模糊集合及其运算

第1章 模糊集合及其运算（教材第2章）

1.1 模糊集合创立背景

1. 不兼容原理：一个系统的复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减小，在达到一定阀值时复杂性与精确性相排斥，即高复杂性与高精度不兼容。

2. Zadeh 研究大系统遇到的问题

他经常徘徊于人脑思维－大系统－计算机三者之间，人脑对复杂大系统中许多模糊概念与模糊信息不是用是、非二值逻辑，而是用模糊逻辑。线性的计算机是以二值逻辑{0,1}为基础，不能处理模糊信息，怎么办

为使大脑能像人脑那样处理模糊信息，必须将{0,1}扩展到[0, 1]闭区间，于是他在1965年发表了开创性论文“Fuzzy sets ”。

0 复杂性 精 确 性

图不兼容原理示意图

图人脑、电脑与大系统

举例解释模糊性与随机性两个概念的差异。

1.2 经典集合及其运算 1. 复习经典集合理论

定义： 基于某种属性的、确定的、彼此可区别的事物全体。 论域： 研究对象的全体称为论域（全域、全集、空间、话题） 元素与集合之间的关系： 属于与不属于 集合之间关系： 包含与相等

集合的基本运算： 并、交、补运算 集合的三种基本形式如下：

定义式：A B {x |x A x B }∈∈U @或（只用符合字母）

描述式：（只用文字）由属于一个集合或另一个集合的元素构成的集合称为这两个集合的并

文氏图：（只用图）

集合的直积（叉积，笛卡尔积）：

两个集合A,B 的直积：A B {(x,)|x A y B }y ∆

⨯=∈∈且

注意几点：

(1) 序偶不能颠倒顺序（x, y ）≠ (y, x), 因此A ×B ≠ B ×A ； (2) 直积可推广到n 个集合；

(3) 当R 为实数集，即R={x|-∞

称R ×R=R 2为二维欧氏空间。

2. 映射与关系

(1) 映射f ：x →y；

(2) 关系：集合X ×Y 直积的一个子集R 称为X 到Y 的二元关系，简称关系； (3) 映射是关系的特例，因为f ：x→y 显然{(x, y)|y=f(x)}⊂X ×Y 。

3. 集合性质

幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、同一律、复原律、互补律、对偶律

0 Y

x 自变量

X （集合）

（集合） 映射f ：X →Y X →x

Y →y

y 图函数关系是映射的特例

4. 集合的表示：除描述法，列举法，递推公式法之外，还有特征函数表示法

集合A 的特征函数定义为 A 1A ()0

A

x x x χ∈⎧=⎨

∉⎩

特征函数的性质：

A A A

B A B A B A B (1)()1()

(2)()max{(),()}(3)

()min{(),()}

x x x x x x x x χχχχχχχχ=-==U I

模糊集合的定义及运算

(1) 概念的内涵与外延

内涵：一个概念中包含那些区别其它概念的全体本质属性称概念的内涵，概念的内涵就是集合的定义。

外延：符合某概念的对象的全体，称为概念的外沿，概念的外延就是指集合的所有元素。

(2) 模糊概念： 在人们思维中，没有明确外沿的概念称模糊概念。例如，高、低、大等。

(3) 模糊集定义：

图集合A 的特征函数 0

1 A （x ） 图模糊集合 的隶属函数 0

A U u 1 u 2

i A （u1 A （u2 A （ui 1[0,1] U

~

A

给定论域U 到[0，1]闭区间的映射。

： U → [0,1]

u → ()A u μ%

都确定一个模糊子集A %；A μ%称为A %的隶属度函数；()A u μ%称为u 对A %隶属度；

在不至于混淆的情况下，用()A u %

表示()A u μ%。

(4) 模糊集合的表示

① U 为有限离散的情况

Zadeh 表示法： 1212()()()

n n

A u A u A u A u u u =+++L L %%%% 序偶表示法： 1122{(,()),(,()),(,())}n n A u A u u A u u A u =L L %%%% 向量法： 12((),(),())n A A u A u A u =L L %%%%

注意：隶属度为0的元素应保留

综合法： 1212()()()(,,,)n n

A u A u A u A u u u =L L %%%% ② U 为连续的情况

()

A U

u A u

μ=⎰

%

%

(5) 模糊集合的运算

① 包含、相等的概念同普通集合 ② 并、交、补的运算

()max[(),()] [(),()]

()min[(),()] [(),()]()1()

c

A B A B A B A B A B A B A A u u u u u u u u u u u u μμμμμμμμμμ

μμ⋃⋂=∨=∧=-%%

%

%

%

%

%%%%%%%

%

@@

1

③ 模糊集合的代数运算

代数积：A B A B A B μμμ⋅==⋅g %%

%%%%

代数和：1

1

1A

B A B A B A B μμμμμμμ+++≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩%%

%

%

%%

%

%

(6) 模糊集合的运算性质

不满足互补律，其余8条同普通集合的运算性质相同。

1.4 模糊集合与经典集合的联系

(1) 截集：{|()},01A A u u λμλλ≥≤≤%

@

%

称A A λλ%%

为的截集 强截集：{|()},01A A u u λμλλ∆

=>≤≤%%

(2) 分解定理

[]

0,1A A λλλ∈=%U ，其中 ()0 A x A x x A λλ

λλ

λμ∈⎧=⎨∉⎩

分解定理提供了用经典集合构造模糊集合的可能性，它是联系模糊数学与经典数学的纽带。

(3) 扩张原则：f ：x→y 可扩展为

:()f A f A f f =%%%称的扩展 规定在扩张中保持它的隶属度函数值不变，扩张原则目的是把普通数学方法

扩展到模糊集合运算中。

隶属函数

(1) 确定隶属函数：主观性与客观性的统一 (2) 隶属函数确定方法

模糊统计法：介绍张南伦老师对“年轻”“中年”隶属函数的模糊统计方法

图模糊集合的并、交示意图 0

1 A (x) 图分解定理示意图