7-1 定积分的概念与可积条件

（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v( i )ti
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 , ,tn }
n
路程的精确值
b
a f ( x)dx

A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．




例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi
播放
曲边梯形如图所示，在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
lim ln n
f 1 f 2
f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f

i n

lim
n
n
ln
i 1
f

i n
n1
指数上可理解为：ln f ( x)在[0,1] 区间
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，

1
lim
n
n i 1

sin

i n


n
1

sin xdx.
0
i xi
练习题
一、填空题：
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限，
即 b f ( x)dx _________________ . a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 .
如： 狄利克雷函数
D（x）
1， 0,
xQ xR
Q
, 在[0，1]上有界，但不可积。
由此可见，有界是函数可积的必要条件，但不充分。
二、 可积的充分条件 以下讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的。
1. 思路与方案:
思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和
例2
利用定义计算定积分
2
1
1dx x
.
解 在[1,2]中插入分点 q, q2 , , qn1 ,
典型小区间为[qi1 , qi ]，（i 1,2, , n）
小区间的长度xi qi qi1 qi1(q 1),
取i qi1，（i 1,2, , n）
n
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx

I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
s

lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
要求:
1、理解变限函数与定积分的定义。 2、熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决 实际问题。 3、了解达布（Darboux）和及可积条件。
第一节 定积分的概念和可积 条件
● 一、问题的提出 ● 二、定积分的定义 ● 三、存在定理 ● 四、几何意义 ● 五、小结
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
每一个 i 上存在上、下确界：
积零为整
取极限
精确值——定积分
思考题
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
n

sin
2 n




sin
(n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式

lim
n
1 n
sin
n

sin
2 n



sin
(n
1) n

sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
故 lim n f 1 f 2 f n n n n n
1
e0ln f ( x)dx .
作业：P285 1(1);2 ;6.
五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
三、1 (b2 a 2 ). 2
五、88.2(千牛).
附：可积条件
一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节 所要讨论的的主要问题。 一、可积的必要条件
定理1 若函数 f 在[a,b]上可积，则 f 在[a,b]上一定有界。
证
定理指出，任何可积函数一定是有界的，但要注意，
有界函数却不一定可积。
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f

1 n

f

2 n

f

n n


极限运算与对数运算换序得
压力P （见教材图 5-3）.
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线 y f ( x), x 轴 ,直线x a , x b 之间
各部分面积的代数和；
4、 b dx . a
二、1 (b3 a 3 ) b a. 3
3、定积分的几何意义是_______________________ .
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1
1、
1 x2dx ;
0
4


2、
2
cos
xdx

2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
n
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx

A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx

b
a
f
(t )dt

b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
, 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与T 分法 及 i 介点 无
关的条件 。
方案: 定义上和 S(T ) 和下和 s(T ) ，研究它们的性质和当
时有相同极限的充要条件 .
2. 达布和:
设 T i i 1, 2,L , n为对[a,b]的任一分割，由f 在[a,b]上有界，它在
第七 章 定积分
• §1 定积分的概念和可积条件 • §2 定积分的基本性质 • §3 微积分基本定理 • §4 定积分的应用
本章内容、要求及重点
教学内容：
1、给出了定积分的概念和可积条件。 2、给出了定积分的基本性质。 3、给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法。
4、给出了定积分的应用。
教学重点: 变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

i ，(i n

1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi

1 ，(i n

1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1

n

i 1

i n

2

1 n

1 n3
n

i 1
i2

1 n3

n(n

1)(2n 6

1)

1 6

1

1 n

2

1 n
,
0 n
1 x2dx
0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
上的一个积分和． 分割是将[0,1]n 等分
分点为 xi

i ，（i n

1,2,
,n）
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0 所以ln f ( x)在[0,1]上有意义且可积 ,
n
lim ln
n i1
f

i n


1 n
1
0 ln
f ( x)dx
i 1
f (i )xi

i
n 1
1
i
xi

n i 1
q1i1q
i
1
(q

1)
n
1
(q 1) n(q 1) 取qn 2 即q 2n
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1

lim
x
1
x(2x

1)

lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
x
n
2 1dx
1x

lim
0
n i 1
1
i
xi
1
lim n(2n 1) ln 2. n
例 3 设函数 f ( x) 在区间[0,1] 上连续，且取正值.
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n