弹性力学与有限元法汇总
弹性力学和有限元共42页文档
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
平截面假定：直杆在变形以前的横截面，在变 形以后仍保持为平面且与杆轴线垂直。
3、研究问题的能力不同
材料力学：解决不太复杂的问题
弹性力学：解决材料力学无法解决的问题，评估材料 力学用初等理论所得结果的可靠性和精确性
4、解决问题的方法不同
材料力学：截面法 弹性力学：分离体法
取微小的分离体作为隔离体
弹性力学：从静力学、几何学及物理学三个方面考虑
无须引入构件变形状态或应力分布假定，研究方法更
加严密，结果更加精确。还可以用来校核材料力学计
算的结果。
In theory of elasticity,not need those assumptions,the rusults obtained are more accurate and may be used to check the approximate result obtained in mechanics materials.
可以用弹性力学的方法研究。
Although bar-shaped elements are studied both in mechanics of materials and in theory of elasticity,the methods of analysis used in the two subjects are not entirely the same.
(同济大学)第1讲_弹性力学及有限元方法概述
有限元分析
的一般规律物体在空间的位置随时间的改变
对象内容
任务
对象内容
任务
概述
ANSYS 静力分析z起重机械有限元应用
整机模态分析
车辆安全性
工件淬火3.06 min 时的温度、组织分布(NSHT3D)
同济大学
同济大学
金属反挤压成型：温度分布和变化铸造成型：温度变化和气泡
速度
压力导流管分析
超音速飞行压力分布汽车气动分析
高速导弹气动
同济大学
两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况
子结构方法分析大型结构的早期应用法
梁单元
建模时充分利用重复性。
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
弹性力学及有限元法学习总结
弹性力学及有限元法学习总结摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。
正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外部作用一般包括：荷载、温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。
弹性力学的研究对象：材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴）材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。
结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学（如桁架、刚架等）。
弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。
弹性力学研究方法：在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件，建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程，得出较精确的解答。
弹性力学的基本假设：1）连续性，假定物体是连续的。
连续性因此，各物理量可用连续函数表示。
2）均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的（或不变的）3）小变形假设假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的，在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去不计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。
4）完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。
5）无初始应力假设假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用（荷载、温度等）所引起的。
有限元法的基本思想：有限元是一种结构分析的方法，先把所有系统分解为他们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统。
及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组合体来加以分析。
2 弹性力学与有限元法
•剪应力
图1
2013-7-21
8
Institute of Mechanical Engineering and Automation
[ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个 角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也 沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如， 剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。
[ 几何方程、刚体位移 ]
•求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 •x向线素AB的转角 a y向线素AD的转角 b
y
u u dy y
C'
v
v dy y
D" b D '
D C
•A点在y方向的位移分量 为v； •B点在y方向的位移分量：
v
u
A
A'
a
dy
B'
v v dx x
连续性假设
2013-7-21
完全弹性假设 均匀性和各向同性假设 小变形、小转动假设 自然状态假设（无初始应力）
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Institute of Mechanical Engineering and Automation
基本定律
牛顿定律
动量平衡原理
⇨ 平衡(运动)微分方程
