
一元一次方程组一元一次方程组是由两个或多个一元一次方程组成的方程组。
一元一次方程是指最高次项是一次幂（即x的指数为1）的方程。
而方程组则是一组方程的集合，其中的方程可以有一个或多个未知数。
在一元一次方程组中，每个方程都可以用以下形式表示：a₁x + b₁ = 0a₂x + b₂ = 0...aₙx + bₙ = 0其中a₁，a₂，...，aₙ，b₁，b₂，...，bₙ是已知的常数，x是未知数。
一元一次方程组的解是使得方程组中所有方程同时成立的未知数的值。
解的个数可以有三种情况：1. 方程组有唯一解：方程组中的所有方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到唯一解。
2. 方程组没有解：方程组中的方程是不相容的，即无法通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程。
3. 方程组有无穷多解：方程组中的方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到一个含有未知参数的方程。
解一元一次方程组的常用方法有消元法、代入法、加减乘除法等。
下面我们将分别介绍这几种方法。
1. 消元法：消元法是一种通过消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。
具体步骤如下：a) 将方程组按照系数相同的未知数排列，将其转化为一个增广矩阵的形式。
b) 选取一个方程作为基准方程，通过线性组合将其他方程的某个未知数的系数消为0。
c) 重复b)步骤，直至将方程组化简为只含一个未知数的方程。
d) 求解得到唯一解或无解。
2. 代入法：代入法是一种通过将某个已知解代入其他方程中，从而求得未知数的值的方法。
具体步骤如下：a) 选择一个方程，将其中一个未知数表示为其他未知数的函数。
b) 将已知解代入该方程，得到关于其他未知数的方程。
c) 解这个关于其他未知数的方程，得到其他未知数的值。
d) 将其他未知数的值代入方程组中的其他方程，逐步求解得到未知数的值。
e) 检验解是否满足方程组中的所有方程。
3. 加减乘除法：加减乘除法是一种通过将多个方程进行相加、相减、相乘或相除，从而消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。
§2.1 一元一次方程、二元一次方程(组)(试题部分).pptx
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3.(2014苏州,16,3分)某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通.若甲工程队先用4天单独完
成其中一部分河道的疏通任务,则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单
2x 3 y,① 3x 2y 2.②
解析 由①得y=3-2x,③ 把③代入②得3x+2(3-2x)=2,解得x=4. 把x=4代入③得y=-5,
所以原方程组的解是
x y
4, 5
.
5.(2017镇江,19(1),5分)解方程组
x 2
x
y
y
4
, 5
.
解析
解法一:
x 2
y 4, ① x y 5, ②
解析 设中型汽车有x辆,小型汽车有y辆.
根据题意,得 1x2解xy得8y50, 480.
x 20,
y
3
0
.
答:中型汽车有20辆,小型汽车有30辆.
