1432 公式法第二课时
【教育资料】人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 教案学习精品
第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解第二课时14.3.2 公式法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]掌握用平方差公式分解因式的方法，熟练运用平方差公式分解因式。
[2]会辨认完全平方式。
[3]掌握用完全平方公式分解因式的方法，熟练运用平方差公式分解因式。
1.2过程与方法：[1]通过对比学过的乘法公式，逆向思考出因式分解的方法，发展学生的逆向思维能力。
1.3 情感态度与价值观：[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2]让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]公式法分解因式。
2.2 教学难点[1]正确分别完全平方式，防止误用公式法。
[2]正确对应两个公式中的平方中的a和b。
3 专家建议学生刚刚学习过乘法公式，这一节属于对之前知识的进一步应用。
教师在教学过程中应该耐心面对学生的错误，并多举出实例使学生正确运用乘法公式进行因式分解4 教学方法观察思考——概念介绍——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好，上节课我们学习了因式分解的概念，还有用于因式分解的提公因式法，下面我们先来做几道小题，看看大家有没有忘掉，请大家看投影。
【生】（看投影回答问题）【师】提公因式法只是用来因式分解的一种方法，今天我们继续学习另外用于因式分解的方法。
【板书】第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法6.2 新知介绍[1]平方差公式法【师】大家下面看投影（给出两个多项式：x2−4，y2−25），观察多项式，它们有什么特点？【生】多项式可以看成两个数的平方差的形式。
【师】没错，那大家回忆之前的平方差公式，你能把这些多项式分解因式吗？【生】我们学过平方差公式，现在给出的是平方差公式的右边，而平方差公式的左边就是因式分解的结果。
【师】没错。
整式的乘法和因式分解是反向的变形，因此，我们可以把平方差公式等号两边互换位置，就能得到：a2-b2 =(a+b)(a-b)。
《1432公式法》教案2doc
《14.3.2 公式法》教案一、教学目标：用完全平方公式分解因式二、教学重点：用完全平方公式分解因式．三、教学难点：灵活应用公式分解因式．四、教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2（2）a2－2ab+b2[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2－2ab+b2（a－b）2．[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．Ⅱ．导入新课下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4 （2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2（4）a2－ab+b2（5）x2－6x－9 （6）a2+a+0.25结果：（1）a2－4a+4=a2－2×2·a+22=（a－2）2（3）4a2+2ab+14b2=（2a）2+2×2a·12b+（12b）2=（2a+12b）2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2 （2）、（4）、（5）都不是．方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．例题解析[例1]分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）－x2+4xy－4y2[例2]分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2－12（a+b）+36[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2．（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．所以：解：－x2+4xy－4y2=－（x2－4xy+4y2）=－[x2－2·x·2y+（2y）]2=－（x－2y）2．练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a－a2－9；（2）－8ab－16a2－b2；（3）2a2－a3－a；（4）4x2+20（x－x2）+25（1－x）2Ⅲ．课时小结引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解.。
人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 -教案
第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解第二课时14.3.2 公式法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]掌握用平方差公式分解因式的方法，熟练运用平方差公式分解因式。
[2]会辨认完全平方式。
[3]掌握用完全平方公式分解因式的方法，熟练运用平方差公式分解因式。
1.2过程与方法：[1]通过对比学过的乘法公式，逆向思考出因式分解的方法，发展学生的逆向思维能力。
1.3 情感态度与价值观：[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2]让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]公式法分解因式。
2.2 教学难点[1]正确分别完全平方式，防止误用公式法。
[2]正确对应两个公式中的平方中的a和b。
3 专家建议学生刚刚学习过乘法公式，这一节属于对之前知识的进一步应用。
教师在教学过程中应该耐心面对学生的错误，并多举出实例使学生正确运用乘法公式进行因式分解4 教学方法观察思考——概念介绍——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好，上节课我们学习了因式分解的概念，还有用于因式分解的提公因式法，下面我们先来做几道小题，看看大家有没有忘掉，请大家看投影。
【生】（看投影回答问题）【师】提公因式法只是用来因式分解的一种方法，今天我们继续学习另外用于因式分解的方法。
【板书】第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法6.2 新知介绍[1]平方差公式法【师】大家下面看投影（给出两个多项式：x2−4，y2−25），观察多项式，它们有什么特点？【生】多项式可以看成两个数的平方差的形式。
【师】没错，那大家回忆之前的平方差公式，你能把这些多项式分解因式吗？【生】我们学过平方差公式，现在给出的是平方差公式的右边，而平方差公式的左边就是因式分解的结果。
【师】没错。
整式的乘法和因式分解是反向的变形，因此，我们可以把平方差公式等号两边互换位置，就能得到：a2-b2 =(a+b)(a-b)。
1432因式分解之公式法
解原式＝(3ap)2－(bq)2
