三角函数和双曲函数公式表

三角函数的定义
直角坐标系中定义
直角三角形定义
a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的
图像。

单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。

它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理，单位圆的等式是：
x2+y2=1
对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。

在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：
级数定义
只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。

（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。

我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。

它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。

这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。

在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。

从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。

它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。

与指数函数和复数的联系
可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：
这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。

在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。

例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。

进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数：
这里 i2=−1还有对于纯实数 x，
微分方程定义
正弦和余弦函数都满足微分方程
就是说，每个都是它自己的二阶导数的负数。

在由所有这个方程的解的二维向量空间 V 中，正弦函数是满足初始条件 y(0) = 0 和 y′(0) = 1 的唯一解，而余弦函数是满足初始条件y(0) = 1 和 y′(0) = 0 的唯一解。

因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V 的基。

这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。

（参见线性微分方程）。

很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。

进一步的，观察到正弦和余弦函数满足意味着它们是二阶算子的特征函数。

正切函数是非线性微分方程
满足初始条件y(0) = 0 的唯一解。

有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程；参见 Needham 的《Visual Complex Analysis》。

利用函数方程定义三角函数
在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。

例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。

即存在唯一的一对实函数 sin 和 cos 使得对于所有实数 x 和 y，下列方程成立
并满足附加条件
从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。

作为例子，这个推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。

***************************************************************************** 三角函数中有一些常用的特殊函数值。

同角三角函数的基本关系式
诱导公式
两角和与差的三角函数公式
三角函数的降幂公式
三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
半角的正弦、余弦和正切公式
化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）
万能公式
除六个基本函数，历史上还有下面六个函数：
半正矢
半余矢
外正割
外余割
）
反三角函数
由于三角函数属于周期函数，而不是单射函数，所以严格来说并没有反函数。

因此要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成为双射函数。

基本的反三角函数定义为：
对于反三角函数，符号sin−1和 cos−1经常用于 arcsin 和 arccos。

使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。

使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔跟“arcsecond”混淆。

正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。

例如，
这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。

例如反正弦函数，可以写为如下积分：
可以在反三角函数条目中找到类似的公式。

使用复对数，可以把这些函数推广到复数辐角上
双曲函数
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义双曲正弦双曲余弦
sinh x=e x−e−x
2
coshx=
e x+e−x
2
双曲正切双曲余切
tanh x=sinh x
cosh x
=
e x−e−x
e x+e−x
cothx=
cosh x
sinh x
=
e x+e−x
e x−e−x
双曲正割双曲余割
sech x=
1
cosh x
csch x=
1
sinh x
********************************************************** 双曲函数的一些性质：
1.。

2.。

3.。

4.。

5.。

6.。

7.。

8.。

9.。

10.。

11.。

12.。

13.。

14.。

15.。

16.。

17.。

18.。

19.。

20.。

21.。

双曲函数与反双曲函数的几何意义
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。

基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。

也类似于三角函数的推导。

反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以此类推。

因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。

在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。

图形
几
何
意 义
双曲扇形COEA 的面积
双曲函数
反双曲函数
都是双曲扇形COEA 的面积，因此反双曲
函数又称面积函数
*******************************************************************************
反双曲函数（inverse hyperbolic function）sinh−1x=ln x+(−∞,+∞) cosh−1x=ln x+x2−1 [1,+∞）
tanh−1x=ln 1+x
( −1<x< 1)
coth−1x=ln x+1
x−1
( x>1)
sech−1x=ln 1
x
±
1
x2
−1=±ln
1+1−x2
x
csch−1x=ln
1−1+x2
x<0 ln
1+1+x2
x>0
************************************************************** 双曲函数与三角函数的关系
双曲函数与三角函数有如下的关系:
∙
∙
∙
∙
∙
∙
注： i 为虚数单位i2=−1
**************************************************************
倍元公式
半犜公式
德·莫弗公式
反双曲函数基本公式
恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下:
∙加法公式：
∙二倍角公式：
∙半角公式：
双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。

Osborn's rule[1]指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括
）则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。

∙三倍角公式：
sin3x = 3sin x−4sin3x
sinh3x = 3sinh x + 4sinh3x
∙减法公式：
cos(x−y) = cos x cos y + sin x sin y
cosh(x−y) = cosh x cosh y−sinh x sinh y
双曲函数的导数
双曲函数也可以以泰勒级数展开
(罗朗级数)
(罗朗级数)
其中
是第n项伯努利数
是第n项欧拉数
双曲函数的积分
在数学中，三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。

三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。

更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

三角函数：正弦, 余弦, 正切, 正割, 余割, 余切
双曲函数与反双曲函数的导数.
正弦定理
对于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：
也可表示为：
其中R是三角形的外接圆半径。

利萨茹曲线，一种三角基的函数形成的图像。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。

在这个定理中出现的公共数 (sin A)/a是通过A, B和C三点的圆的直径的倒数。

正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。

这是三角测量中常见情况。

余弦定理
余弦定理（也叫做余弦公式）是托勒密定理的推广：
也可表示为：
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。

要小心余弦定理的这种歧义情况。

正切定理
还有一个正切定理:。