6.(2017徐州,24,8分)4月9日上午8时,2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑,一名34岁的男子带着他 的两个孩子一同参加了比赛,下面是两个孩子与记者的对话:
中考数学 (江苏专用)
第二章 方程（组）与不等式（组）
§2.1 一元一次方程、二元一次方程(组)
五年中考
A组 2014-2018年江苏中考题组
考点1 解一元一次方程、二元一次方程(组)
1.(2018淮安,12,3分)若关于x、y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是
x 则 a3 ,=
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
一元一次方程、二元一次方程(组)及应用
一元一次方程、二元一次方程（组）及应用知识点1：一元一次方程及应用1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的标准式是：ax ＋b=0(其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0）． 一元一次方程的最简式是：ax=b(a≠0)．【例1】下列方程是一元一次方程的是（ ）A.x2+1=5 B. 3(m -1)-1=2 ； C. x-y=6 D.都不是 【例2】选项中是方程的是（ ） B. a-1>2 C. a 2＋b 2－5 D. a 2+2a-3=5；解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4．合并同类项：把方程化成ax=b(a ≠0）的形式；5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解。
【例3】解方程：(1)47815=-x ； (2) 21216231--=+--x x x ；解方程的问题。
【例4】甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t ，乙池又注入8t 后，甲池的水比乙池的水少3t ，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？【例5】一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，如果一个学生得90分，那么他选对几题？现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？知识点2：二元一次方程（组）及应用1，这样的方程，叫做二元一次方程．二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方1、 代入消元法解二元一次方程组基本思路：未知数由多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
2、 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
初中二年级数学上册解方程专项训练题(638)
初中二年级数学上册解方程专项训练题（638）好的，以下是针对初中二年级数学上册解方程专项训练题（638）的内容：一、一元一次方程1. 某数的3倍减去4等于该数的2倍，求该数。
3x - 4 = 2x2. 一个数的5倍与3的和等于该数的6倍，求该数。
5x + 3 = 6x3. 某数的2倍加上8等于该数的3倍减去2，求该数。
2x + 8 = 3x - 24. 一个数的1/3加上2等于该数的1/2减去1，求该数。
(1/3)x + 2 = (1/2)x - 15. 某数的4倍减去该数的3倍等于10，求该数。
4x - 3x = 10二、一元一次方程的应用题6. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，比一辆摩托车快20公里/小时，摩托车行驶2小时后汽车开始追赶，求汽车追上摩托车需要多少小时？设汽车追上摩托车需要x小时，则有方程：60x = (60 - 20) × 2+ 60x7. 甲乙两地相距300公里，一辆汽车从甲地出发，以每小时50公里的速度行驶，2小时后一辆摩托车从乙地出发，以每小时60公里的速度追赶，求摩托车追上汽车需要多少小时？设摩托车追上汽车需要y小时，则有方程：50 × (2 + y) = 60y8. 一个工程队计划用20天完成一项工程，但实际只用了18天就完成了，求实际每天比计划每天多完成工程的几分之几？设实际每天比计划每天多完成工程的z，则有方程：(1/18 - 1/20) ÷ 1/20 = z三、二元一次方程组9. 某商品的进价为x元，售价为y元，利润为售价减去进价，已知利润为售价的20%，且售价为进价的1.2倍，求该商品的进价和售价。
\begin{cases}y = 1.2x \\y - x = 0.2y\end{cases}10. 某工厂生产A、B两种产品，A产品每件成本为a元，售价为b元；B产品每件成本为c元，售价为d元。
已知A产品每件利润为售价的10%，B产品每件利润为售价的15%，且A产品每件成本比B产品每件成本低2元，售价高3元，求A、B两种产品的成本和售价。
一元一次方程(组)实际应用PPT课件
对解进行解释和应用
解释解的意义
根据实际问题背景，解释解的实际意义 和作用。
VS
应用解到实际问题
将解应用到实际问题中，解决实际问题， 并对结果进行评估和解释。
04
实际应用练习与思考
练习题一：购物问题
总结词
购物问题是一元一次方程在实际生活中的常见应用，主要涉及到商品价格、折扣、优惠 等方面的计算。
投资问题
总结词
投资问题通常涉及到利率、本金和收益等，通过建立一元一次方程可以计算出最优的投资方案。
详细描述
例如，某人有一定数量的本金，可以选择存入银行或购买股票等不同的投资方式，银行的年利率为2%， 股票的年收益率不确定但风险较大。通过一元一次方程可以计算出最优的投资方式。
03
解决实际问题的策略和技 巧
要点二
详细描述
在投资问题中，通常需要解决诸如“本金增长、利息计算 、投资回报”等问题。通过设立一元一次方程，可以预测 投资未来的收益和风险，从而做出明智的投资决策。
THANKS
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解算方程
