三角形等高模型与鸟头模型 知识例题精讲

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3

，则三角形面积与原来的一

样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

b

a

S 2S 1 D

C B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶

6个面积相等的三角形．

【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？

⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？

例题精讲

三角形等高模型与鸟头模型

C

D

B

A

【例 3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．

【例 4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

A

B

【例 5】长方形ABCD的面积为362

cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

E

【例 6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

E

E

【例 7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12

AD=厘米，3

DE=厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？

E

D

C

B

A

【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与V BEC 等积的三角形

一共有哪几个三角形？

F D

E

C

B

A

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE

的面积是多少？

A

B E

C D

C E

B A

【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC

∆的面积是 平方厘米．

A

【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36

个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．

F

E G

D

C B A

【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方

形组合而成．求阴影部分的面积．

【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，

三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？

E

D

C

B

A

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、

三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．

【例 15】

(第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．

D C

B

A

【例 16】

图中V AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积． O C

B D

A

【解析】 在ABD V 中，因为215cm AOB S =V ，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=V V ．

因为ABD V 和ACD V 等底等高，所以有ABD ACD S S =V V ．

从而215cm OCD S =V ，在BCD V 中，2345cm BOC OCD S S ==V V ，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）

．

【例 17】

如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．

D B

A

【例 18】

（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形

面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？