函数的图象讲义

函数的图象讲义

一、知识梳理

1．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

2．图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换

①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )；

②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；

③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；

④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．

(3)伸缩变换

①y ＝f (x ) ―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变

0

y ＝af (x )． (4)翻折变换

①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去

y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象

y ＝f (|x |)． 注意：1．关于对称的三个重要结论

(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．

(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．

(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．

2．函数图象平移变换八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

二、基础检测

题组一：思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( )

(2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( )

(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )

(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )

题组二：教材改编

2．]函数f (x )＝x ＋1x

的图象关于( ) A ．y 轴对称

B ．x 轴对称

C ．原点对称

D ．直线y ＝x 对称 3．[函数y ＝21－x 的大致图象为( )

4．]如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是__________．

题组三：易错自纠

5．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )

6．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象．

7．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0

三、典型例题

题型一：作函数的图象

作出下列函数的图象：

(1)y ＝x )21(；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.

题型二：函数图象的辨识

典例 (1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )

思维升华：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

跟踪训练 (1)函数f (x )＝sin x ln (x ＋2)

的图象可能是( )

(2)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )

题型三：函数图象的应用

命题点1：研究函数的性质

典例 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )

A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)

B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)

(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0

m＝________.

命题点2：解不等式

典例函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f(x)

cos x<0的解集为____．

命题点3：求参数的取值范围

典例(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．

思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．

(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．

跟踪训练(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．

(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是______．

四、反馈练习

1．函数f(x)＝sin x

x2＋1的图象大致为()

2．函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为()