计算方法 第3章 线性方程组数值解法

解：求解线性方程组的第一阶段称为消元过程，其方法是
第2个方程减去第1个方程的1/2倍，第3个方程减去第1个方
程的2倍，得
2
x1
4x2 3x2
2x3 6x3
6 3
7x2 2x3 10
第3个方程减去第2个方程的7/3倍，得
消 去
2x1 4x2 2x3 6
3x2 6x3 3
a22 x2 ... a2k xk a x 2,k 1 k 1 ... a2n xn b2
...................................
(3.3)
akk xk a x k ,k 1 k 1 ... akn xn bk
...........................
a22 x2
a2n xn
b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
,
x1
x
x2
,
b1
b
b2
an1 an2 ann
xn
bn
(3.1)
Ax b
(3.2)
这里A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为右端项。
去
1.2) 对于 j k 1,, n 循环
法
xk xk aij x j
1.3) 计算 xk xk / akk
2) [算法结束]
再看Gauss消去法的消元过程，对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2
计算方法
第三章线性方程组的数值解法
杨中华
北京工业大学应用数理学院
线性方程组是应用最为广泛的数学模型，很多复杂问题 中都含有线性方程组子问题，因此讨论线性方程组问题的求 解很有必要，本章将讨论线性方程组的数值解法。
线性方程组的一般形式：
记：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
(3.4)
j k 1
回代过程就是对 k n, n 1,,2,1 实施这一公式，注意必 须从后向前计算方可，所以此过程叫做回代过程。
算法3.1 上三角线性方程组的回代算法
0) [初始化] 设置上三角方程系数矩阵A，右端项向量b
1) [回代过程] 对于 k n, n 1,,2,1 循环
消
1.1) 计算 xk bk
ann xn bn
第1步：根据第n个方程解出 xn ，得
xn
bn ann
第2步：根据已求出的 xn和第n-1个方程求 xn1 ，得到
消
xn1
bn
an1,n xn a n 1, n 1
去 假如已经求出 xn , xn1,, xk1 ，代入第k个方程得：
法
n
xk (bk akj x j ) / akk
.............
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
消 的消去法本质上可看作将其增广矩阵用初等行变换化为梯形
去
矩阵的过程。 为清楚的表示每次消元前后系数矩阵和右端项的状态，
法 通常以 A(k)、b(k)表示系数矩阵和右端项，其元素分别记作
ai(jk) , bi(k) , i, j 1,2,, n ，其中上标(k)表示在第k次消元前的状 态，其初始增广矩阵为：
a (1) 11
0
0
0
a (1) 12
a (1) 1n
a (2) 22
a (2) 2n
a (2) 32
a (2) 3n
a (2) n2
a (2) n2
b (1) 1
b (2) 2
b (2) 3
b (2) n
(3.6*)
为此，对
i
2,3,, n
，令消元因子
mi1
a (1) i1
/
a (1) 11
减去第2行的 mi2 倍，则有
再对第3、4、…、n-1列消元，最后得到上三角线性方程组
的增广矩阵为：
消 去 法
a11 0
a12 a22
a13 a23
a1n a2n
b1 b2
本章首先讨论线性方程组的直接解法然后再介绍迭代解 法。
3.1 消去法
1. 顺序Gauss消去法
首先回顾一下线性代数中所讲的线性方程组消去法过程 ，然后归纳出消去法的数值算法，请看如下的例子：
例3.1 求解线性方程组
2
x1 x1
4x2 x2
2x3 5x3
6 0
4x1 x 2 2x3 2
求解线性方程组问题的数值方法可分为两类：直接解法 和迭代解法。
直接解法是通过有限次初等运算，求得其解，虽然直接 解法的推导过程都是无误差的，但是由于计算机的运算都 是有舍入误差的，所求的解其实是一个有误差的近似解。
迭代解法则是从某个初始近似解出发，按照一个确定的 迭代公式得到一个更好的近似解，反复迭代，直到求得一 个满足精度要求的近似解。
a (1) 11
a (1) 12
a (1) 1n
b (1) 1
a
(1) 21
a (1) 22
a (1) 2n
b (1) 2
a
(1) n1
a (1) n2
a (1) nn
b (1) n
(3.5)
首先对第1列消元，也就是对增广矩阵做初等行变换将元素
a
(1) 百度文库1
,,
a
(1) n1
约化为0。
消
希望消元之后形如：
,
x2
3 2
,
x3
1 4
归纳以上求解方法，求解线性方程组包括两个过程，消 元过程和回代过程。
首先给出回代过程的算法，回代过程其实是一个特殊形
消 式的方程组的求解方法，就是一个上三角线性方程组的求解
去 方法，如：
法
a11 x1 a12 x2 ... a1k xk a x 1,k 1 k 1 ... a1n xn b1
，将第i各
去 行减去第1行的 mi1 倍 ，也就完成了消元过程。之后的论述
法 中，在不引起混淆的情况下，将(3.6*)式略去上标(k)记为：
a11 0
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
0
a32
a3n
b3
0
an2
ann
bn
(3.6)
第2列消元，对 i 3,4,, n ，令 mi2 ai2 / a22 ，将第i各行
12x3 3
法
这一过程就是消元过程，即把方程化为等价的上三角
方程(对角线下变为0)。
第一个阶段完成后，进入第二个阶段，称为回代过程，
其方法是：先由第3个方程解出 x3 ，将 x3代入第2个方程解
出x2 ，再将 x2 和 x3 代入第1个方程解出 x1也就解出所有的未
知量。如下就是所求的解：
x1
1 4