线性代数第1章第5节克莱姆法则

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克莱姆法则

对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。

讲克莱姆法则上课用

例1 设求 AB .
2 3 1 1
A 1 2 1 , B 0
0 3 1
2
解
2
1
0
3 2 3
1 1
1 0
1
2
21 30 11 2 0 01 3 0
1 2 (1) 2 1 2
4
1
2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1 a2
,
B b1 b2
18
7. 计算行列式: (xi ai )
x1 a2 a3 a4
D a1 x2 a3 a4
a1 a2 x3 a4 a1 a2 a3 x4
19
解用加边法
1 a1 a2 a3 a4 0 x1 a2 a3 a4 D 0 a1 x2 a3 a4 0 a1 a2 x3 a4 0 a1 a2 a3 x4
xn m
16
n
m xi x2 i 1 n
解 D m xi x2 m i 1
n
m xi x2
i 1
(m
n
1 xi ) 1
x2 x2 m
i 1
1
x2
17
xn xn
xn m xn xn
xn m
(m
n
1 xi ) 0
x2 m
xn 0
i1 0 0
m
n
(m xi )(m)n1 i 1
有非零解,则系数行列式等于零,即 a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
6
例1 求解线性方程组
x1 x2 x1 2x2
x3 x3
1 0
3x1 5x2 x3 3

1-5克莱姆法则

x j的系数等于D, 由行列式按列展开公式可知：而其余xi i j 的系数均为0; 而等式右端为D j . 因此 Dx j D j j 1,2,, n. ( 2) 当D 0时, 方程组( 2)有唯一解 D D D D (3) x1 1 , x2 2 , x 3 2 , , x n n .
把上面右端行列式第 2行加到第 1行, 再从第 1行中提取公因子a b c d，得 1 1 0 再将第2列减去第 1列, 得
D (a b c d )(a b c d ) d c a c b c , cd bd ad
1 0 0 D (a b c d )(a b c d ) d c a d b c , cd bc ad 按第1行展开, d bc D (a b c d )(a b c d ) a bc ad (a b c d )(a b c d ) (a c b d )(a d b c ).
27.
经计算可知
8 1 5 1 D1 81 9 3 0 6 3, D1 5 2 1 2 81, x1 D 27 0 4 7 6 2 8 5 1 D2 108 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 108, x2 D 27 4, 1 0 7 6 2 1 8 1 D3 27 1 3 9 6 x3 1, D3 0 2 5 2 27, D 27 1 4 0 6 2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 27 , x4 1. D4 0 2 1 5 D 27 1 4 7 0
a 解 x1 x2 xn 0时可依次将第i行的 x 倍加到第 i 1行, i 2,, n, 得

《线性代数》1.5第五节克莱姆法则

按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列互换，有所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线性代数
(第二版)
第五节克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .

大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则

齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、 Gramer法则
定理1 如果线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
记
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 D3 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
用D中第1列元素的代数余子式 A11 , A21 , A31 依次乘方程组的3个方程
的两边
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A13 b1 A13 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A23 b2 A23 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A33 b3 A33
将3个方程的两边相加，得
(a11 A13 a21 A23 a31 A33 ) x1 (a12 A13 a22 A23 a32 A33 ) x2 (a13 A13 a23 A23 a33 A33 ) x3 b1 A13 b2 A23 b3 A33
由代数余子式的性质可知, 上式中x3的系数等于D ,
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2

克莱姆法则

k =1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中 x j的系数等于 D,
而其余 xi (i ≠ j )的系数均为 0; 又等式右端为 D j .
Dx j = D j ( j = 1,2,Λ , n ).
于是
杨树文
(2 )
当 D ≠ 0 时,方程组 (2 ) 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,Λ , x n = . D D D D
67
D2 0 x2 = = = 0, D 67
D4 67 x4 = = = 1. D 67
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组
⎧ (1 − λ ) x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , ⎪ ⎨ 2 x 1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , ⎪ x + x + (1 − λ ) x = 0 , ⎩ 1 2 3
定理
(2 )
杨树文
如果齐次线性方程组 (2 ) 的系数行列式 D ≠ 0 则齐次线性方程组 (2 ) 没有非零解.
网络线性代数教程
定理如果齐次线性方程组 (2 ) 有非零解,则它的系数行列式必为零. 系数行列式 D = 0
⎧ a11 x1 + a12 x2 + Λ + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + Λ + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ⎪an1 x1 + an 2 x2 + Λ + ann xn = 0 ⎩
杨树文
解
3 5 2 0 3 0 D= 1 1 1 1 −1 − 3

