极坐标与参数方程(经典39题)(整理版)

为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ． 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为
M , N 间的最小距离 .
2
2sin 0 和 sin(
)
上的动点， 求动点
42
sin( ) 5 2 ． 4
（Ⅰ）分别把曲线 C1与C2 化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什
2 2 sin(
) ；以
4
5．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x a yt
3t , t为参数 . 在极坐标
系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为
极轴）中，圆 C的方程为
4 cos .
（Ⅰ）求圆 C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆 C 与直线 l 相切，求实数 a 的值 .
2
线 C3 : 2x y 7 0 （ t 为参数）距离的最大值。
34．在直角坐标系中，曲线
x 2 cos
C1 的参数方程为
( 为参数 ) ，M 是曲线 C1
y 2 2sin
上
的动点，点 P 满足 OP 2OM (1) 求点 P 的轨迹方程 C2；
(2) 以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线
M 的极坐标；
31．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x3
2
t,
2
( t 为参数 ) ．在极
y 5 2t 2
坐标系 ( 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位， 且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴
为极轴 ) 中，圆 C 的方程为
2 5 sin ．
( Ⅰ ) 求圆 C 的直角坐标方程；
( Ⅱ ) 求|BC| 的长 .
4 ． 已 知 直线 l 的 参 数 方程 是 x
y
2
t 2
(t是参数 ) ， 圆 C 的极 坐 标方 程 为
2t 4 2 2
2 cos(
)．
4
（ 1）求圆心 C的直角坐标；
（ 2）由直线 l 上的点向圆 C引切线，求切线长的最小值．
3．在极坐标系中，点 M 坐标是 (3, ) ，曲线 C 的方程为 2
2．在极坐标系中，曲线 L : sin 2 2cos ，过点 A（ 5 ， ）（ 为锐角且
3
tan
）作平行于
4
( Ⅰ ) 以极点为原点，极轴为
( R) 的直线 l ，且 l 与曲线 L 分别交于 B， C两点 . 4
x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直
角坐标系，写出曲线 L 和直线 l 的普通方程；
4 cos ，直线 l 的参数方程是
x 3 3t, 2 （t为
1 y t.
2
参数）．求极点在直线 l 上的射影点 P 的极坐标；若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l
上的动点，求 MN 的最小值。
10 ． 已 知 极 坐 标 系 下 曲 线 C 的 方 程 为
2 cos 4 sin ， 直 线 l 经 过 点
2
12 3cos2 4 sin 2
，点 F1 、 F2 为其左， 右
焦点，直线 l 的参数方程为
2
x2
t
2 (t为参数， t
2
y
t
2
（ 1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；
R) ．
（ 2）求点 F1、 F2 到直线 l 的距离之和 .
（Ⅰ）把 e O1 的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点
A 的极坐标化为直角坐
x 2 cos
20．经过 M （ 10 ， 0 ）作直线 l 交曲线 C ：
（ 为参数）于 A 、 B
y 2sin
两点，若 | MA |， | AB | ， | MB |成等比数列，求直线 l 的方程 .
(2) 点 P x, y 是椭圆 E 上的动点 , 求 x 3y 的取值范围 .
21．已 知 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 是
（ 2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍， 分别得到曲线 C1， C2 ．写
出 C1， C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
同？说明你的理由．
C1 与 C2 公共点的个数是否相
28．已知圆的方程为 y2 6 y sin x2 8x cos 7cos 2 8 0 求圆心轨迹 C 的参数方程 ; 点 P(x, y) 是（ 1）中曲线 C上的动点，求 2x y 的取值
4 cos ，曲线 C 2 的方程是 4 x2 y 2 4 ,
x 直线 l 的参数方程是：
y
5 13 t 5 13 t
(t为参数） .
（ 1）求曲线 C 1 的直角坐标方程，直线 l 的普通方程； （ 2）求曲线 C 2 上的点到直线 l 距离的最小值 .
19．在直接坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x y 4 0 ，曲线 C 的参数方程为
24．已知直线 l 的参数方程是
2
x
t
2
(t 是参数 ) ，圆 C 的极坐标方程为
2
y
t 42
2
2cos(
)．
4
（ I ）求圆心 C的直角坐标；
( Ⅱ ) 由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．
25．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已
知直线 l 的极坐标方程为
x cos
30． 已知 P 为半圆 C ：
（ 为参数， 0
y sin
）上的点，点 A 的坐
标为（ 1,0 ）， O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 的长度
均为 。
3
（ I ）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点
（ II ）求直线 AM 的参数方程。
x 4 cost,
x 2cos ,
33．已知曲线 C1： y
3
sint , （ t 为参数）， C 2 ： y
4sin
（
,
为参数）。
（Ⅰ）化 C1 ， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（ II ）若 C1上的点 P 对应的参数为 t
，Q为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直
不同于极点的 A、 B 两点，求 |AB|.
与曲线 C1、 C2 交于
3
系 . 已 知 点 M 的 极 坐 标 为 (４ 2 , ) ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 4
x 1 2 cos , ( 为参数） ．
y 2 sin
（Ⅰ）求直线 OM 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值．
cos( ) 4
x 2cos 2 ，曲线 C 的参数方程为
y sin
（ 为对数），求曲线 C 截直线 l 所得的弦长 .
x 2cos ，
x
26．已知曲线 C1：
（ 为参数），曲线 C2：
y 2sin
y
3t 1，
（ t 为参数）．
3t
（ 1）指出 C1， C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；
C( 2, )
O，已知圆 C 的圆心坐标为
4 ，半径为
2
sin(
)
2 ，直线 l 的极坐标方程为
4
2.
（ 1）求圆 C 的极坐标方程；
（ 2）若圆 C 和直线 l 相交于 A， B 两点，求线段 AB的长 .
9．在直角坐标平面内， 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C 的极坐标方程是
x 为:
y
2
2
t
2 , 直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N
2
4
t
2
(1) 写出曲线 C 和直线 l 的普通方程 ;
(2) 若 | PM |， | MN | ， | PN |成等比数列 , 求 a 的值 .
2
22．设椭圆 E 的普通方程为 x
2
y1
3
(1) 设 y sin , 为参数 , 求椭圆 E 的参数方程 ;
x 4 cos y sin （ 为参数）上的每一点纵坐标不变，
横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移
1个单位，最后横坐标不变，纵坐
标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 ．以坐标原点为极点， x的非负半轴为极轴，建立
的极坐标中的曲线 C2 的方程为
4 sin ，求 C1 和 C2 公共弦的长度．
7．在极坐标系中，极点为坐标原点
17．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为：
4 x1 t
5 ( t 为参数 ) ，若以 y 1 3t
5
O 为 极点， x 轴正 半轴为极 轴建立 极坐标 系，则曲 线 C 的极 坐标方 程为
= 2 cos( θ＋ ) ，求直线 l 被曲线 C所截的弦长． 4
18．已知曲线 C 1 的极坐标方程为
P ( 2, ) ，倾斜角
.
4
3
（Ⅰ）求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程 ;
（Ⅱ）设 l 与曲线 C 相交于两点 A、 B ，求点 P 到 A、B 两点的距离之积 .
12．设点 M , N 分别是曲线
x 4cos
11．在直角坐标系中， 曲线 C1 的参数方程为
( 为参数 ) ．以坐标原点 y 3sin
35．设直线 l 经过点 P(1,1) ，倾斜角 （Ⅰ）写出直线 l 的参数方程；
，
6
（Ⅱ）设直线 l 与圆 x 2 y 2 4 相交与两点 A， B. 求点 P 到 A、 B 两点的距离的和