＝(3ap＋bq)(3ap－bq) (8) -16x4 ＋81y4 解原式＝81y4－16x4 ＝(9y２)2－ (4x２)2 ＝(9y2+4x2)(9y2-4x2) ＝(9y2+4x2)〔 (3y)2-(2x)2〕 ＝(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)
利用 平方差公式分解因式的步骤:
(5) a2+ 1 ab 1 b2 ( × )
24
把下列各式分解因式：
（1）x2+8x+16 (2) 25a4+10a2+1 (3) (m+n)2-4(m+n)+4
解:(1) x2+8x+16 =x2+2×4x+42 =(x+4)2
(2) 25a4+10a2+1 =(5a2)2+2×5a2+1 =(5a2+1)2 (3) (m+n)2+4(m+n)+4
=(m+n)2-2×2(m+n)+22 =[(m+n)-2]2 =(m+n-2)2
1.下列多项式能否分解因式？如果能，请 你将它分解因式：
（1）a2-4a+4 (3)4a2+4a-1
(2) 9a2-3a+1 (4)a2+ab+b2
2.把下列各式分解因式： (1) a2-12ab+36b2 (2) 25x2+10xy+y2 (3) 16a4+24a2b2+9b4 (4) (x+y)2-10(x+y)+25
(3) (3-m)2= __9_-6_m__+_m__2__
人教版数学八上 14-3-2 公式法
知
提公因式法
平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
14.3 因式分解/
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼 成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
探究新知
14.3 因式分解/
这个大正方形的面积可以怎么求？ (a+b)2 = a2+2ab+b2
探究新知
14.3 因式分解/
试一试 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
1. x²+4x+4= ( x )²+2·( x)·( 2)+( 2 )²=( x + 2 )²
巩固练习
14.3 因式分解/
4.用平方差公式进行简便计算:
(1)38²–37²
(2)213²–87²
(3)229²–171²
(4)91×89
解：(1) 38²–37² =(38+37)(38–37) =75
(2) 213²–87²
=(213+87)(213–87) =300×126=37800
(3) 229²–171²
解：∵a2–2bc=c2–2ab， ∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0， ∴(a–c)(a+c+2b)=0. ∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c， ∴这个三角形是等腰三角形.
巩固练习
连接中考
14.3 因式分解/
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是( B )
人教版八年级数学上册《1432公式法》课件
.
【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)
2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式= 2(a 2 4) 2(a 2)(a 2) 答案：2(a 2)(a 2)
3.(珠海·中考)因式分解: ax 2 ay 2 =______.
【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式； 即ax2-ay2=a（x2－y2）=a（x+y）（x－y） 答案:a(x+y)(x－y)
4.（东阳·中考） 因式分解：x3-x=___. 【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). 答案: x(x+1)(x-1)
5.（盐城·中考）因式分解: x2 9 =______.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2.什么是提公因式法分解因式?
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
3.判断下列各式是因式分解的是（2）. (1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4=(x+2)(x-2) (3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
【解析】 原式=（x+3）(x-3). 答案:（x+3）(x-3)
6.利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12.
【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +…
八年级数学上册143因式分解1432公式法2教案新人教版
课题：14.3.2公式法（2）——完全平方公式教学目标：理解完全平方式及因式分解的完全平方公式并能较熟练地应用完全平方公式分解因式． 重点：应用完全平方公式分解因式．难点：灵活应用完全平方公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学流程：一、知识回顾1.说一说因式分解的平方差公式：答案：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.22()()a b a b a b -=+-2.把下列各式因式分解.22(1)44_______________;m n -=44(2)____________________.a b -=答案：（1）4()()m n m n +-；（2）22()()()a b a b a b ++-二、探究问题1：多项式a 2+2ab+b 2与a 2－2ab+b 2有什么特点？答案：两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍．是两个数的和或差的平方．归纳：我们把a 2+2ab+b 2与a 2－2ab+b 2叫做完全平方式完全平方式的特点：1.必须是三项式；2.有两个同号的平方项；3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍.即：首平方，尾平方，首尾两倍在中央！尝试练习1：下列多项式是不是完全平方式？为什么？22222(1)44(2)14(3)441(4)a a a b b a ab b -++++++答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）×问题2：你能把多项式a 2+2ab+b 2与a 2－2ab+b 2分解因式吗？指出：把整式乘法的完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+的等号两边互换位置，可得到，因式分解的完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 尝试练习2：请利用完全平方公式分解因式. 222(2)(1)162494;4x x y y x x -+-++解： 2222(1)16249(4)2433(43)x x x x x ++=+⋅⋅+=+；2222222(2)44(44)[22(2)](2)x xy y x xy y x x y y x y -+-=--+=--⋅⋅+=--．练习：1．下列二次三项式是完全平方式的是( )A ．x 2－8x －16B ．x 2＋8x ＋16C ．x 2－4x －16D ．x 2＋4x ＋16答案：B2．