使用代数方法对方程进行 求解，得到未知数的值。
检验解的合理性
根据实际问题背景，检验 解的合理性，排除不合逻 辑或实际意义的解。
对解进行检验和验证
检验解的正确性
通过代入原方程或方程组，验证解是否满足原方程或方程组。
验证解的实际意义
根据实际问题背景，验证解是否符合实际情况，排除不符合实际意义的解。
02
工程设计
在工程设计中，我们需要解决各种实际问题，例如计算建筑物的面积、
体积、高度等，一元一次方程可以帮我们快速准确地完成这些计算。
03
经济分析
在经济分析中，我们需要分析各种经济数据，例如分析某个行业的市场
一次方程与一元一次方程组
一次方程与一元一次方程组一次方程与一元一次方程组是数学中的重要概念，对于解决实际问题和推导数学理论起着重要的作用。
本文将介绍一次方程及其性质，以及如何建立和求解一元一次方程组。
一、一次方程的定义与性质一次方程是指未知数的次数为1的方程。
一般形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知的系数，x为未知数。
一次方程的特点是只有一个未知数，求解过程相对简单。
其解的性质包括：唯一解、无解、无数解。
1. 唯一解：当一次方程存在唯一的解时，表示方程左右两边的值相等。
例如：3x - 5 = 7，解为x = 4。
2. 无解：当一次方程无解时，表示方程左右两边的值不相等。
例如：2x + 3 = 2(x + 1)。
3. 无数解：当一次方程有无数个解时，表示方程左右两边的值恒等。
例如：x + 2 = x + 2。
二、一元一次方程组的定义与解法一元一次方程组是由若干个一次方程组成的方程组，其未知数个数为1。
一般形式为：{a1x + b1y = c1{a2x + b2y = c2一元一次方程组可以通过多种方法求解，以下介绍两种常用的方法：代入法和消元法。
1. 代入法：设定其中一个方程的未知数为t，并将其代入另一个方程中，从而将方程组转化为一个一次方程。
例如：{2x + 3y = 8{4x - 2y = 2设定y = t，那么第一个方程可以变为2x + 3t = 8。
将其代入第二个方程，得到4x - 2t = 2。
将这个一次方程求解得到x = 3，再代入第一个方程求解得到y = 2。
2. 消元法：通过将方程组的两个方程相加或相减，消除一个未知数，得到一个只含一个未知数的一次方程，从而求解未知数。
例如：{2x + 3y = 8{4x - 2y = 2将第一个方程的两倍加上第二个方程，得到8x = 18，解得x = 9。
再将x的值代入第一个方程，得到27 + 3y = 8，解得y = -7。
三、一次方程与一元一次方程组的应用一次方程与一元一次方程组在实际问题中有广泛的应用。
一元一次方程和二元一次方程组
如图是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三
块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高 10 cm，两块横放的墙砖比两块
竖放的墙砖低 40 cm，则每块墙砖的截面面积是(
)
A．425 cm2 C．600 cm2
B．525 cm2 D．800 cm2
某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是
A．2×1 000(26－x)＝800x B．1 000(13－x)＝800x C．1 000(26－x)＝2×800x D．1 000(26－x)＝800x
我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困
地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的2，结果 3
打了 16 个包还多 40 本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同 第一次打包剩下的书一起，刚好又打了 9 个包，那么这批书共有 多少本？
本节课回顾复习 一元一次方程和 二元一次方程组
1. 一元一次方程的解法：1.依据是等式的性质。2.基本步骤略 2. 二元一次方程组的解法： 代入消元法；加减消元法
1．下列变形不是根据等式性质的是( ) A．00..35xy＝35xy B．若－a＝x，则 x＋a＝0 C．若 x－3＝2－2x，则 x＋2x＝2＋3 D．若－12x＝1，则 x＝－2
方程 y－1＝2－y＋2去分母后，结果正确的是( )
2
3
A．6y－y－1＝2－2(y＋2)
B．6y－y－1＝12－2(y＋2)
C．6y－3(y－1)＝12－2(y＋2)
D．6y－3(y－1)＝2－2(y＋2)
某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺栓或 1 000 个螺母，1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚 好配套，设安排 x 名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是 ()
一元一次方程组
一元一次方程组一元一次方程组是二元一次方程的特殊情况，其中只包含一个未知数和一个方程。
本文将介绍一元一次方程组的定义、解法以及应用。
通过清晰的排版和通顺的语句，全文将尽力提供良好的阅读体验。
定义一元一次方程组是指只包含一个未知数和一个方程的方程组。
一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知数且a≠0。
该方程组的目标是找到使方程成立的未知数x的值。
解法求解一元一次方程组的基本方法是移项和消元法。
下面将详细介绍这两种方法。
移项法：1. 将方程组中的常数项移至方程的一边，形成ax = -b的方程。
2. 给方程两边除以a，得到x = -b/a。
消元法：1. 将方程两边都乘以一个适当的数，使得两个方程的系数相同或相反。
2. 将两个方程相减得到一个只包含未知数的新方程，求解该方程得到未知数x的值。
3. 将求得的x的值代入任意一个方程中，计算出另一个未知数的值。
应用一元一次方程组在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 财务问题：假设你计算了一个月的花费，其中包括食物、房租和交通费用。
已知食物费用是房租费用的两倍，而交通费用是食物费用的三倍。
