【数学】第三章《导数及其应用复习小节》课件(新人教A版选修1-1)

f ( x ) ax bx cx 在 点 x 0 处 取
3 2
y
得极大值 5 ,其导函数 y f ( x ) 的图 象经过点 (1, 0) , (2, 0 ) ,如图所示.求: （Ⅰ） x 0 的值; （Ⅱ） a , b , c 的值.
O
1Hale Waihona Puke 2x解法一:（Ⅰ）由图象可知,在 ,1 上 f x 0 ,在 1, 2 上
的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，
即v(t)=s’(t).
基本初等函数的导数公式
1 .若 f ( x ) = c ， 则 f ( x ) = 0 2 .若 f ( x ) = x ， 则 f ( x ) = n x
' n ' n-1 '
(n R )
3 .若 f ( x ) = s i n x ， 则 f ( x ) = c o s x 4 .若 f ( x ) = c o s x ， 则 f ( x ) = - s i n x 5 .若 f ( x ) = a ， 则 f ( x ) = a ln a 6 .若 f ( x ) = e ， 则 f ( x ) = e
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) 2 g ( x) g ( x)
返回
当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点P处的切线.
3a 2b c 0, 得 1 2 a 4 b c 0 , 解得 a 2, b 9, c 12 . a b c 5.
解法二: （Ⅰ）同解法一. （ Ⅱ ） 设 f x m x 1 x 2 m x 3m x 2 m , 又
f ( x x) f ( x) x
x 0
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
x2
0
x4 x3 b x 返回
f(a)
f(x2)
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 5(05 山东 19)已知 x 1 是函数
f ( x ) m x 3( m 1) x nx 1 的一个极值点，其中
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m, n R, m 0 ，
（I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f ( x ) 的单调区间； （III）当 x 1,1 时,函数 y f ( x ) 的图象上任意一 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
2 解:(I) f ( x ) 3 m x 6( m 1) x n 因为 x 1 是函数 f ( x ) 的
22 a 20 ,解得 a 2 ．
故 f x x 3 x 9 x 2 ,因此 f 1 1 3 9 2 7 ,
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即函数 f x 在区间 2, 2 上的最小值为 7 ．
例 7 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数
f ( x0 x) f ( x0 ) x
k=tanα=
x 0
lim
（一）导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 若极限
x 0
lim
y x
lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
2


2 m
当 m 0 时,有 1 1
2 m
,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表：
2 m
x
2 ,1 m

1
2 ,1 1 m

1
1,

f ( x )
4 m 0 .即 m 的取值范围为 , 0 . 3 3
4
（五）函数的最大值与最小值：
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区 间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数 值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小
值记为m.
2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必 有最大值与最小值． 3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最 值求法：
① 求出f(x)在(a，b)内的极值；
② 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是 最大值，较小的一个是最小值.
【函数的极值和最值问题】
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x 3 x 9 x a .
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（Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ） f x 在区间 2, 2 上的最大值为 20,求它在该 若 区间上的最小值．
2 解： （Ⅰ）f x 3 x 6 x 9 .令 f x 0 ,解得 x 1 或
x 3 ,所以函数 f
x 的单调递减区间为 , 1 , 3, ．
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x 3 x 9 x a .
f x 0 ,在 2, 上 f x 0 ,故 f
x 在 x 1 处取得极
大值,所以 x 0 1 .
x 3 a x 2 2 b x c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 , （Ⅱ）f
一 个极值 点 ,所以 f (1) 0 ,即 3 m 6 ( m 1) n 0 ， 所以
n 3m 6 .
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
（II）由（I）知， f ( x ) 3 m x 6( m 1) x 3 m 6 = 3 m ( x 1) x 1
上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)
是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ， 当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就 把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率， 用极限运算的表达式来写出，即
设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 切线的斜率.
即: k切线 f ( x0 ) lim
'
y=f Q (x)
P o

割 线 T 切 线 x
y x
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
返回
定理 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
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（Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间
2, 2 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值．
(Ⅱ)当 x 2, 2 时
x
2
2, 1

1
0
1, 2

2
f x
f
x
2a

极小

22 a
f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
因为 f 2 2 a , f 2 2 2 a ,所以 f 2 f 2 .
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
因为在 1, 3 上 f x 0 ,所以 f x 在 1, 2 上单调递增， 又由于 f x 在 2, 1 上单调递减，因此 f 2 和 f 1 分别 是 f x 在 区 间 2, 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有
2
2 m
( m 1) x
2
2 m 1 m
0 ,即 x
2
2 m
( m 1) x
2 m
0, x 1,1 ①
设 g ( x ) x 2 (1
)x
2 m
,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
2 2 0, g ( 1) 0, 4 1 2 所以 解之得 m 又 m 0 所以 m m 3 g (1) 0 . 1 0.
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0