已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于( )A ．64B ．48C ．32D ．16答案：A3．把x 4－2x 2y 2＋y 4分解因式，结果是( )A ．(x －y)4B ．(x 2－y 2)4C ．(x 2－y 2)2D ．(x ＋y)2(x －y)2答案：D三、应用提高分解因式：222 (2(1)363;1236).ax axy ay a b a b +++-++（）（）解：22222(1)3633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+2222(2)1236266(6)a b a b a b a b a b +-++=+-⋅+⋅+=+-（）（）（）（）归纳：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.四、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说完全平方式的构成？2. 运用完全平方公式进行因式分解时要注意什么？五、达标测评1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A ．－a 2－4ab ＋4b 2B ．a 2＋6ab －9b 2C ．a 2＋2ab ＋4b 2D ．4(a －b)2＋4(a －b)＋1答案：D2．下列分解因式正确的是( )A ．x 2＋4x ＋4＝(x ＋4)2B ．4x 2－2x ＋1＝(2x －1)2C ．9－6(m －n)＋(m －n)2＝(3－m －n)2D ．－a 2－b 2＋2ab ＝－(a －b)2答案：D3．分解因式：(1)1－m ＋m 24＝_________________；(2) x 3－2x 2＋x ＝____________；(3)4x 2－20x ＋25＝_______________；(4)4＋12(x －y)＋9(x －y)2＝______________.答案：（1）2(1)2m ；（2）x (x －1)2；（3）(2x －5)2；（4）(3x －3y ＋2)2 4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋b 2－8a －10b ＋41＝0，求△ABC 中最大边c 的取值范围．解：由已知得(a 2－8a ＋16)＋(b 2－10b ＋25)＝0，∴(a －4)2＋(b －5)2＝0，∴a ＝4，b ＝5，∴1＜c ＜9，又∵c 是最大边，∴5≤c＜9六、布置作业教材119页练习题第2题．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知△ABC 中，AB=8,BC=5,那么边AC 的长可能是下列哪个数 （ ） A ．15B ．12C ．3D ．2 【答案】B【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．【详解】解：根据三角形的三边关系，8−5＜AC ＜8＋5，即3＜AC ＜13，符合条件的只有12，故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．2．已知a ，b 为实数且满足1a ≠-，1b ≠-，设11=+++a b M a b ，1111=+++N a b ．①若1ab =时，M N ；②若1ab >时，M N >；③若1ab <时，M N <；④若0a b +=，则0M N ≤．则上述四个结论正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【分析】先求出22(1)(1)ab M N a b --=++ 对于①当1ab =时，可得0M N -=，所以①正确；对于②当1ab >时，不能确定(1)(1)a b ++的正负，所以②错误；对于③当1ab <时，不能确定(1)(1)a b ++的正负，所以③错误；对于④当0a b +=时，222222224011(1)a a M N a a a --==≤---，④正确． 【详解】(1)(1)2(1)(1)(1)(1)a b b a a b ab M a b a b +++++==++++，2(1)(1)a b N a b ++=++ 22(1)(1)ab M N a b --=++①当1ab =时，0M N -=，所以M N ，①正确；②当1ab >时，220ab ->，如果3a =-，12b =-则(1)(1)0a b ++< 此时220(1)(1)ab M N a b --=<++，M N <，②错误； ③当1ab <时，220ab -<，如果3a =-，14b =-则(1)(1)0a b ++< 此时220(1)(1)ab M N a b --=>++，M N >，③错误； ④当0a b +=时，222111a a a M a a a --=+=+-- 2112111N a a a =+=+-- 222222224011(1)a a M N a a a --==≤---，④正确． 故选B ．【点睛】本题关键在于熟练掌握分式的运算，并会判断代数式的正负．3．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).A ．12B ．10C ．8D ．6 【答案】B【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【详解】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选B ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．4．下列式子为最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】B【分析】最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【详解】A. 2a a =，故不符合题意； B. 22a b +是最简二次根式，符合题意； C. 822a a =，故不符合题意；D. 11222=，故不符合题意. 故选：B【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题关键． 5．如图:ACD ∠是ABC ∆的外角,CE 平分ACD ∠,若60A ∠=︒,40B ∠=︒,则ECD ∠等于（ ）A ．30B ．40︒C ．45︒D ．50︒【答案】D 【分析】根据三角形外角性质求出ACD ∠，根据角平分线定义求出即可．【详解】∵6040A B ∠∠=︒=︒，，∴100ACD A B ∠=∠+∠=︒，∵CE 平分ACD ∠，∴111005022ECD ACD ∠=∠=⨯︒=︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 中点，AB=10，则CD 的长为（ ）A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】∵∠ACB＝90°，D是AB中点，∴CD＝12AB＝5，故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）【答案】D【解析】因为∠DAM和∠CBM是直线AD和BC被直线AB的同位角,因为∠DAM＝∠CBM根据同位角相等,两直线平行可得AD∥BC，所以D选项错误,故选D.8．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，且EH=EB．