8-3格林公式及其应用

1 的面积D.
解 椭圆的边界方程为
x y
a cost, bsin t,
0
t
2 .
D 的面积 1 xdy ydx 2 L
1 2
2 0 [a cost b cost bsin t(a sin t)]dt
1
2
abdt ab.
20
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铃
例3 求曲线积分
L
(x
y)dx (x x2 y2
足 格林公式成立的条件，故不能在区域D 上用格林公式.
为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为 圆心，充分小的 r(>0)为半径作一小圆C，使C整个包含在 D 内.在挖掉小圆域C 之后的多连通区域D1 上，可利用格 林公式.设C的边界曲线为 ，则有
(x y)dx (x y)dy
( L )
8-3 格林公式 . 平面第二型曲线积分 与路径无关的条件
单连通与多连通区域
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗 地说，平面单连通区域是不含有“洞”（包括点“洞”） 的区 域,复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域.
例如，平面上的圆形区域
y B(0,1 )
C(0,-1 ) o
x A(1,0 )
(2 1)dxdy ( 2)2 2.
D(-1,0 )
D
从例1看出，当
Q
P
1时，
x y
Pdx Qdy 曲线L所围成区域 D的面积. L
D的面积 1 xdy ydx. 2 L
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例2
求椭圆
x2 y2 a2 b2
证毕
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(3) D 是多连通区域 这时仍然可以通过作辅助线的方法将D 分作若干小区 域.如图所示.对于每个小区域使用上述公式(8.4),然后相加 ，即得出对于整个区域D 上公式 (8.4) 成立.
y
D2
D1
D4
D3
o
x
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设
D (x, y)1(y) x 2(y),c y d}
Q P x y
y2 2xy x2 (x2 y2)2 ,
也即 Q P 0.于是 x y
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(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
0dxdy 0.
D
(2) 当L所围的区域D 包含原点作为其内点时，由于
P(x,y) ,Q(x,y) 在D内一点（即原点）处无定义，也就不满
b
a [P(x, y2 (x)) P(x, y1(x))]dx.
另一方面，根据二重积分的计算法，有
P dxdy
b
(
y2 (x) P(x, y) dy)dx
D y
y a y1( Байду номын сангаас)
b
a [P(x, y2 (x)) P(x, y1(x))]dx
比较上面两式，即得所要的公式（8.4）
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(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
L
x2 y2
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy.
L
x2 y2
x2 y2
此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向
闭曲线L 的积分，都等于沿以原点为圆心的正向圆周 的积分.
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令x r cost, y r sin t,0 t 2 ,有
D
l
L
区域D的边界曲线(L和l）的正向为L逆时针，l顺时针.
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1. 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Pdx Qd y (Q P)dxdy. (8.3) ( 格林公式 )
L
D x y
其中L 为区域D的正向边界.
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(2) 若D是单连通区域,但D的边界线L与平行于y轴的
直线之交点多于两个. 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
D
P dxd y y
y D2 D1 L
n
P
dxd y
k 1 Dk y
o
Dn x
n
Pdx
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
Pdx. L
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x, y) x2 y2 1 , 上半平面 (x, y) y 0 都 是单连通域.
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环形区域 (x, y)1 x2 y2 4 , (x, y) 0 x2 y2 1
都是复连通区域.
定义 规定平面区域D的边界曲线L的正向如下：当 观测者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.如图
类似地可证
Q
L
Qdy
D
dxdy x
.
将前面已证明的关于 Pdy及 Qdy 的公式相加，
L
L
即得到格林公式.
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例1 求
I ydx 2xdy, L
其中L为正方形ABCD 的边界，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1).
解 利用格林公式，
I
D
( Q x
P )dxdy y
证 先证
L
Pd
x
D
P y
dx
dy.
(8.4)
根据区域D 的不同，我们分三种情况进行证明：
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（1） D (x, y) y1(x) y y2(x),a x b
根据曲线积分的性质及计算法，有
Pdx Pdx Pdx Pdx Pdx
AB
BB
BA
AA
L
b
a
a P(x, y1(x))dx 0 b P(x, y2 (x))dx 0
y)dy ,
其中L 为光滑的闭曲线
.
解
这里 P(x, y)
(x y) x2 y2
,
Q(x, y)
x y x2 y2
, P(x, y),
Q(x, y)在原点处无定义， 为利用格林公式，故需分两种
情况讨论.
(1) 当L所围成的区域D内不包含原点时,P(x,y),Q(x,y)
在D 内有连续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出