弹塑性力学与有限元：2 力学位移和应变分析T

O
x u u dx
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
u
P
dx
v P A
dy
x v v dx
x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
B
A
B
u u dy
P点两直角线v 段夹v角d的x 变 v化
tan
x dx u dx
xy
v x
u x
u
u
x dy
u
tan
y dy v dy
zx xz xz zx
注意： xy与 yx代表的完全是同一个量
即过物体内某点所引沿x及y方向的线元间夹角的改变量。
它与
xy＝
yx的含义不同，
xy与
并不是同一个剪应力，
yx
它们只是数值相等而已
当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时
x
,
y
,
z
,
xy
,
yz
,
表示该点处的六个应变分量
zx
A A'
y
l l
x
l
• 方向的相对改变 剪（角）应变
900
x
z
B
l
l'
B'
0
A 90
A'
y
C
C'
沿坐标轴x,y,z方向的正应变分量为：
x
dx dx
;
y
dy dy
;z
dz dz
剪应变分量为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度
表示）
xy yx yx xy
yz zy zy yz
由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与 此微分体的变形情况的差别是微小的；
因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上 投影的变形就可以了。
变形包括：
1.各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示
2.棱边夹角的变化，用剪应变表示。 z
B
考察物体内任意一微小线段
l
B'
l'
• 长度的相对改变 正（线）应变
v P A
dy
v v dx x
y
B
A
v v dy y
B
u u dy y
三.应变分量和位移分量间的关系 P点在x，y轴的位移分为： u u(x, y, z),v v(x, y, z)
A，B两点相应的位移分量分是：
A：u u(x dx, y, z),v v(x dx, y, z) B：u u(x, y dy, z),v v(x, y dy, z)
位移分量是点坐标的单值连续函数。即：
u u(x, y, z) v v(x, y, z) w w(x, y, z)
由于运算的需要，假定位移分量 具有连续到三阶的偏导数。
二.应变分量
分析物体内一点的应变状态，在物体内任一点取出一 个平行于三个坐标平面的微分平行六面体（单元体）。设
其三个棱边的长度分别为dx,dy,dz。
某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。
三.应变分量和位移分量间的关系
将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标 平面上的投影来表明。
以在oxy平面上的投影为例，研究应变分量与位移分量 的关系：
P点在x，y轴的位移分为： u u(x, y, z),v v(x, y, z)
O
u
P
dx
x u u dx x
位移和应变分析
物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间
有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化， 即产生变形。
位移分量和应变分量以及其间的关系
一.位移分量
物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分， 一部分是与物体变形相应的位移，称为相对位移； 另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移。
——几何方程
y
B
说明：
v v dy y
B
u u dy
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的
y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
u u dx x
v v dx x
A
（2）当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , xy ，
不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）`
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
本章仅考虑平衡状态。
根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后， 都一一对应于相应的点M’；
u y
y
1
xy
v x
u y
y
注意一种习惯的表达（记法）
ux
u x
,
uy
u y
,
vx
v x
,
vy
v y
A' B ' AB
x
AB
dx uxdx2 vxdx2 dx
dx
1 ux 2 vx 2 1 1 ux 2 1 ux
整理得：
O
x
x
u x
y
v y
u
P
dx
v P A
dy
xy
v x
u y
（3） xy —— 以两线段夹角减小为正，增大为负。
利用微体在另外两个坐标面上的投影，可以求得其他应 变分量和位移分量之间的关系：
x
u x
,y
v y
,z
w z
xy
v x
u y
,
yz
w y
v z
, zx
u z
w x
此式称为几何方程，又称柯西（Cauchy）方程
如果已知位移分量，由几何方程求偏导数可以得到应变分 量
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx PB dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
u u dx x
A v v dx B
x
u u dy
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
要注意理解变形与位移联系与区别。 • 刚体位移 • 变形位移
大部分位移中，两者都存在。在有限元中，构造 位移模式时，要反映出这两种位移。
物体变形前，点M（x,y,z） 变形后,该点由原来位置移至 新的位置M’(x’,y’z’)
MM 称为点M的位移
MM 在x,y,z三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量
如果已知应变分量，求位移分量比较复杂，积分需要确定 积分常数，由边界条件决定
应变分量的符号规定： 正应变： 正号的正应变表示沿该方向伸长， 负号的正应变表示沿该方向缩短；
按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，
则A点和B点的位移分量分别为
A：u u dx,பைடு நூலகம்v v dx
x
x
B：u u dy, v v dy
y
y
O
Pud
x u u dx x
v
d
P x A
v v dx x
y
y B
A
v v dy y
B
u u dy y
线段的伸长或缩短；
一点的变形
O
线段间的相对转动；