下列四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC；③BE+CH=AE；④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是（）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【分析】①根据AD ⊥BC ，若∠ABC=45°则∠BAD=45°，而∠BAC=45°，很明显不成立； ②③可以通过证明△AEH 与△CEB 全等得到；④CE ⊥AB ，∠BAC=45°，所以是等腰直角三角形．【详解】①∵CE ⊥AB ，EH ＝EB ，∴∠EBH ＝45°，∴∠ABC ＞45°，故①错误；∵CE ⊥AB ，∠BAC ＝45°，∴AE ＝EC ，在△AEH 和△CEB 中，90AE EC AEC BEC EH EB ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AEH ≌△CEB （SAS ），∴AH ＝BC ，故选项②正确；又EC ＝EH ＋CH ，∴AE ＝BE ＋CH ，故选项③正确．∵AE ＝CE ，CE ⊥AB ，所以△AEC 是等腰直角三角形，故选项④正确．∴②③④正确．故选B ．【点睛】本题主要利用全等三角形的对应边相等进行证明，找出相等的对应边后，注意线段之间的和差关系．9．化简22a b a b a b---的结果是（ ） A ．22a b -B ．+a bC ．-a bD ．1【答案】B【分析】按照同分母分式的减法运算法则进行计算，分母不变，分子相减，结果能约分要约分成最简分式． 【详解】解：2222()()-+--===+----a b a b a b a b a b a b a b a b a b故选：B ．【点睛】本题考查同分母分式的加减法，题目比较基础，掌握运算法则正确因式分解将计算结果进行约分是解题关键．10．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确【答案】A【分析】过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF ，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP 平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．二、填空题11．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC 的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是_____．【答案】1【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE＝OD＝4和OF＝OD ＝4，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝4，同理OF＝OD＝4，△ABC的面积＝12×AB×4+12×AC×4+12×BC×4＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 12．若54n 是正整数，则满足条件的n 的最小正整数值为__________．【答案】1【分析】先化简54n ，然后依据54n 也是正整数可得到问题的答案．【详解】解：54n =96n ⨯=36n ，∵54n 是正整数，∴1n 为完全平方数，∴n 的最小值是1．故答案为：1.【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．13．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．添加的条件是：____．（写出一个即可）【答案】AF=CB 或EF=EB 或AE=CE【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【详解】∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，∴∠BEC=∠AEC=∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE =90°，∴∠BAD=∠BCE，所以根据AAS添加AF=CB或EF=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEF≌△CEB．故答案为：AF=CB或EF=EB或AE=CE．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．14．已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于．【答案】﹣5【分析】试题分析：∵点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，∴b=4a+3∴4a﹣b﹣2=4a﹣（4a+3）﹣2=﹣5，即代数式4a﹣b﹣2的值等于﹣5【详解】请在此输入详解！15．已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为________．【答案】4【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为3②长为3、35；4．考点：3．勾股定理；4．分类思想的应用．16．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y＝﹣x+m上，且AP＝OP＝4，则m的值为_____．【答案】2﹣【分析】易知点P在线段OA的垂直平分线上，那么就能求得△AOP是等边三角形，就能求得点P的横坐标，根据勾股定理可求得点P的纵坐标．把这点代入一次函数解析式即可，同理可得到在第四象限的点．【详解】由已知AP ＝OP ，点P 在线段OA 的垂直平分线PM 上．∴OA ＝AP ＝OP ＝1，∴△AOP 是等边三角形．如图，当m ≥0时，点P 在第一象限，OM ＝2，OP ＝1．在Rt △OPM 中，PM ＝22224223OP OM -=-= ，∴P （2，23）．∵点P 在y ＝﹣x+m 上，∴m ＝2+23．当m ＜0时，点P 在第四象限，根据对称性，P ′（2，﹣23）．∵点P ′在y ＝﹣x+m 上，∴m ＝2﹣23．则m 的值为2+23或2﹣23．故答案为：2+23或2﹣23．【点睛】本题考查了一次函数解析式的问题，掌握解一次函数解析式的方法是解题的关键．17．如图，在等边三角形ABC 中，23AB cm =，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 上的任意一点（不与点,A B 重合），将B 沿MN 折叠使点B 恰好落在等边三角形ABC 的边上，则BN 的长为_______cm ．33【分析】如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠ABC＝60°，根据线段中点的定义得到BN＝12BM32，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．【详解】解：如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，则MN⊥AB，BN＝BN′，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，∵点M为边BC的中点，∴BM＝12BC＝12AB3∴BN＝12BM＝32如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，∵∠ABC＝60°，点M为边BC的中点，∴BN＝BM＝12BC＝12AB3，33【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题18．