复合函数

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

函数综合、复合函数

二. 重点、难点：

1. 定义域（直接计算）

2. 值域

定义域，中间值域

中间值域（作为定义域），值域3. 奇偶性

偶偶偶

偶奇偶

奇偶偶

奇奇奇

4. 单调性

【典型例题】

[例1] 将下列各数按由大到小排成一列

（1），

（2），

（3），，

（4）

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

[例2] 求函数（）的定义域

解：

∴

[例3] 求下列函数值域

（1）

（2）

（3）

（4）

解：

（1）

（2）

（3）

①时，成立

②时，且

综上所述，

（4）①

令

∴

另②

∴

∴

[例4] 函数，则。

解：

[例5] 讨论函数（且）的增减性。

解：

（1）∴

∴

（2）

定义域

∴

∴在它定义域上为增函数

[例6] （且）为R上，求的取值范围。

解：

（1）∴

（2）∴

（3）∴

∴

[例7] 已知二次函数（），方程的两根满足

，求证：当时，

解：令

两根为∴时，

∴时，即

令

∵

∴即

∴时，

[例8] 函数给出四个命题

①时，为奇函数

②，时，方程只有一个实根

③的图象关于点（0，）对称

④方程至多有两个实根

上述四个命题中正确命题的序号是。

答案：①②③

[例9] 老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质。

甲：对有

乙：在上

丙：在上

丁：不是函数最小值

其中恰有三个人说法正确，请写出一个这样的函数。

解：，甲、乙、丁正确

[例10] 已知函数在区间[0，1]内有最大值，求。

解：

开口向下，关于对称，

（1）无解

（2）

（3）

∴或

【模拟试题】

1. 已知在[0，1]上是关于的减函数，则的取值范围是。

2. 函数，，最大值为，最小值为。

3. 若函数的定义域，值域均为（），则。

4. 函数为奇函数，则。

5. 函数（为常数，），若，，求。

6. 二次函数的图象均过（1，0）点，对任意实数，图象均为（1，0）点，求并求图象与轴另一交点的取值范围。

7. 若，，则方程的解为。

【试题答案】

1. 2. 11，7 3. 3 4. 10 5.

6. 7. 0，