线性代数第1章第5节克莱姆法则

第一章行列式
第五节克莱姆法则
1
二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
当
D
a11 a21
a12 a22 b1 b2
a11a22 a12 a21 0,
D1
则，
a12 a22
D2
D2 x2 D
a11 a21
b1 b2
所以，四平面相交于一点的条件为
的一组非零解．
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 D 0
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4 0
17
y f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 例：已知三次曲线
在四个点 x 1, x 2 处的值为
a1 x1 b1 x2 c1 x3 d1 x4 0 a x b x c x d x 0 2 1 2 2 2 3 2 4 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 a4 x1 b4 x2 c4 x3 d 4 x4 0
1 2 1
3
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
D
1 3 41 21 3
1 3 21 2 3 ( 2)( 3)
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0, 2 或 3 时齐次方程组有非零解．
15
对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常被用来解决解析几何的问题．例: 求空间的四个平面 ai x bi y ci z d i 0 相交于一点的条件．

线性代数课件1-5克莱姆法则

线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零，则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保

克莱姆法则PPT课件

其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即
a11 a1,j1
Dj a 21
a2,j1
b1 a
an1 an,j1 bn an,j1 ann •2
定理中包含三个结论:
(1)方程组有解
例2 取何值时,下述齐次线性方程组有非
零解?
( 1)x1 x2 x3 0 x1 ( 1)x2 x3 0 x1 x2 ( 1)x3 0
解:
1 1 1
D 1 1 1 =(+3)2
1 1 1
齐次线性方程组有非零解 D=0
= 3或0•10
(2)解是唯一的
(3)解由公式
xj
Dj D
( j=1,2,...,n)给出
注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两个前提条件:
(1)未知数个数等于方程个数
(2)系数行列式D0
•3
2 x1 x2 5 x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 3 2x2
x2 x3
6 x4 2 x4
9 5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
解: 方程组的系数行列式
2 1 5 1
1 3 0 6
D
=27 0
0 2 1 2
1 4 7 6 •4
由克莱姆法则知,方程组有唯一解
8 1 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6 2
=81
x1
D1 D
81 27
0 4 7 6
=3
2 8 5 1
1 D2 0
一、克莱姆法则
定理二(克莱姆法则) 设线性方程组

克莱姆法则PPT资料优秀版

a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
ann xn bn.
为n元线性方程组。
（1）
克莱姆法则
定理1：克莱姆法则如果线性方程组(1)的系数行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a11 j a21
a1, j1 b1 a1, j1 a2, j1 b2 a2, j1
a1n
a2n j 1, 2, , n
an1
an, j1 bn an, j1
ann
克莱姆法则
注意！
一、用克莱姆法则求解含有n 个方程、n 个未知量的线性方程组,
有两个条件必须满足: 1. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 2. 方程组的系数行列式不等于零，即 0
解如果齐次线性方程组（3）的系数行列式Δ≠0,则它只有唯
所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组.
线性方程组（3）称为齐次线性方程组。
若齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式Δ=0,即解线性方程组所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 此方程组的解是(2)式.
2 1 1 2 1 2 1 2 已知齐次线性方程组
有非零解,问λ 应取何
解线性代数在线开放课程
而： (货物运输)：某物流公司有3辆汽车同时运送一批货物,一天共运8800吨,如果第1辆汽车运2天,第2辆汽车运3天,共运货物13200吨,如果第1辆汽车运1天,第2辆汽车运2天,第3辆汽车运3天
4 0 1 4 2 4 1 4 ,共运货物18800吨,问每辆汽车每天可运货物多少吨?