你可以建立一个一元一次方程组来计算每种费用的具体金额。
2. 生产问题：假设你在某家工厂工作，负责某种产品的生产。
已知每天生产的产品数量与每天工作的小时数成正比。
你可以建立一个一元一次方程组来计算每天需要工作多少小时，以达到一定的产量。
3. 投资问题：假设你有两种投资渠道可以选择。
已知这两种投资的年化收益率分别是10%和5%，而你投资的总额是5000元。
你可以建立一个一元一次方程组来计算每种投资的具体金额，以最大化收益。
总结一元一次方程组是数学中的基础概念，对于解决实际问题有很大的帮助。
本文介绍了一元一次方程组的定义，解法以及应用场景，并提供了清晰的排版和通顺的语句，希望对您的阅读体验有所帮助。
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中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析
中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释：解一元一次方程的一般步骤 步骤名 称 方 法依 据注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边等式性质1移项一定要改变符号说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6.【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x （1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x （1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可． 【答案与解析】解：设这块麦田一共有x 公顷， 根据题意得出：x （1﹣25%）（1﹣20%）=6， 解得：x=10，答：这块麦田一共有10公顷．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅= C ． 208030%80%x ⨯⨯= D ． 30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．解下列方程组． （1）（2）．【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 解：（1），将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7， 去括号得：﹣4y+6+3y=7， 解得：y=﹣1，将y=﹣1代入②得：x=2+3=5， 则方程组的解；（2），①×4+②×3得：17m=34， 解得：m=2，将m=2代入①得：4+3n=13， 解得：n=3， 则方程组的解为．【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：① ②【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x ＋2y ＋18）m 2； （2）由题意，得6221,6218152.x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x ＋2y ＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m 2）． ∵铺1m 2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则80,a=7570a b ca c b+-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，解得：x=40，∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组：601000(10002000)100000 x yx y+=⎧⎨++=⎩解得：2040 yx=⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数1～50人51～100人100人以上票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩． 答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。
沪科版七年级上册数学精品教学课件 第3章 一元一次方程 小结与复习
解：设现应购买这种国库券 x 元. 依题意得 x + 2.89%×3x = 20000. 解得 x≈18404 .
2.常见的几种方程类型及等量关系： (1)行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
（2）等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积.
提解示：：去先括号用，分得配律1、x去 1括号6 简3化x.方程，再求解较
容易． 移项，得
24 2 1 x 3 x 1 6.
22 4
合并同类项，得 x 6 1 .
4
系数化为 1，得 x 6 1 .
4
针对训练
4. 解方程：x 2 2 x 3 .
5
2
解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3).
(除如数果不a能＝为b，0 那)，么所a得c＝结果_b_c仍_ ，是等ac 式＝．__bc_ (c ≠ 0).
3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性）
4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性）
四、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘． (2)去括号：注意括号前的系数与符号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，
【解析】由题意，未知数 x 的系数为 a - 3， 所以 a - 3≠0.
由未知数 y 的次数为 | a | - 2，所以 | a | - 2 = 1， 即 a =±3. 但 a≠3. 所以 a = -3.
