山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案含解析.doc

第三节函数的奇偶性与周期性

课标要求考情分析

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶

性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会

判断、应用简单函数的周期性.

1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常

与函数的单调性、零点等性质交汇命题．

2．题型多以客观题为主，一般为容易题，但

有时难度也会很大.

知识点一函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝

f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y

轴对称奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝

－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原

点对称口诀

记忆

奇偶性有特征，定义域要对称；

奇函数，有中心，偶函数，有对称.

奇偶性的五个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数的周期性

1．周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1.周期性的四个常用结论

设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.

(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；

(3)若f(x＋a)＝1

f(x)

，则函数的周期为2a；

(4)若f(x＋a)＝－1

f(x)

，则函数的周期为2a.

2．对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)

(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)

(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)

解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且f(0)＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．

(2)因为y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－x)，可知x＝a为对称轴．

(3)因为函数具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性．

(4)由周期函数的定义可知正确．

2．小题热身

(1)下列函数中为偶函数的是(B)

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x| D．y＝2－x

(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1

x ，则f (－1)等于( A )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

(3)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 015)＝( D )

A ．5

B ．12

C ．2

D ．－2

(4)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是1

3

.

(5)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝1. 解析：(1)根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.

(3)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.

(4)∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1

3

.

又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1

3

.

(5)∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－1

22＋2＝－1＋2＝1.

考点一 函数的奇偶性

命题方向1 函数奇偶性的判断

【例1】 (1)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e x D ．y ＝ln x 2＋1 (2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A ．y ＝x ＋sin2x

B ．y ＝x 2－cos x

C ．y ＝2x ＋1

2

x

D ．y ＝x 2＋sin x