阅读理解在平面直角坐标系xoy 中，两条直线()()11112221:0,:0l y k x b k l y k x b k =+≠=+≠， ①当12l l //时，12k k =，且12b b ≠；②当12l l ⊥时，121k k ．类比应用（1）已知直线:21l y x =-，若直线111:l y k x b =+与直线l 平行，且经过点()2,1P -，试求直线1l 的表达式；拓展提升（2）如图，在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点坐标分别为：()()()0,2,4,0,1,1A B C --，试求出AB 边上的高CD 所在直线的表达式．【答案】（1）y=2x+5；（2）y=2x+1.【分析】(1)利用平行线性质可知k 值相等，进而将P 点坐标代入1l 即可求出直线1l 的表达式； （2）由题意设直线AB 的表达式为：y=kx+b ，求出直线AB 的表达式，再根据题意设AB 边上的高CD 所在直线的直线表达式为y=mx+n ，进行分析求出CD 所在直线的表达式.【详解】（1）∵l ∥1l ∴12k =，∵直线经过点P （-2，1）∴l =2×（-2）+1b ，1b =5，∴直线1l 的表达式为：y=2x+5.（2）设直线AB 的表达式为：y=kx+b∵直线经过()()0,2,4,0A B∴240b k b =⎧⎨+=⎩，解得212bk =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AB 的表达式为：122y x =-+； 设AB 边上的高CD 所在直线的表达式为：y=mx+n ，∵CD ⊥AB ，∴11,22m m ⎛⎫⋅-=-= ⎪⎝⎭， ∵直线CD 经过点C （-1,-1）,∴()121,1n n -=⨯-+=∴AB 边上的高CD 所在直线的表达式为：y=2x+1.【点睛】此题考查一次函数的性质，理解题意并利用待定系数法求一次函数解析式的解题关键. 19．如图，ABC ∆中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，过点C 作//CF AB 交DE 的延长线于点F ，连结BE .（1）求证：四边形BCFD 是平行四边形.（2）当AB BC =时，若2BD =，3BE =，求AC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）27 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得出DE ∥BC ，再根据已知CF ∥AB 即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质三线合一得出90AEB =︒∠，然后利用勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ．∵CF ∥AB ，∴四边形BCFD 是平行四边形；（2）解：∵AB=BC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ．∴90AEB =︒∠∵AB=2DB=4，BE=3，22437∴=-=AE227∴==AC AE【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．如图，AC ＝BC ，AE ⊥CD 于点A ，BD ⊥CE 于点B ．（1）求证：CD ＝CE ；（2）若点A 为CD 的中点，求∠C 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【分析】（1）证明△CAE ≌△CBD （ASA ），可得出结论；（2）根据题意得出△CDE 为等边三角形，进而得出∠C 的度数．【详解】（1）∵AE ⊥CD 于点A ，BD ⊥CE 于点B ，∴∠CAE ＝∠CBD ＝90°，在△CAE 和△CBD 中，C C AC BCCAE CBD ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝＝ ， ∴△CAE ≌△CBD （ASA ）．∴CD ＝CE ；（2）连接DE ，∵由（1）可得CE ＝CD ，∵点A 为CD 的中点，AE ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∴CE ＝DE ＝CD ，∴△CDE 为等边三角形．∴∠C ＝60°．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定的综合问题，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法及等边三角形的判定定理．21．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13m ，AD=12m ，BD=5m ，AC=15m ，求图中△ABC 面积．【答案】84m 1【分析】由222AD BD AB +=可推导出△ABD 为直角三角形且90ADB ∠=；从而推导出△ADC 为直角三角形，再利用勾股定理计算得CD ，从而完成求解．【详解】∵AB=13m ，AD=11m ，BD=5m∴222AD BD AB +=∴△ABD 为直角三角形且90ADB ∠=∴18090ADC ADB ∠=-∠=∴△ADC 为直角三角形∴222AD CD AC += ∴2222=15129CD AC AD -=-=∴()1122ABC S AD BC AD BD CD =⨯=⨯+△ ∵5914BD CD +=+= ∴()11==1214=8422ABC S AD BD CD ⨯+⨯⨯△m 1． 【点睛】本题考察了勾股定理和勾股定理的逆定理．求解的关键是熟练掌握勾股定理的性质，完成求解． 22．如图所示，在ABC 中，AB AC =，D 是AB 上一点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 和CA ，相交于点F ，求证：ADF 是等腰三角形．【答案】证明见解析．【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C ，再根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等可得∠F=∠2，再结合对顶角的定义∠F=∠1，最后根据等角对等边即可证明．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵FE ⊥BC ，∴∠F+∠C=90°，∠2+∠B=90°，∴∠F=∠2，而∠2=∠1，∴∠F=∠1，∴AF=AD ，∴△ADF 是等腰三角形；【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F=∠1，即可推出结论．23．某城市为创建国家卫生城市，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶（如图所示），据调查该城市的A 、B 、C 三个社区积极响应号并购买，具体购买的数和总价如表所示． 社区 甲型垃圾桶 乙型垃圾桶 总价 A10 8 3320 B5 9 2860 C a b 2820（1）运用本学期所学知识，列二元一次方程组求甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价每套分别是多少元？（2）按要求各个社区两种类型的垃圾桶都要有，则a ＝ ．【答案】（1）甲型垃圾桶的单价每套为140元，乙型垃圾桶的单价每套为240元；（2）3或1．