1.5 克莱姆法则

D 当i j aki Akj 0 当i j k 1
n
＊
三、拉普拉斯定理（Laplace定理）
定义在n阶行列式D中,任意取定k行k列(1≤k≤n) 位于这些行和列交叉处的 k2 个元素，按照原来的顺序
构成一个k阶行列式 N ，称为D的一个k阶子式.
划去这k行k列，余下的元素按照原来的顺序构成一个n-k阶行列式，称为N的余子式.记为M。称A (1)i1 i2 ik j1 j2 jk M 为子式N的代数余子式。其中 i1 , i2 , , ik , j1 , j2 , , jk 分别为k阶子式在D中的行标、列标. 2 k ※ ①n行列式共有 C n 个k 阶子式.
1
1 2 2 3
0 3 1 12 0 11 0 2
例8
求行列式
D
2 3 5 4 0 2 3 0 2 1 2 3 0 1 1 0
解
D
r2 , r4
(1)
2 4 2 3
2 3 2 4 1 1 2 3
( 1)( 1)( 2) 2
例9 (讲义例8）计算
称为n元线性方程组。
(1)
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组;
若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 则称方程组为
齐次线性方程组，即
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a x a x a x 0, 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0.
其系数行列式
1 1 D 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16
1 1 1 1 2 8 1 3 27 1 4 64 1 1 2 2 23 12 0 2 3 3 3 4 2 43

线性代数克莱姆法则

j 1 i 1
n
n
+a12+a22+…+an2 +… +a1n+a2n+…+ann 返回
第一章行列式 20
2014-12-20
2014-12-20
a
j 1
n
ij
x j bi
i 1, 2,
,n
3
第一章行列式
定理1 设线性非齐次方程
a11 a n1
a1n 0 ann
组(*)的系数行列式 D
则(*)有唯一解 x D1 , x D2 , , x Dn 1 2 n D D D Dj 即: xj ( j＝1, 2, …, n) D a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n 其中, Dj a n1 an , j 1 bn an , j 1 ann
其中 ai 0 ,试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,
i 1 n
(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解. D≠0 D＝ 0
2014-12-20 第一章行列式 12
解
D
a1 b a2 a1 a2 b a1 a2
a3 a3 a3 b
an an an an b
每行元素之和相同，2——n 列加至首列
注：关于数域概念方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关. 线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论.为了明确一些结论成立的条件. 引入数域概念: 定义设F是一数集,0 F ,1 F . 若F中任意两个数 (可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是F 中的数, 即F对四则运算封闭, 则称F为一个数域. 全体整数组成的集合不是数域, 有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域, 分别称为有理数域、实数域和复数域. 本课程的数域F均指实数域R或复数域C, 其它数域在本课程中不进行深入讨论.

线性代数克莱姆(Cramer)法则

其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则第二、克莱姆(Cramer)法则一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理考虑线性方程组行列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则第一章行列式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则第三、齐次与非齐次线性方程组一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行定义设线性方程组为列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零，则称此方程组为齐次线性方程组; 注通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性方程组的导出(方程)组. 7

第一章行列式-克莱姆法则

i 1
0
00
b
n
∴(1)b≠0且 ai b 0时方程组仅有零解； i 1 n
(2) b＝0或 b ai 时方程组有非零解. i 1
2019/11/24
第一章行列式
14
例5 (96考研) 解方程组

x1

x1

a1 x2 a2 x2

a12 x3 a22 x3
a1n b1 a12
a1n
a21 x1 a22 x2 a2n xn a22
a2n b2 a22
a2n
an1 x1 an2 x2 ann xn an2
ann bn an2
ann
＝D1 同理
x1 Dxj＝Dj
D1 D
xj
(D 0) Dj , j
D

1, 2,
(1)将 x j

Dj D
(j=1,2,…,n)
n
aij x j
j 1

bi
i 1, 2,
, n (*)
代入(*)左端, 又将Dj按第j列展开，得
n
j 1
aij
(
Dj D
)

1 D
n
n
aij( bk Akj )
j 1
k 1
1 D
nn
( aij Akjbk )
j 1 k 1
列加至首列
n a1
a2
a3
ai b a2
a3
i 1
an b
an
n
ai b a2 b a3
an
i 1
n ai b

线性代数克莱姆(cramer)法则

而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1)
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
轴平行,故可设其方程为
y c bx ax 2 ,
此方程的系数行列式是范德蒙得行列式,而
1 D 1 1 1 2 3 1 9 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 12 1 2 0. 9
41
所以方程组有唯一解, 又
D1 14, D2 16, D3 4,
故 c 14 2 7,b 16 2 8,a 4 2 2.
2 y 7 8 x 2 x . 即所求的抛物线方程为