⇨ 应力张量的对称性
u dx x
u
A'
a
A dx 0
2013-7-21
B
u u dx x
B"
x
图2
3.弹性力学中的有限元
1
v3
u3
v2
1 1 x1 u x, y 1 x y 2 1 x y 1 x2 3 1 x3
重庆大学
位移函数
(a)位移函数必须包含单元的常量应变。 (b)位移函数必须包含单元的刚体位移。 (c)位移函数在单元内部必须是连续函数 (d)位移函数应使相邻单元间的位移协调 上述4个条件是有限元解收敛于真实解的充分条件。 以这样的位移函数构成的单元称为协调元。 在有限元法中，有些单元的位移函数只满足前3项条件， 并不满足单元边界连续性要求，实践证明，它们的有限元 解也可能收敛于真实解，因此前3项条件是有限元解收敛 于真实解的必要条件。
第3章 弹性力学问题的有限元法
有限元法
有限元法综合了差分法和里兹法的思想。
首先运用了差分法中离数化的概念，将连续介质或结构划分成有限 个由节点界定的子区域的集合，称每个子区域为单元，单元利单 元之间仅仅通过节点连接，这样做使得可以对每个单元（包括节 点）单独进行分析。 然后，利用里兹法的思想，在每个单元中选取带有未知参数的 位移函数，并使总势能取最小值来求解未知参数，而所有的未知 参数都用单元节点的位移分量来表示。这样实际上建立了以单元节 点位移分量为未知量，且与节点位移分量个数相同的线性代数 方程组，把每个单元的方程组集合为一个整体方程组，称为有限元 基本方程，求解可得每个节点的位移分量。 上述过程，实质上是把具有无限多个自由度的连续体，理想化为有 限多个白由度的结构物，在数学上，是把连续体的偏微分方程离散 化为等效的代数方程组。当节点的位移分量知道后，单元的位移 函数亦即得到，利用几何方程和本构方程可得到应变分量和应力分 量。 重庆大学
的单元划分得越来越精细时，近似的数值解将收敛于真实解
弹性力学及有限元法：第1章 弹性力学基本理论
（1.7）
z
A
o
y
x
zy
zx
x
yx xz xy
yz x P
xy
xz zx
yz
y yx
B
zy z
zx zy z
图1-2 微小正方体元素的应力状态
其中，σ为正应力，下标表示作用面和作用方向；τ是剪应力，第
一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。
14
1.1.3 应力
应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴 的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正 ，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指 向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方 向为正，沿坐标轴的正方向为负。
4
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学与材料力学的区别
弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究 内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大 差别。
研究对象几何形状
描述方程 求解难易程度
适用范围
材料力学
杆状构件
常微分方程 容易 窄
弹性力学
8
1.1.2 外力与内力
（1）外力
作用于物体的外力通常可分为两类： 面力(Surface Force) 体力(Body Force)
9
1.1.2 外力与内力
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、 水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情 况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。
弹性力学及有限元
热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。
弹性力学与有限元分析共98页
➢ 当物体的厚度有突变或物体由不同材料组成时，不 要把厚度不同或材料不同的区域划分在统一单元。
➢ 节点编号，原则上可任意，但它影响基本方程系数 矩阵的带宽，所以单元的两个相邻节点编号之差 应尽可能小。
五、位移插值函数与形函数
结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，即 确定单元节点力与节点位移之间的关系。为分析并确 定这一关系，需要把单元中任一点的位移分量表示为 坐标的某种函数，这一函数称为单元的位移插值函数。 它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。 由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析 时又必须用到，因此要事先假定，所假定的位移插值 函数须满足以下两个条件：
这样，平面应变问题只需研究以下8个独立未知函数：
x
y
xy
U V
x y
xy
且它们只是 x, y 的函数，与 z无关。工程实际中，炮
筒、桥梁支座的柱形辊轴等都可简化为平面应变问题。 所以无论是平面应力问题还是平面应变问题，都只
需研究3个应力分量 x,y,xy，3个应变分量 x,y,xy
高速旋转的薄圆盘等都可简化为平面应力问题。
2、平面应变问题
这类问题的位移分量中有一个为零（如z向位移W ）， 其余两个方向的位移U和 V与z无关。其特点是：
几何形状特点：物体沿一个方向很长（如 z向），且垂
直于 z轴的截面相同，即为一个等棱柱
WVUz
体，位移条件或支承条件沿z向也相同。
所受外力特点：在柱体侧面上受到垂直于 z轴且不沿
➢ 三角形单元的3条边长（或3个顶角）之间不应相 差太大，即单元划分中不应出现过大的钝角或过
小的锐角，否则，计算误差较大。
➢ 在应力较大和应力集中的区域，单元应划分细一 些，以提高精度。
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班艾松学号：4113006012线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
③物理非线性问题。
在这类问题中，材料内的变形和内力之间〔如应变和应力之间〕不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。