【分析】（1）设甲型垃圾桶的单价为x 元，乙型垃圾桶的单价每套为y 元，根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组即可解答；（2）根据图表中的数据列出关于a\b 的二元一次方程，结合a 、b 的取值范围求整数解即可．【详解】（1）设甲型垃圾桶的单价每套为x 元，乙型垃圾桶的单价每套为y 元，根据题意，得 1083320592860x y x y +=⎧⎨+=⎩解得140240 xy=⎧⎨=⎩答：甲型垃圾桶的单价每套为140元，乙型垃圾桶的单价每套为240元；（2）由题意，得140a+240b＝2820整理得，7a+12b＝141因为a、b都是整数，所以310ab=⎧⎨=⎩或153ab=⎧⎨=⎩答：a的值为3或1．故答案为3或1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．24．某电话公司开设了两种手机通讯业务，甲种业务：使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；乙种业务：不交月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（指市话）．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为y1（元）和y2（元）．（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式．（2）根据每月可能的通话时间，作为消费者选用哪种缴费方式更实惠．【答案】(1)、y1=50+0.4x，y2=0.6x；(2)、当通话时间小于250分钟时，选择乙种通信业务更优惠；当通话时间等于250分钟时，选择两种通信业务一样；当通话时间大于250分钟时，选择甲种通信业务更优惠．【分析】(1)根据两种费用的缴费方式分别列式计算即可得解；(2)先写出两种缴费方式的函数关系式，再分情况列出不等式然后求解即可．【详解】解：(1)由题意可知：y1=50+0.4x，y2=0.6x；(2)y1=50+0.4x，y2=0.6x，当y1＞y2即50+0.4x＞0.6x时，x＜250，当y1=y2即50+0.4x=0.6x时，x=250，当y1＜y2即50+0.4x＜0.6x时，x＞250，所以，当通话时间小于250分钟时，选择乙种通信业务更优惠，当通话时间等于250分钟时，选择两种通信业务一样，当通话时间大于250分钟时，选择甲种通信业务更优惠．考点：一次函数的应用．25．基本运算（1）分解因式：①3224a b ab -②()228a b ab -+（2）整式化简求值：求[()()()2224x y x y x y +--+]÷4y 的值，其中()02x -无意义，且320x y -=．【答案】（1）①2(21)(21)ab a a -+，②()22a b +；（2）52y x --，-1【分析】（1）①先提取2ab ，再利用平方差公式即可求解；②先化简，再利用完全平方公式即可求解；（2）先根据整式的混合运算法则化简，再根据零指数幂的性质求出x ，y 的值，代入即可求解．【详解】（1）①3224a b ab -=22(41)ab a -=2(21)(21)ab a a -+②()228a b ab -+ 22448a ab b ab =-++2244a ab b =++()22a b =+（2）[()()()2224x y x y x y +--+]÷4y=2222(4816)4x y x xy y y ----÷=2(208)4y xy y --÷=52y x --∵()02x -无意义，且320x y -=，∴2x =，3y =代入上式得：原式=5322-⨯-⨯=－1．【点睛】此题主要考查因式分解与整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图,a ∥b ,点B 在直线a 上，且AB BC ⊥,135∠=,那么2∠=（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°【答案】C 【解析】根据a ∥b 可以推出423∠=∠+∠，根据平角的定义可知：14180∠+∠=而135∠=，∴418035145∠=-=，∴23135∠+∠=；∵AB BC ⊥ ∴ 390∠=，∴255∠=.故应选C.2．不等式组2312x x -≥-⎧⎨-≥-⎩的解为（ ） A ．5x ≥B ．1x ≤-C ．15x -≤≤D ．5x ≥或1x ≤- 【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2−x≥−3，得：x≤5，解不等式x−1≥−2，得：x≥−1，则不等式组的解集为15x -≤≤．故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．若x y >，且(3)(3)a x a y -<-，则a 的值可能是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据不等式的性质，可得答案．【详解】由不等号的方向改变，得a−3<0，解得a<3，四个选项中满足条件的只有0.故选：A.【点睛】考查不等式的性质3，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.4．关于函数y=2x，下列结论正确的是()A．图象经过第一、三象限B．图象经过第二、四象限C．图象经过第一、二、三象限D．图象经过第一、二、四象限【答案】A【分析】分别根据正比例函数的图象及性质进行解答即可．【详解】解：A．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项符合题意；B．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；C．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；D．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是正比例函数的图象及性质，熟知正比例函数的图象及性质是解答此题的关键．5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积），下列四个说法：为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x y①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=.其中说法正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 【答案】B【详解】可设大正方形边长为a,小正方形边长为b ，所以据题意可得a 2=49,b 2=4;根据直角三角形勾股定理得a 2=x 2+y 2,所以x 2+y 2=49，式①正确；因为是四个全等三角形，所以有x=y+2,所以x-y=2，式②正确；根据三角形面积公式可得S △=xy/2,而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以44492xy ⨯+=，化简得2xy+4=49，式③正确； 而据式④和式②得2x=11,x=5.5,y=3.5,将x,y 代入式①或③都不正确，因而式④不正确． 综上所述，这一题的正确答案为B ．6．以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：根据轴对称图形的定义可知：第1个行标是轴对称图形；第2个行标不是轴对称图形；第3个行标是轴对称图形；第4个行标是轴对称图形；所以共3个轴对称图形，故选C.