线性代数克莱姆(Cramer)法则

克莱姆(Cramer) 法则◼克莱姆(Cramer) 法则克莱姆(Cramer) 法则◼概念◼n阶线性方程组的解在这一节里,⚫克莱姆（Cramer ）法则我们讨论用n 阶行列式解n 元线性方程组的问题.设n 个未知量,n 个方程的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.1)⚫克莱姆（Cramer ）法则称为方程组(1.4.1) 的系数行列式.111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =定义1.4.1b1,b2,…,b n不全为零时，当线性方程组(1.4.1)右端的常数项当b1,b2,…,b n全为零时，称为非齐次线性方程组；称为齐次线性方程组.如果线性方程组则方程组有唯一解，11112211211222221122 1.4.1n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（）的系数行列式D ≠0,定理1.4.1 (克莱姆(Cramer)法则)非齐次线性方程组n n D x D =( 1.4.2 )并且解可以用行列式表示为22,D x D =11,D x D =33,D x D =,其中D j (j =1,2,…,n ) 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项b 1,b 2,…,b n 代替后所得到的n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=11112211211222221122 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证先求x 1,分别用A 11,A 21,⋯,A n1同时A 11A 11A 11A 21A 21A 21A n1A n1A 11A 21A n1A n1乘以第1个方程到第n 个方程两边,得：将这n 个方程两边分别相加，得：Dx 1+0x 2+⋯+0x n =D 1即Dx 1=D 1.因D ≠0，所以x 1=D1D .同理可求.j j D x D =然后将11,D x D =22,D x D =33,D x D =nn D x D=,带入原方程组验证即可.证毕.因为显然齐次线性方程组总是有解的, 如果齐次线性方程组的解x 1, x 2,…, x n 不全零解.则称为非零解.为零, x 1=0, x 2=0, …, x n =0 就是它的一个解, 称为若齐次线性方程组10nij j j a x ==∑，12,i n =，，(1.4.4)的系数行列式D ≠0 ,又因为常数项均为0,定理1.4.2证因为D ≠0 ，于是0jj D x D ==1,2,,j n =（）.所以方程组(1.4.4)有唯一解.那么D j =0 (j =1,2,…,n ) .则它只有唯一的零解.推论若齐次线性方程组（1.4.4）有非零解，则系数行列式D=0.克莱姆法则解决了方程个数和未知量个数相等且系数行列式不为零的线性方程组的求解问题，在线性方程组的理论研究上具有十分重要的意义.但是当n 元线性方程组中未知量的个数应用克莱姆法则计算量还是比较需要寻求更简单的方法.我们在第四章中讨论.关于一般的n 较大时，大的，线性方程组的解法，例112341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +−+=⎧⎪−−=⎪⎨−+=−⎪⎪+−+=⎩解线性方程组系数行列式D =解2151130602121476−−−=−−270≠又1D =8151930652120476−−−=−−−81，108−2851190605121076−−=−−−2D =3D =27−，4D =27由克莱姆法则，113D x D ==224D x D ==−331D x D ==−441D x D ==方程组有唯一解例21231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+−=⎨⎪−+=⎩有非零解.k 为何值时，方程组解1111211k D k =−−由定理1.4.2的推论知，若齐次线性方程则其系数行列式D =0. 因为(1)(4)k k =+−k = −1或k =4 时，方程组有非零解.所以, 组有非零解，例3解22()0a x y bx cy d ++++=（1.4.5）这个方程含有四个待定系数a ,b ,c ,d , 给定平面上不共线的三个点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3),平面上一般圆的方程为求过这三个点的圆的方程.且a ≠0.点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3)在圆上，应满足方程(1.4.5),于是得到一个以a ,b ,c ,d 为未知量的齐次线性方程组.22221111222222223333()0,()0,()0,()0.a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩(1.4.6)由于a ≠0 ，齐次线性方程组(1.4.6) 有非零解.经展开后，就为所求圆的方程.222211112222222233331111x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++由定理1.4.2的推论,(1.4.6) 的系数行列式应为零，即例401()n n f x a a x a x =+++(0)n a ≠最多有n 个互异的根.试证: n 次多项式证若不然,将其逐个代入方程f (x )=0,可得设f (x ) 有n +1个互异的根c 0,c 1,…,c n ,010********00n n nn n n n n a a c a c a a c a c a a c a c ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.7) 把a 0,a 1,…,a n 看作未知量,则(1.4.7)是由n +1个其系数行列式未知量n+1个方程组成的一个齐次线性方程组,200021112111n n nn n nc c c c c c D c c c =为n +1阶范德蒙行列式的转置,故D ≠0 .由定理1.4.2,从而a n =0,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,此与题设条件矛盾. 证毕.ቐa +b −2c =−2a −2b +3c =92a −3b +c =1思考题用行列式求下列方程组中的c 值为1310。