在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。
解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法等。
在许多工程构造中，杆件往往在复杂载荷的作用或复杂环境的影响下发生破坏。
例如，杆件在交变载荷作用下发生疲劳破坏,在高温恒载条件下因蠕变而破坏,或受高速动载荷的冲击而破坏等。
这些破坏是使机械和工程构造丧失工作能力的主要原因。
所以，材料力学还研究材料的疲劳性能、蠕变性能和冲击性能。
材料力学根本公式〔解决问题方法〕： 一、应力与强度条件 拉压：[]σσ≤=maxmax AN平衡微分方程〔1〕几何方程〔2〕物理方程〔3〕成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于构造力学，后来随着计算机的开展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个剪切：[]ττ≤=AQ max挤压：[]挤压挤压挤压σσ≤=AP圆轴扭转：[]ττ≤=W tTmax 平面弯曲： ①[]σσ≤=maxzmax W M②[]max t max t maxmax σσ≤=y I M z t max c max maxy I Mzc =σ[]cnax σ≤ ③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max斜弯曲：[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M拉〔压〕弯组合：[]σσ≤+=maxmax zW MA N[]t max t z max t σσ≤+=y I M A N z []c max c z z max c σσ≤-=ANy I M 圆轴弯扭组合： ① 第三强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w2n 2w r34W M M(1)式中的σx 、σy 、σz 、τyz=τzy 、τxz=τzx 、τxy=τyx 为应力分量，X 、Y 、Z 为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u 、v 、w 为位移矢量的三个分量〔简称位移分量〕，εx 、εy 、εz 、γyz 、γxz 、γxy 为应变分量；(3)式中的E 和v 分别表示杨氏弹性模量和泊松比。
弹性力学及其有限元法
弹性力学及有限元分析1、 设试件两定点之间的长度为L 0，其截面积为F 0，加上拉力P 后，L 0 伸长了△L 。
我们把P/ F 0 称为拉伸应力（σ），△L/ L 0 称为拉伸应变（ε），于是有σ＝P/ F 0 ，ε＝ △L/ L 0某种材料的拉伸应力和拉伸应变的比，称为该材料的杨氏模量或弹性模量(E)，即 LF PL E ∆==00εσ，弹性模量E 表征了材料的物理性质。
2、 根据力学特性，固体通常分为韧性固体和脆性固体。
首先分析韧性材料，材料在受力变形过程中，明显地有四个特性点划分三各阶段。
a. 弹性阶段，这一阶段的明显特征是，当外力逐渐去掉时，变形也逐渐消失，物体能够恢复到原来的形状，物体的这种性质称为弹性，存在一个应力极限称为弹性极限。
随着外力的消失而消失的变形称为弹性变形；去掉外力后仍然保留的变形称为残余变形或永久变形。
弹性阶段另一个明显特征是，应力与应变保持线性关系。
设受力方向为x 方向，x xE εσ=，这就是简单拉伸时的虎克定律，弹性模量E 为常数，表示应力与应变成正比例。
通常把弹性极限和比例极限规定为一个值。
b. 塑性阶段，超过弹性极限后，材料开始失去弹性，进入塑性阶段，这时产生较大的永久变形，应力应变关系不再是线性的。
当曲线超过s 点（屈服极限）后，材料开始屈服，即在应力几乎不增加的情况下，应变会不断的增加，称s 点为屈服极限；当变形大到一定程度后，材料开始强化，要继续增加变形必须再增加外力，到达b 点后产生颈缩。
从弹性极限到b 的变形范围统称为塑性阶段，属于塑性力学的研究范畴。
c. 断裂阶段，试件产生颈缩后，开始失去抵抗外力的能力，最后发生断裂，相对于b点的应力称为强度极限。
脆性材料：它的拉伸曲线图没有明显的三个阶段之分，也没有明显的屈服应力点，材料亦不再满足虎克定律。
为了分析上的需要，往往以切线斜率作为弹性模量，即εσd d E =。
如果对脆性固体材料加载，应力应变曲线将沿着OA 上升，若到A 点后即行卸载，应力应变曲线并不沿着原来的途径回复到原点，而是沿着直线AB 下降，当全部载荷卸去之后，试件中尚残存一部分永久变形''ε。
弹性力学及有限元方法-空间问题
4．2 应变与应力
– 将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内应
变为：
– 将应变矩阵[B]按节点分块表示为：
– 由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为：
• 其中bi、ci及D如前，而
• 按物理关系式，有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同，但其应变、应力则不相
• 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9到 a12 ,为：
• 用矩阵记法统一表达为：
• [N]为形状函数矩阵，可表示为：
• [I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数 可按下式计算得到，即
• 如记矩阵
为四面体单元的体积，其他系 数皆可由[L]确定，如
• 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等， 它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数 余子式。
• 轴对称问题中，上述截面内任一点p，实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2)，当 此圆周上各点都有径向位移u时，圆周被 拉伸，多出一个环向应变q。有：
• 全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系（几何方程），以矩阵表示为:
• 轴对称问题的4项应力分量，以列阵表示为：
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为：