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
x＋y＝40， x＋y＝12， C.3x＋4y＝12 D.3x＋4y＝40
6．(2019·岳阳第 15 题 4 分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下 列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”其意思 为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日各织 多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布335115 尺．
8. (2019·娄底第 23 题 9 分)某商场用 14 500 元购进甲、乙两种矿泉水
共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
35
48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
解：设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，依题意，得
x＋y＝500， 25x＋35y＝14 500，
2 次，2020 年考查 2 次)
2x－y＝5， 1．(2021·郴州第 6 题 3 分)已知二元一次方程组x－2y＝1，则 x－y 的
值为
（ A）
A．2
B．6
C．－2
D．－6
2．(2021·株洲第 2 题 4 分)方程x2－1＝2 的解是 A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
（ D）
3．(2019·湘潭第 6 题 4 分)若关于 x 的方程 3x－kx＋2＝0 的解为 2，则 k 的值为 44 .
m＝8，m＝5， m＝2， ∴n＝2，n＝6，或n＝10， ∴共有 3 种运输方案，
方案 1：安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆， 所需费用：500×8＋400×2＝4 800(元)； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆， 所需费用：500×5＋400×6＝4 900(元)； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆， 所需费用：500×2＋400×10＝5 000(元)． ∵4 800＜4 900＜5 000， ∴安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4 800 元．
等式与方程的解法
等式与方程的解法在数学中，等式和方程是我们经常会遇到和解决的问题。
它们是数学中最基础和重要的概念之一。
通过解等式和方程，我们可以找到未知数的值，从而解决实际生活中的各种问题。
本文将介绍等式和方程的解法，并通过示例来说明。
一、等式的解法等式是两个数或表达式之间的相等关系。
我们要找到使等式成立的解，即满足等式的变量的值。
1.1 同加同减法如果一个等式中有同一个数同时加上或减去某个数，我们可以通过同加同减法来解决。
例如，对于等式2x + 3 = 7，我们可以通过将3同时减去两边，得到2x = 4，再除以2，即可找到x的值，即x = 2。
1.2 同乘同除法当等式中有同一个数同时乘以或除以某个数时，我们可以通过同乘同除法来解决。
例如，对于等式3x = 9，我们可以通过将等式两边同时除以3，得到x = 3，从而求得x的值。
1.3 倒数关系有时候，在等式中，如果两个数之间存在倒数关系，我们可以通过互换它们的位置来解决问题。
例如，对于等式1/x = 2，我们可以通过倒数关系，得到x = 1/2，从而求得x的值。
二、方程的解法方程是一个陈述了两个表达式之间相等关系的等式。
在方程中，我们要找到使方程成立的未知数的值，即解方程。
2.1 一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数和次数为1的项的方程。
例如，x + 3 = 7就是一个一元一次方程。
我们可以通过移项、合并同类项和运算法则来解决一元一次方程。
2.2 一元二次方程一元二次方程是指只有一个未知数和次数为2的项的方程。
例如，x^2 + 4x + 4 = 0就是一个一元二次方程。
我们可以通过配方法、公式法或因式分解法来解决一元二次方程。
2.3 多元方程组多元方程组是指包含两个或两个以上未知数的方程组。
例如，x + y = 5，2x - y = 1就是一个多元方程组。
我们可以通过代入法、消元法或Cramer法则来解决多元方程组。
三、解法示例为了更好地理解等式和方程的解法，以下是一些实际问题的解法示例。
一元一次方程二元一次方程组
一元一次方程二元一次方程组一、一元一次方程例如：求解方程3x+5=0。
解题步骤：1.移项得到3x=-5；2.除以系数3得到x=-5/3；3.解出x=-5/3，即方程3x+5=0的解为x=-5/3二、一元一次方程组一元一次方程组是指由若干个一元一次方程组成的方程组，其一般形式为⎧⎧⎧⎧⎧a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0...anx+bny+cn=0，其中ai，bi和ci为已知数，且ai≠0，bi≠0（i=1,2,...n）。
