2021版高考物理一轮复习专题突破(四)天体的相遇问题学案

专题突破(四)天体的相遇问题
两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题．绕同一中心天体运动的运行天体，由于ω＝
GM
r 3
∝1
r 3
，故
在同一轨道上不可能发生相遇，只有在不同轨道上运行的天体才能发生追赶现象，相遇时是指运行天体相距最近的现象．
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb ，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)．当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远(如图乙所示)．
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝2π时，两卫星再次相距最近．
经过一定的时间，两星又会相距最远和最近．
1．两星相距最远的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝(2n ＋1)π(n ＝0，1，2，…) 2．两星相距最近的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝2n π(n ＝1，2，3…) 3．常用结论
(1)同方向绕行的两天体转过的角度|θ1－θ2|＝2n π或⎪⎪⎪⎪
⎪⎪t T 1－t T 2＝n (n ＝0、1、2、……)
时表明两物体相距最近．
(2)反方向转动的天体转过的角度|θ1＋θ2|＝2n π或⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪t
T 1
＋t
T
2
＝n (n ＝0、1、2、……)时表明两物体相遇或相距最近．
(3)轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇．
1 某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆，且绕行方向相同．每过N 年，
该行星会运行到日地连线的延长线上，如题图所示．该行星与地球的公转半径比为( )
A .⎝ ⎛⎭
⎪⎫N ＋1N 2
3
B .⎝ ⎛⎭⎪⎫N N －12
3 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫N ＋1N 3
2 D .⎝ ⎛⎭
⎪⎫N N －13
2 [解析] 由题意每过N 年地球比行星多运动一周，即
N T 地－N
T 行
＝1，T 地＝1年，再结合开普勒第三定律T 2
R 3＝C 有R 行
R 地
＝
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫T 行T 地2
＝
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫N N －12
，B 正确． [答案] B
2 太阳系中某行星运行的轨道半径为R
0，周期为T 0.但科学家在长期观测中发
现，其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的
偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星，则这颗未知行星运动轨道半径为( )
A ．R ＝R 0
3
⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 02
B ．R ＝R 0
t 0t 0－T 0 C ．R ＝R 0
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 0－T 0t 02
D ．R ＝R 0
3t 0t 0－T 0
[解析] 由题意可知轨道之所以会偏离那是因为受到某颗星体万有引力的作用，相距最近时万有引力最大偏离程度最大．设未知行星的周期为T ，则t 0T 0－t 0T ＝1，则T ＝t 0T 0
t 0－T 0.根据
开普勒第三定律R 3
0T 20＝R
3
T
2得R ＝R 0
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 0t 0－T 02
.
[答案] A
3 天文学家发现有一颗类似于地球的宜居行星，经观测得知该行星的自转周
期为T ，半径为R ，该行星的同步卫星A 的圆轨道半径为2R.卫星B 沿半径为2R 的圆轨道在该行星的赤道的正上方运行，其运行方向和该行星的自转方向相同，求：
(1)卫星B 做匀速圆周运动的周期；
(2)卫星A 和卫星B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)． [审题指导] 不能直接通讯时，是指卫星A 和卫星B 之间有地球阻隔。

假设卫星A 不动， 可以求出不能直接通讯时的卫星B 对应的圆心角，再根据周期和圆心角的关系求解即可．
[解析] (1)对卫星A 和B ，由开普勒第三定律，得（2R ）3
T 2＝()2R 3
T ′
2
，
得卫星B 的周期为：T′＝
24
T. (2)不考虑A 的公转，以A 作为参考系，B 相对于A 的角速度为：ω＝ωB －ωA ， B 不能连续与A 通讯，有：ωt＝2θ，
即()ωB －ωA t ＝2θ，
而ωB ＝2πT ′，ωA ＝2π
T ，
故有 ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2πT ′－2πT t ＝2θ，
又有sin α＝R 02R 0＝1
2
，
sin β＝
R 02R 0
＝
22
， 则α＝π
6，β＝π
4
，
由几何关系知：θ＝α＋β，故2θ＝5π
6
综上，可得t ＝
54
212⎝⎛
⎭⎫2－42T ＝512·21
4
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
2－214·T.
