必修四任意角(附答案)

任意角[学习目标] 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法．知识点一任意角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角思考经过1小时，时针转过多少度？答案－30°.知识点二象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？答案锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．知识点三终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考1 下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}思考2 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.题型一 终边相同的角与象限角 例1 已知角α＝2 010°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. 解 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°. ∴取k ＝5，β＝210°， α＝5×360°＋210°. 又β＝210°是第三象限角， ∴α为第三象限角． (2)与2 010°终边相同的角为k ·360°＋2 010°(k ∈Z )．令－360°≤k ·360°＋2 010°<720°(k ∈Z )， 解得－6712≤k <－3712(k ∈Z )．所以k ＝－6，－5，－4.将k 的值代入k ·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.跟踪训练1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．题型二 等分角所在象限的判断例2 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．解 因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ， 所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限． 所以α2的终边在第一或第三象限．跟踪训练2 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 答案 D解析 由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．题型三 终边相同角的应用 例3 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，k ∈Z }． 终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，k ∈Z }．跟踪训练3 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }． ②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集： {α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z } ∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z } ＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z }∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°或(2k ＋1)·180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z } ＝{α|n ·180°＋30°≤α<n ·180°＋105°，n ∈Z }．已知角α所在象限，求α3所在象限问题例4 已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在______．(填写所有正确的序号)①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限 解析 ∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴k 3·360°<α3<k3·360°＋30°. 当k ＝3m ，m ∈Z 时，m ·360°<α3<m ·360°＋30°，∴角α3的终边落在第一象限．当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，m ·360°＋120°<α3<m ·360°＋150°，∴角α3的终边落在第二象限．当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，m ·360°＋240°<α3<m ·360°＋270°，∴角α3的终边落在第三象限，故选①②③.答案 ①②③1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S .一、选择题1．若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角3．与－460°角终边相同的角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋460°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·360°＋260°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·360°－260°，k ∈Z }4．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 6．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( )A ．M ＝PB ．M PC ．M PD ．M ∩P ＝∅二、填空题7．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________． 8．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________．9．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________.10．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝________________.三、解答题11.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．12．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．13.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.当堂检测答案1．答案 D解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故为第四象限角，故选D.2．答案 D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．3．答案195°＋(－3)×360°4．答案－252°解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.5．解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合为：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．课时精练答案一、选择题1．答案 A2．答案 C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．3．答案 C解析∵－460°＝－2×360°＋260°，∴－460°与角260°终边相同，∴与－460°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}．4．答案 D解析－75°是第四象限角；225°是第三象限角；475°＝360°＋115°是第二象限角；－315°＝－360°＋45°是第一象限角，故①②③④全正确，选D.5．答案 B解析A不正确，如－210°<30°.在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.∴A B，∴B正确．又C中，α为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，∴C不正确．显然D不正确．6．答案 B解析对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．二、填空题7．答案240°解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.8．答案{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}9．答案－110°或250°解析∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z，∵－360°<θ<360°，∴k＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.10．答案{－126°，－36°，54°，144°}解析当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．三、解答题11.解终边落在y＝3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k ∈Z }，终边落在y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S ＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，于是终边在y ＝3x 上角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．12．解 由题意可知， α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ， ∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z . ∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°. 取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.13.解 ∵0°<θ<180°，且k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 则一定有k ＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n ·360°(n ∈Z )， ∴θ＝n ·180°7，从而90°<n ·180°7<135°，∴72<n <214，∴n ＝4或5.当n ＝4时，θ＝720°7； 当n ＝5时，θ＝900°7.精品文档。