解一元一次方程组的基本步骤是通过消元法或代入法将方程组化简为只含有一个未知数的方程，然后求出未知数的值，最后代入原方程求出其他未知数的值。
例如：求解方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=6解题步骤：1.通过消元法，将第二个方程的系数乘以2,得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=62.消去y的系数，得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=63.将得到的方程组化简，得到⎧⎧56x=-12；y=15解得x=-12/56，y=15即方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=6的解为x=-12/56，y=15三、二元一次方程组二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，其一般形式为⎧⎧⎧⎧⎧a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2...anx+bny=cn，其中ai，bi和ci为已知数，且ai≠0，bi≠0（i=1,2,...n）。
解二元一次方程组的基本步骤是通过消元法或代入法将方程组化简为只含有一个未知数的方程，然后求出未知数的值，最后代入原方程求出其他未知数的值。
例如：求解方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=53x-4y=14解题步骤：1.通过消元法，将第二个方程的系数乘以2，得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=56x-8y=282.消去x的系数，得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=56x-8y=283.将得到的方程组化简，得到⎧⎧11y=25；x=14/8解得y=25/11，x=14/8即方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=53x-4y=14的解为y=25/11，x=14/8四、一元一次方程（组）的应用1.速度问题汽车以恒定速度行驶，已知汽车每小时行驶60千米，问行驶t小时后，汽车行驶的千米数？解：设行驶的千米数为x，则根据速度=距离/时间的公式可得x=60t。
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一元一次方程与一次方程组
【知识梳理】
1.一元一次方程
（1）等式的基本性质：若a=b ，则a ±b=b ±c ；若a=b ，则ac=bc,)0(≠=c c
b c a 。
（2）一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数为1，且系数不为0的整式方程，标准形式为)0(0≠=+a b ax 。
最简方程b ax =的解：①当0≠a 时，有唯一解a
b x =
；②当0,0≠=b a 时，方程无解；③当0,0==b a 时，方程的解为全体实数（方程有无数个解）。
（3）解一元一次方程的基本步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
（4）列方程解应用题的基本步骤：
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；（⑤检验）；⑥写答案（答句）。
（5）一元一次方程应用题的基本类型及等量关系：
①行程问题：速度=路程/时间，相向相遇问题：乙甲距s s s +=；
同向追及问题：乙甲距s s s -=，水流问题：水静顺V V V +=， 水静逆V V V -=。
②工程问题：工程效率=工程总量/工作时间，合效率=各分效率之和。
③数字问题：n 位数21a a …+⨯+⨯=--22111010n n n a a a …n a 。
三个连续整数：1,,1+-x x x ；三个连续偶数（奇数）2,,2+-x x x 。
④利息问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，利息税=利息×税率。
利润问题：毛利润=售价-进价，纯利润=售价-进价-其他费用，利润率=进价
利润。
⑤浓度问题：溶质质量（体积）=溶质质量（体积）×浓度；
溶液质量（体积）=溶质质量（体积）+溶剂质量（体积）。
2.一次方程组
（1）直角坐标平面：坐标平面上的点与有序数对一一对应。
（2）二元一次方程：含有两个未知数且未知数最高次数1，系数不为0的整式方程。
标准形式为)0,0(≠≠=+b a c by ax ，任何一个二元一次方程都有无数个解，所有解的全体叫它的解集，对应的图像为一条直线。
（3）二元一次方程组：含有两个未知数且未知数的最高次数为一次的方程组。
一般地在⎩
⎨⎧=+=+f ey dx c by ax 中， ①若f
c e b
d a ==，方程组有无数个解； ②若
f c e b d a ≠=，方程组无解； ③若e
b d a ≠，方程组有唯一解。
（4）一次方程组的解法
①二元一次方程组：
⎭
⎬⎫加减法代入法消元化为一元一次方程； 图像法：转化为求两直线的交点坐标；
②一元一次方程二元一次方程组三元一次方程组消元代入或加减消元−−→
−−−−−→−
【双基训炼】
一、填空题（时间：15分钟）
1.写出一个以2=x 为根的方程___________；
2.如果1=x 代入方程，得x a x 243-=+的解，那么=a ___________；