考点：轴对称图形7．下列四个手机APP 图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据轴对称定义进行判断即可.【详解】解：根据轴对称图形的定义：把一个图形沿某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫作轴对称图形.由此定义可知, B 满足定义条件.故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义：把一个图形沿某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫作轴对称图形.8．若()()253y y y my n -+=++，则m ，n 的值分别为( ) A ．2,15m n ==B ．2,15m n ==-C ．2,15m n =-=-D ．2,15m n =-=【答案】C 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算()()53y y -+，再根据多项式相等的条件即可求出m 、n 的值．【详解】∵()()22533515215y y y y y y y -+=+--=--， ∵()()253y y y my n -+=++， ∴22215y my n y y ++=--，∴2m =-，15n =-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则：()()a b m n am an bm bn ++=+++．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．9．过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（ ）A ．()113802x x -=B ．x （x ﹣1）=380C ．2x （x ﹣1）=380D ．x （x+1）=380 【答案】B【分析】设该班级共有同学x 名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．【详解】设全班有x 名同学，由题意得：x （x-1）=380，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．10．将分式2x y x y -中的x ，y 的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大6倍B ．扩大9倍C ．不变D ．扩大3倍【答案】B【分析】将原式中的x 、y 分别用3x 、3y 代替，化简，再与原分式进行比较． 【详解】解：∵把分式2x y x y-中的x 与y 同时扩大为原来的3倍， ∴原式变为：22733x y x y -＝ 29x y x y -＝9×2x y x y-， ∴这个分式的值扩大9倍．故选：B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．二、填空题11．如图，点O 为等腰三角形ABC 底边BC 的中点,10BC =,509AC =,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC 于E 、F 点,若点P 为线段EF 上一动点，则△OPC 周长的最小值为_________．【答案】1．【分析】连接AO ，由于△ABC 是等腰三角形，点O 是BC 边的中点，故AO ⊥BC ，再根据勾股定理求出AO 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AO 的长为CP+PO 的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AO ，∵△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，∴AO⊥BC，∴22222(509)5509522 AO AC CO=-=-=-=，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AO的长为CP+PO的最小值，∴△OPC周长的最小值1122102722CP PO CO AO BC=++=+=+⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题以及勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．如图，ΔABC的面积为8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为________．【答案】24cm【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．【详解】解：延长AP交BC于E，如图所示：∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，在△APB 和△EPB 中∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩APB EPB BP BPABP EBP ， ∴△APB ≌△EPB （ASA ）， ∴S △APB =S △EPB ，AP=PE ， ∴△APC 和△CPE 等底同高， ∴S △APC =S △PCE ， ∴S △PBC =S △PBE +S △PCE =12S △ABC =4cm 1， 故答案为4cm 1． 【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S △PBC =S △PBE +S △PCE =12S △ABC ． 13．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．【答案】1【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第1块有完整的两角及夹边，符合ASA ，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：1． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ． 144x -x 的取值范围是________． 【答案】4x ≤【分析】根据二次根式的定义列不等式求解即可．。
八年级数学上册143因式分解1432公式法2教案新人教版
课题：14.3.2公式法（2）——完全平方公式教学目标：理解完全平方式及因式分解的完全平方公式并能较熟练地应用完全平方公式分解因式． 重点：应用完全平方公式分解因式．难点：灵活应用完全平方公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学流程：一、知识回顾1.说一说因式分解的平方差公式：答案：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.22()()a b a b a b -=+-2.把下列各式因式分解.22(1)44_______________;m n -=44(2)____________________.a b -=答案：（1）4()()m n m n +-；（2）22()()()a b a b a b ++-二、探究问题1：多项式a 2+2ab+b 2与a 2－2ab+b 2有什么特点？答案：两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍．是两个数的和或差的平方．