05 第五节克莱姆法则

第五节克莱姆法则内容要点.克莱姆法则定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0≠D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为),,2,1(n j D D x jj == (3)其中),,2,1(n j D j =是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0≠D 则(1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:定理2' 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见021====n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,0≠D 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3' 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0=D注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0=D 则齐次线性方程组(2)有非零解.例题选讲例1用克莱姆法则求解线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++4535225323221321x x x x x x x 解 530021532=D 31r r - ,205225302253002102=⨯⨯==5340255321=D 31r r -,2052)2(534025002-=⨯⨯-=- 5400515222=D 212r r -54051580-21r r ↔,605458540580051=--=--4305212323=D 212r r -43521810--21r r ↔.204381430810521-=---=---由克莱姆法则,.1,3,1332211-====-==DD x D Dx D D x例2用克莱姆法则解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x解 6741212060311512-----=D21242r r r r --12772121357127702120603113570----=-----212322c c c c ++.272733277010353=---=-------,8167402125603915181=------=D ,10867012150609115822=-----=D,2760412520693118123-=---=D ,2707415120903185124=-----=D,3278111===∴D D x ,42710822-=-==D D x,1272733-=-==D D x .1272744===D D x例3 问λ为何值时, 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解?解D =λλλ----111132421=λλλλ--+--101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ+------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ),3)(2(λλλ--=齐次线性方程组有非零解，则,0=D 所以,0=λ 2=λ或3=λ时齐次线性方程组有非零解.例4 设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++=++abc abz cay bcx c b a cz by ax c b a z y x 3222试问c b a ,,满足什么条件时, 方程组有惟一解, 并求出惟一解.解 abca bc c b aD 111= 3221c c c c -- abb c a a b c c c b ba )()(100----)()(21c b c b a c -÷-÷))()((11))((111))((a c c b b a ac c b b a aba c c cb b a ---=----=----显然,当c b a ,,互不相等时,,0≠D 该方程组有唯一解. 又abca abcc b c b a cb a D 3112221++++=321cc bc c -- abca abc c baa211ac ÷1 .111aD abca bc c b aa = 同理可得,,32cD D bD D ==于是 .,,321c DD z b D Dy a D D x ======。

克莱姆法则

其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程阶行列式，组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 L a1 , j −1 b1 a1 , j +1 L a1n D j = LLLLLLLLLLL a n1 L a n , j −1 bn a n , j +1 L a nn
D = − 2 ≠ 0 , D1 = − 2 , D 2 = 4 , D 3 = 0 , D 4 = − 1
即得唯一解：．即得唯一解：
D1 D2 D3 D4 1 x1 = = 1, x2 = = −2, x3 = = 0, x4 = = D D D D 2
二、重要定理
定理1 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的定理2 则它的系数行列式必为零. 解，则它的系数行列式必为零.
D = −3(5k − 5)
所以如果方程组有非零解， =0,即 =1. 所以如果方程组有非零解，则D=0,即k=1
例用克莱姆则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
其中
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33

线性代数第1章第5节克莱姆法则

克莱姆法则

讲克莱姆法则上课用

1-5克莱姆法则

《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则

大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则

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1.5 克莱姆法则

线性代数 克莱姆法则

线性代数 克莱姆(Cramer)法则

第一章行列式-克莱姆法则

线性代数 克莱姆(cramer)法则

线性代数 克莱姆(Cramer)法则

05 第五节 克莱姆法则

克莱姆法则

《线性代数》1.5第五节克莱姆法则

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线性代数克莱姆(Cramer)法则

线性代数克莱姆(cramer)法则

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