3.已知1=x 是关于x 的方程12-=+a x 的解，那么=a ___________；
4.方程025=+x 的解是_____________；
5.根据条件列出方程：x 的5倍加上3等于x 的7倍减去15。
_____________________；
6.写出满足方程92=+y x 的一对整数值______________；
7.当=y ___________时，代数式3
18y +与4-y 的值互为相反数； 8.写出一个解为⎩
⎨⎧==21y x 的二元一次方程组__________； 9.方程组⎩⎨⎧=+=-14
322n m n m 的解为____________；
10.已知方程⎩
⎨⎧⎩⎨⎧===+=-1224y x by ax by ax 的解为，则b a 32-的值为______________； 11.对于方程x x 2524-=+的两边同时加_____________，得21=
x ； 12.若51=+x ，则=x ________________；
13.方程32=+y x 的非负整数解是_______________________________；
14.方程x x =-3
22的解是________________； 15.若代数式x 241+的值等于2
8x -的值，那么x 的值为______________； 16.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角度数是_______________；
17.一个长方形的长和宽之比是4 : 3，且它的周长为70cm ，则这个长方形的宽为______________；
18.给出下列程序 输入x k ⨯ 且已知当输入x 的值为1时，输出值为2；输入x 的值为1-时，输出值为4-。
现在输入了一个x 的值是2
1，输出的值为______________； 19. 已知2=+y x ，请设计一个二元一次方程_________________；
使这两个方程的公共解是⎩
⎨⎧==____3y x ； 20.共有8个硬币，其中x 个5角，y 个1角，总价值是2.8元，则可列方程组是________________。
二、选择题（时间：5分钟）
21.若1)1(512=++-++c b z y x a 是三元一次方程，则满足的条件的是（ ）
A.c b a 、、是任意有理数
B.4,0,1-===c b a
C.4,0,1-≠≠≠c b a
D.4,0,1-==≠c b a
22.如果a -＜3，那么下列各式中成立的是（ ）
A.a ＞3
B.1--a ＞2
C.2+-a ＜5
D.a ＜3-
23.某商店上月的营业额是m 万元，本月比上月增长15%，那么本月的营业额是（ ）
A.15%万元
B.（1+15%）m 万元
C.15%（1+m ）万元
D.（1+15%）2 m 万元
24.下列方程中，二元一次方程是（ ）
A.1=xy
B.13-=x y
C.21=+y
x D.032=-+x x 25.已知⎩⎨
⎧=-=12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+71ay bx by ax 的解，则))((b a b a -+的值为（ ） A.335- B.3
35 C.-16 D.16 26.某商品标价1200元，打八折售出后仍盈利100元，则该商品进价是（ ）
A.800元
B.860元
C.900元
D.960元
三、简答题（时间：20分钟）
27.解方程
4
5316-=x x ；
28.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11
)1(2231y x y x ；
29.如果关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+42by ax by ax 与⎩⎨⎧-=-=+354432y x y x 的解相同，求b a 、的值；
30.已知方程组⎩⎨
⎧=-=+6
23623y x y x 的解满足方程024=++a y x ，求a 的值；
31.解关于x 的方程：
)(2b a a
b x b x a ≠+-=+；
32.某校学生外出郊游，如果每一辆车坐45人，那么还剩下20人没有座位；如果每一辆车坐55人，则还会有30个空位置，问共有几辆车？有多少学生？
四、解答题（时间：20分钟）
33. 夏季为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施，某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度，再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度，求只将温度调高1℃后两空调每天各节电多少度？
34. 小明在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和为452元，且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元。
（1）求小明看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）若超市A所有商品八折销售，超市B全场每满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），小明只带了400元钱，如果他只在一个超市购买这两样物品，你能说明他能在哪一家超市购买更省钱？若两家都可以选择，在哪一家超市购买更省钱？。