,
对于天体追及问题的处理思路：
(1)根据GMm r
2＝mrω2
，先判断出谁的角速度大；
(2)两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍．
(3)在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断．)
1．将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，
已知火星的轨道半径r 2＝2.3×1011 m ，地球的轨道半径为r 1＝1.5×1011
m ，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为( )
A ．1年
B ．2年
C ．3年
D ．4年
[解析] 已知地球绕太阳的公转周期为T 1＝1年，设火星的公转周期为T 2，根据开普勒第三定律r 3
1T 21＝r 3
2
T 22
得T 2＝T 1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫r 2r 13
≈2年，又根据t T 1－t T 2＝1，化简得t ＝T 1T 2T 2－T 1≈2年． [答案] B
2．如图所示，甲、乙两颗卫星绕地球做同向圆周运动，已知甲卫星的周期为N 小时，每过9N 小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，则甲、乙两颗卫星的线速度之比为( )
A .3
92 B .332 C .
233
D .
239
[解析] 由⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 1－2πT 29N ＝2π，T 1＝N ，解得：T 2T 1＝98.根据开普勒定律，r 2r 1＝⎝
⎛
⎭⎪⎫982
3，线速
度v ＝2πr T ，则v 1v 2＝r 1r 2·T 2T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫892
3×98＝392
，A 项正确．
[答案] A
3．中国已启动捕捉小行星计划，2034年将摘下第一颗小行星带回地球研究．若小行星被捕捉后将绕地球做匀速圆周运动，运行的轨道与地球的赤道共面，绕行方向与同步卫星相同，且其转动半径是地球同步卫星轨道半径的n 倍(n>1)．则地球同步卫星与该小行星连续两次相距最近的时间差为( )
A .n 3
－1n 3天 B .n 3
n 3
－1
天 C ．n 天 D ．(n －1)天
[解析] 令同步卫星的周期为T ＝1天，轨道半径为R ，则小行星的轨道半径为nR ，周期为T 行，则据开普勒第三定律有：R 3
T 2＝（nR ）3
T 2
行，可得小行星的周期T 行＝n 3T ＝n 3
天；令卫星和小行星两次相距最近的时间为t ，则有：⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT －2πT 行t ＝2π，
解得：t ＝n 3
n 3－1T ＝n 3
n 3－1天．
[答案] B
4．如图所示，一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，其轨道平面与地球赤道平面重合，离地面的高度等于地球的半径R 0，该卫星不断地向地球发射微波信号．已知地球表面重力加速度为g.
(1)求卫星绕地球做圆周运动的周期T ；
(2)设地球自转周期为T 0，该卫星绕地球转动方向与地球自转方向相同，则在赤道上的任意一点能连续接收到该卫星发射的微波信号的时间是多少？(图中A 1、B 1为开始接收到信号时卫星与接收点的位置关系)
[解析] (1)卫星以半径2R 0绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：GMm
（2R 0）2＝
m(2R 0)4π2
T
2，
处于地球表面的物体所受的重力约等于地球对它的万有引力：GMm
R 20＝mg ，
所以：T ＝2π
8R 3
GM
＝2π8R 0
g
. (2)设人在B 1位置刚好看见卫星出现在A 1位置，最后在B 2位置刚好看见卫星消失在A 2
位置．OA 1＝2OB 1，
有∠A 1OB 1＝∠A 2OB 2＝π
3
＝θ，
设从B 1到B 2时间为t ，显然有：2πT t －2πT 0t ＝2
3π，
所以：t ＝TT 0
3（T 0－T ）＝
2πT 0
8R 0g 3⎝
⎛
⎭
⎪⎫T 0－2π
8R 0g .。