用位移法，就是只研究这个代表截面的位 移求得一个截面的位移分布，也就有了整 个三维结构内的位移分布，从而可以求得 体内任一点的应变及应力。这样，一个三 维问题，就可以转化为一个二维问题。 由于结构的变形是对称于中心轴的，因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w，一般应为截面坐标r，z的 函数，即
• 单元内应变为常值，按物理方程，单元内的 应力也是常值。当然，一般受力情况下，三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 • 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时，单元内的应力才会接 近于常值，此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小，因而可以作为真实应力分布 的近似。 • 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。
弹性力学与有限元完整版
平面应力问题 • ①几何特征
– 薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 – 等厚度 – 中心层平直
• ②受力特征
– 外力平行于中心层 – 外力沿厚度不变化
2、 平面应力问题的应力
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则
由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也
沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
弹性力学各个量之间的关系
平衡方程
外力
物理方程
几何方程
应力
应变
位移
3.1 概述
根据几何方程和本构方程可见：
位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
• 假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变 分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。
的单值连续函数
u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）
u
f
v
w
形变和位移之间的关系：
• 位移确定 → 形变完全确定：
从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。
从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。
• 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班艾松学号：4113006012杆件在多种外力共同作用下的变形(或力)，可先分别求出各外力单独作用下杆件的变形(或力)，然后将这些变形（或力）叠加，从而得到最终结果。
②几何非线性问题。
若杆件变形较大，就不能在原有几何形状的基础上分析力的平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进行分析。
这样，力和变形之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
③物理非线性问题。
在这类问题中，材料的变形和力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。
在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。
解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法解。
直角坐标系下的弹性力学的基本方程为：平衡微分方程（1）几何方程（2）物理方程（3）(1)式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单二、变形及刚度条件 拉压：∑⎰===∆LEAxx N EAL N EANLL d )(ii 扭转：()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L弯曲：(1)积分法：)()(''x M x EIy =C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θD Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法：()21,P P f …=()()21P f P f ++…()21,P P θ=()()++21P P θθ…三、应力状态与强度理论 二向应力状态斜截面应力：ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=二向应力状态极值正应力及所在截面方位角：到。
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1.1 有限元法的发展历史
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏 微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度 场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：
● 用解析法求得精确解； ● 用数值解法求其近似解。
其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几 何边界相当规则的少数问题。
图3 三角形3节点单元
图4 四边形4节点单元
图5 平面问题的三角形单元划分
图6 平面问题的四边形单元划分
（2）单元分析
对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点 力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首 先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力， 再建立单元中节点力与节点位移的关系式。
例：受自重作用的等截面直杆，杆的长度为L，截面积为A，弹性模 量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布， 杆的应变和应力。
