第三讲有效前沿与最优证券组合

或
_
p (rprf )/ H
切点证券组合(tangency portfolio)
_
re
A D C C(ACrf
)

B Ar f A Cr f
e
[ D C(ACrf
)2
1]1/2 C
切点证券组合e的投资比例
XeV1(r_rfI)(A C/2C H (A rf/)C 2C 2r f)D
一阶条件：
XLT VX(r_rfI)0 Lr_prf XT(r_rfI)0
得证券组合的投资比例
_
_
XpV1(rrfI)(rprf)/H
其中
_
_
H (r rfI)T V 1 (r rf) B 2 rfA rf2 C
证券组合的方差为
_
p 2XpTVXp(rprf)2/H
讨论证券组合P的有效前沿形状
1） AB1
2） AB1
pxA(1x)B p[xA(1x)B]
3）1AB1
_2 _
2p Drp Frp G
_ _
D (A 2 B 2 2AB AB )/r A ( r B )2 0
2种和3种风险证券的有效前沿
X * AU1 V 1 r [1 AU1 ]V 1I
2U 2 A
2U2 C


AU1 2U 2
Xd

[1
AU1 ]X 2U 2
g
定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投 资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合 构成的。
又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线 和有效前沿的切点，故有：
一阶条件
X LTU 1r_2U2VXI0
L 1XTI 0

一阶条件变形得：
X
U1
_
V1 r
2U2
V 1I 2U 2
1ITXU1 ITV1r I TV 1I
2U2
2U 2
从而得出： 2U2 AU1
C
把代回X中可得最优投资比例 ：
定理3.2 (两资金分离定理，twofund separation)
当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一 个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切 点证券组合构成。
计算方法与例题
切点e证券组合的计算方法
例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益 率 r1=12%，r2 = 8%，方差分别为1= 10 和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又 设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点 证券组合Xe.
切点的证券组合
Xe

V1(r rf I) C(A/ Crf )

V 1 (r rf I ) A Cr f
3.3 最优证券组合
N种风险证券的情形
设投资者的效用函数为
U
(rp
,
2 p
)
，并设
和 U
' 1

0
U
' 2

0
，下标1，2分别表示对U
的第1，2个变元求导。U
' 1

0
意味着对给
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 ra
和 r b，方差和协方差分别为 a2,b2,abab
对任一组合p= (x，1-x)，x∈[0，1] ，证券组合
p的期望收益率和方差如下：
_

rp xra(1x)rb
p 2 x 2a 2 ( 1 x )2b 2 2 x ( 1 x )a bab
第三讲 有效前沿与最优证券组合
有效前沿的定义：
定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p)，具有如下性质：
1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。
2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。
则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。
一种风险证券和一种无风险证券
股票A和债券 以 x 1 记投入债券的比例，则 x2 1 x1 是 购买股票的比例。
证券组合的期望收益率和标准差分别为：
_
_
rp x1rf (1x1)rA
p (1x1)A
一种风险证券和一种无风险证券
得证券组合的期望收益率 和标准差的关
系：
_
_
rprf [(rArf)/A]p
推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切 点都是由 和 的凸组合构成的。
有效前沿又可以看成由所有切点组成，因 而有：
推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸 组合。
最优证券组合
存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证 券上的投资比例为X，在无风险证券上的 投资比例为（1 – XI），从而证券组合的 期望收益率
定的风险
2 p
，投资者认为期望回报率r p
越 报大率越r好p 。，U 投2' 资0 意者味认着为对风给险定 p2的越期小望越回
好。
这时投资者的问题可表述为
maxU(XTr,XTVX) s.t XT I 1
构造拉格朗日函数
L U (X Tr,X T V X )(1 X T I)
CITV1I
D B C A 20
_
_
XpCrD pAV1r_B D ArpV1I
_
对于另一个指定的 rq ，在前沿上的证券
组合为：
_
_
XqCrD qAV1r_BD ArqV1I
两个证券组合的协方差为
covrp(,rq)
C D
(rp CA
A
)( rq C
X V 1( r I )

_
rp

_
(rT
V
_
1 r)
_
(rT
V
1I )




(C
_
rp
A)
_
/
D

_
_
1 (I V 1 r) (I TV 1I )
(B Arp)/ D

_
A ITV 1 r
_
_
B rT V 1 r
图3.5
rp
rA
C
。
A
rf
B
O
A
p
两种股票A和B，及一种债券
rp
C
有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切
的射线 r p
e
A
rf
D
B
O
p
N 种股票及一种债券
问题
min 1 X TVX 2
_
_
s.t XTr(1XTI)rf rp
构造拉格朗日函数：
L
1 2
X TVX
_
_
[XTr(1XTI)rf rp]
) 1 C
令 r p rq ，则得前沿上的证券组合
方差为：
r
2 p
C( D
p
A)2 C
1 C
rp

2 p
1/C
(rp A/C)2 1 D/C2
A/C
MVP
O
(1/C)1/2
p
3．2 允许对无风险证券投资的有 效前沿
无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。
设市场上有N种风险证券，它们的收益率
和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协
方差矩阵V为正定矩阵 ，N种证券的期望
__
_
收益率为：r (r1,r2,...r,N)T
N种证券组合P表示为：
X(x1,x2,..x.N ,)T
证券组合期望收益率和方差分别为
_
rp X T r
2p XTVX
按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题：
求这两种风险资产的有效前沿。
rpx4 .6 % (1 x)8 .3 %
p 2 x 2 ( 5 . 6 2 % ) 2 ( 1 x ) 2 ( 6 . 3 3 % ) 2 2 x ( 1 x ) 4 . 7 %
N种风险证券的有效前沿
rp
E
O
p
图3.3
（二)N中风险证券组合泽的有效 前沿
三种解法。
证券组合的期望收益率
rpXTr(1XTI)rfrf XT(rrf I)
投资者的问题可表示为：
m axU (rf X T(rrfI),X T V X )
一阶条件
X U TU 1(rrfI)2U 2VX0
最优投资比例为
X*
U1 2U2
_
V1(rrf
I)
在债券上的投资比例为(1 – X*I)
min 1 XTVX 2
__
s.t, XT r rp
XTI 1
构造拉格朗日函数
L

1 2
X
Tபைடு நூலகம்X
_
_
(rpXTr)(1XTI)
一阶条件：
L
_
VXrI0
XT
L

_
rpXT
_
r
0
L 1 XTI 0

由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。
求解得

_
r p
B
ab=-1 ab=1
CD
A
O
p
图3.1
r p 43
C 2
1B A
O
p
图3.2
例题
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为
r a=4.6% 和 rb=8.5% ，方差和协方差分别为
a 2 ( 5 .6 % 2 2 ,b 2 ) ( 6 .3 % 3 2 ,a b ) 4 .7 %