归纳：我们把a 2+2ab+b 2与a 2－2ab+b 2叫做完全平方式完全平方式的特点：1.必须是三项式；2.有两个同号的平方项；3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍.即：首平方，尾平方，首尾两倍在中央！尝试练习1：下列多项式是不是完全平方式？为什么？22222(1)44(2)14(3)441(4)a a a b b a ab b -++++++答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）×问题2：你能把多项式a 2+2ab+b 2与a 2－2ab+b 2分解因式吗？指出：把整式乘法的完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+的等号两边互换位置，可得到，因式分解的完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 尝试练习2：请利用完全平方公式分解因式. 222(2)(1)162494;4x x y y x x -+-++解： 2222(1)16249(4)2433(43)x x x x x ++=+⋅⋅+=+；2222222(2)44(44)[22(2)](2)x xy y x xy y x x y y x y -+-=--+=--⋅⋅+=--．练习：1．下列二次三项式是完全平方式的是( )A ．x 2－8x －16B ．x 2＋8x ＋16C ．x 2－4x －16D ．x 2＋4x ＋16答案：B2．已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于( )A ．64B ．48C ．32D ．16答案：A3．把x 4－2x 2y 2＋y 4分解因式，结果是( )A ．(x －y)4B ．(x 2－y 2)4C ．(x 2－y 2)2D ．(x ＋y)2(x －y)2答案：D三、应用提高分解因式：222(2(1)363;1236).ax axy ay a b a b +++-++（）（） 解： 22222(1)3633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+2222(2)1236266(6)a b a b a b a b a b +-++=+-⋅+⋅+=+-（）（）（）（）归纳：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.四、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说完全平方式的构成？2. 运用完全平方公式进行因式分解时要注意什么？五、达标测评1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A ．－a 2－4ab ＋4b 2B ．a 2＋6ab －9b 2C ．a 2＋2ab ＋4b 2D ．4(a －b)2＋4(a －b)＋1答案：D2．下列分解因式正确的是( )A ．x 2＋4x ＋4＝(x ＋4)2B ．4x 2－2x ＋1＝(2x －1)2C ．9－6(m －n)＋(m －n)2＝(3－m －n)2D ．－a 2－b 2＋2ab ＝－(a －b)2答案：D3．分解因式：(1)1－m ＋m 24＝_________________；(2) x 3－2x 2＋x ＝____________；(3)4x 2－20x ＋25＝_______________；(4)4＋12(x －y)＋9(x －y)2＝______________.答案：（1）2(1)2m ；（2）x (x －1)2；（3）(2x －5)2；（4）(3x －3y ＋2)2 4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋b 2－8a －10b ＋41＝0，求△ABC 中最大边c 的取值范围．解：由已知得(a 2－8a ＋16)＋(b 2－10b ＋25)＝0，∴(a －4)2＋(b －5)2＝0，∴a ＝4，b ＝5，∴1＜c ＜9，又∵c 是最大边，∴5≤c＜9六、布置作业教材119页练习题第2题．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列计算正确的是()A．3＋2＝5B．12÷3＝2 C．(5)－1＝5D．(3－1)2＝22．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）4．为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.1．下列说法正确的是（）A．小明的成绩比小强稳定B．小明、小强两人成绩一样稳定C．小强的成绩比小明稳定D．无法确定小明、小强的成绩谁更稳定5．方程x（x﹣1）＝0的根是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣16．用配方法解方程x2﹣8x+7＝0，配方后可得( )A ．(x ﹣4)2＝9B ．(x ﹣4)2＝23C ．(x ﹣4)2＝16D ．(x+4)2＝97．下列四组线段中。
《1432公式法》教案2doc
《14.3.2 公式法》教案一、教学目标：用完全平方公式分解因式二、教学重点：用完全平方公式分解因式．三、教学难点：灵活应用公式分解因式．四、教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2（2）a2－2ab+b2[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2－2ab+b2（a－b）2．[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．Ⅱ．导入新课下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4 （2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2（4）a2－ab+b2（5）x2－6x－9 （6）a2+a+0.25结果：（1）a2－4a+4=a2－2×2·a+22=（a－2）2（3）4a2+2ab+14b2=（2a）2+2×2a·12b+（12b）2=（2a+12b）2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2 （2）、（4）、（5）都不是．方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．例题解析[例1]分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）－x2+4xy－4y2[例2]分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2－12（a+b）+36[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2．（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．所以：解：－x2+4xy－4y2=－（x2－4xy+4y2）=－[x2－2·x·2y+（2y）]2=－（x－2y）2．练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a－a2－9；（2）－8ab－16a2－b2；（3）2a2－a3－a；（4）4x2+20（x－x2）+25（1－x）2Ⅲ．课时小结引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解.。