o
N(x) q(L x)
du(x) N(x)dx q(L x)dx
EA
EA
u(x)
0x
N
(x)dx EA
q EA
(Lx
x2 2
)
x
du dx
q (L EA
Ni i+1 Ni+1
根据约束条件， u1 0
对于第n+1个结点，
建立所有结点的力的平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解 出n+1个未知的结点位移
本章介绍了如下内容: 有限元法的发展历史 有限元法的基本思想 平面问题有限元分析原理及步骤 有限元法的设计应用及计算实例
2
1 有限元法的基本概念
课程目标
（1）了解什么是有限元法、有限元方法的基本思路。 （2）掌握有限元法的基本原理，主要结合弹性力学问题来介绍 有限元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、 轴对称问题的概念等。 （3）了解有限元软件的发展水平，了解用有限元软件分析简单 工程问题的方法。
5 2020/10/4
“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但 真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.） 在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后，有 限元法的应用得到蓬勃发展。
以平面问题的三角形3 结点单元为例。如图所 示，单元有三个结点I、 J、M， 每 个 结 点 有 两 个 位移u、v和两个结点力U、 V。
图7 三角形3结点单元
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量：
结点位移
ui
vi
e
u j
v
j
u
m
vm
结点力
Ui
Vi
Fe
U
V
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多 达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序 使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性 能分析的可靠依据。
6 2020/
材料力学研究简单形状物体的应力和应变，复杂形状物体如何研究？
图1 新型双向拉索悬索桥
2020/10/4
图2 中华和钟
如何处理？
连续体
离散体
弹性体离散过程分为
自然离散（如架） 逼近离散（连续体）
2020/10/4
1.3 有限元法的计算步骤
有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单 元分析，整体分析。
（1）网格划分
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。 因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单 元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、 结点连线构成的集合称为网格。
(2) 几何方程
(3) 物理方程
即 三大类变量
三大类方程
求解方法 ： (1) 经典解析
(2) 半解析法 (3) 传统数值解法 (4) 现代数值解法(计算机软硬件、规范化、标准化、
规模化、计算机化
1.2 有限元法的基本思路
下面用自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路：
受自重作用的等截面直杆
（1）等截面直杆在自重作用下的材料力学解答
图9 整体分析
i结点的结点力：
U (1) i
U
(2) i
U
(3) i
U
(e) i
e
Vi(1) Vi(2) Vi(3) Vi(e)
e
i结点的平衡方程：
U
( i
e)
e
Vi ( e )
e
Pxi
Pyi
变形体受力情况的描述
基本变量: u(位移), 应变(ε), 应力(σ)
基本方程:
(1) 力平衡方程
弹性力学及有限元基础
Elasticity Mechanics and Finite Element Method
主讲教师：许明伟 大连交通大学机械工程学院
第一章 有限元法的基本概念
内容简介
有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初 期随着计算机的发展应运而生。
这一方法目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段， 它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的 数值解法，以求出近似解。
4 2பைடு நூலகம்20/
目前，工程中实用的数值解法主要有三种：
• 有限差分法 • 有限元法 • 边界元法
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目 前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是 机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
j j
U
m
Vm
单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor）来表示：
Fe K e e
（3）整体分析
对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的 关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问 题为例，如图9所示，在边界结点i上受到集中力 Pxi , P作yi 用。结点i是三个 单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起 建立平衡方程。
x)
x
E x
q (L A
x)
（2）等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 1）离散化
2）用单元结点位移表示单元内部位移
位移
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
应变 应力 载荷
i
du dx
ui1 ui Li
i
E i
E(ui1 ui ) Li
Ni
A i
EA(ui1 Li
ui )
3）把外载荷集中到节点上 4）建立结点的力平衡方程